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转动惯量
转动惯量
设刚体是由质量为 的大量质点组成，每个 距转轴的垂直距离为 ，则转动惯量可用下式表示
式中
得
由角加速度的定义
代入初始条件积分 得
—质元的质量
—质元到转轴的垂直距离
刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可写成积分形式
按转动惯量的定义有
对质量线分布的刚体：
：质量线密度
对质量面分布的刚体：
：质量面密度
对质量体分布的刚体：
：质量体密度
：质量元
质量连续分布刚体的转动惯量
转动惯量是转动中惯性大小的量度。
质量是平动中惯性大小的量度。
为了看出转动惯量的物理意义，不妨把平动与转动中相应的物理量作一比较区别：
平动： 平动动能
线动量
转动： 转动动能
角动量
转动惯量的物理意义：
转动惯量是描述刚体对于转轴的转动惯性大小的物理量。
对给定的外力矩(即Mz),转动惯量愈大，角加速度愈小，即刚体绕定轴转动的运动状态愈难改变。
ω
花样滑冰运动员通过改变身体姿态
即改变转动惯量来改变转速
例求质量为m、长为 l 的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：
（1）转轴通过棒的中心并和棒垂直；
（2）转轴通过棒的一端并和棒垂直；
（3）转轴通过棒上距中心为h的一点
并和棒垂直。
l/2
l/2
O
x
dx
l
O
x
dx
A
l
x
dx
A
A
B
h
解 如图所示，在棒上离轴x 处，取一长度元dx，如棒的质量线密度为 ，这长度元的质量为dm= dx。
（1）当转轴通过中心并和棒垂直时，我们有
因 l=m，代入得
（2）当转轴通过棒的一端A并和棒垂直时，我们有
l
x
dx
A
当转轴通过棒上距中心为h的B点并和棒垂直时，我们有
这个例题表明，同一刚体对不同位置的转轴，转动惯量并不相同。
l
O
x
dx
A
B
h
回转半径
考虑到刚体的转动惯量与总质量有关，可写为
rG 称为刚体对该定轴的回转半径。
就转动规律而言，刚体的质量等价于集中在离轴距离为rG 的圆环上。
例题求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的
转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。
r
R
dr
解 设圆盘的质量面密度为 ，在圆盘上取一半径为r、
宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2 rdr，环的
质量dm= 2 rdr 。可得
R
R
R
mR2/2
mR2
2mR2/5
球体
圆柱
圆环
L
mL2/12
细棒
四 平行轴定理
P
转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置 .
质量为 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量
C
O
注意
圆盘对P 轴的转动惯量
O
为了增大飞轮对转轴的转动惯量
为了增大竹杆的转动惯量
对给定的外力矩(即Mz),转动惯量愈大，角加速度愈小，即刚体绕定轴转动的运动状态愈难改变。

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