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武昌区 2021-2022学年度高二年级期末质量检测
数 学
本试卷共 5 页，22 小题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信
息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定
区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和
涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
3
1．已知R 是实数集，集合 A {x |1 x 2}， B {x | 0 x }，则( RA) B
2
A．[0 ，1] B． (0 ，1] C．[0 ，1) D．（0，1）
1 3i
2．已知复数 z ，则复数 z 的虚部是
1 i
A． 2i B． 2i C．2 D． 2
π
3．已知单位向量 a， b的夹角为 ， 2a kb与 a垂直，则 k
4
1 2
A． B． C． 2 D． 2
2 2
4．已知数列{an}为等差数列，且 a2 a8 a14 2π，则 tan(a4 a12 ) 的值为
3
A． B． 3 C． 3 D． 3
3
sin (1 sin 2 )
5．已知 sin 2cos ，则
sin cos
6 2 2 6
A． B． C． D．
5 5 5 5
x2 y2 3a
6．设 F1，F2 是椭圆 E : 1(a b 0) 的左、右焦点，P 为直线 x 上一点， F2PF2 2 1a b 2
是底角为30 的等腰三角形，则 E 的离心率为
高二数学试题 第 1 页 （共 5 页 ）
1 2 3 4
A. B. C. D.
2 3 4 5
7．已知圆锥 SO 被平行于底面的平面所截，形成的圆台的两个底面面积之比为 4 : 9 ，母
线与底面的夹角是 45 ，圆台轴截面的面积为 20，则圆锥 SO 的体积为
304π 152π
A．72 π B．72 3π C． D．
3 3
8．已知9m 10 ， a 10m 11，b 8m 9 ，则
A． a 0 b B． a b 0
C．b a 0 D．b 0 a
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
π
9．下列函数中，最小正周期为 π，且在 (0, ) 上单调递增的是
2
A． y | sin x | B． y cos2x
C． y sin 2x D． y | tan x |
10．已知 x 0 ， y 0 ，且 x 2y 2 ，下列结论正确的是
4
A． xy 的最小值是 1 B． x2 y2 的最小值是
5
1 2
C． 2x 4y 的最小值是 4 D． 的最小值是 9
x y
11．已知某公司共有员工 20 000 人，30 岁以下的员工有 8 000 人，30 到 50 岁的员工 10 000
人，为了了解公司员工的身体情况，进行分层抽样，抽取一个容量为 2 000 的样本，
得到身体健康状况良好的比例如下：30 岁以下的员工占 99%，30 到 50 岁的员工占
98%，其他员工占 96%．下列说法正确的是
A．从 50 岁以上的员工抽取了 200 人
1
B．每名员工被抽到的概率为
10
C．估计该公司员工身体健康状况良好率为 97.7% （百分数保留一位小数）
D．身体健康状况欠佳的人数最多的年龄层是 30 岁到 50 岁
12．如图，四边形 ABCD 中， AB BC AC 2，DA=DC= 2 ，将四边形沿对角线 AC
折起，使点 D 不在平面 ABC 内，则在翻折过程中，以下结论正确的是
高二数学试题 第 2 页 （共 5 页 ）
π π
A．两条异面直线 AB 与 CD 所成角的范围是[ , ]
12 2
π
B．P 为线段 CD 上一点（包括端点），当 CD⊥AB 时，∠APB
2
3
C．三棱锥 D—ABC 的体积最大值为 C
3
D
π
D．当二面角 D-AC-B 的大小为 时，
6
28π
三棱锥 D-ABC 的外接球表面积为 A B
3
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
2 113．二项式 (2x )6 的展开式的常数项为__________. (用数字填写答案)
x
x2 y2
14．已知 F 为双曲线 1 (a 0,b 0) 的右焦点，经过 F 作一条与双曲线的渐近线
a2 b2
垂直的直线 l，垂足为 A，点 A 在第一象限，直线 l 与双曲线的另一条渐近线在第四象
限交于点 B，O 为坐标原点，若 | OB | 8 |OA |，则双曲线的离心率为__________.
15．已知 x1是函数 f (x) 4
x x 4 的零点， x2 是函数 g(x) log2 x 2x 8 的零点，
则 x1 x2 的值为__________.
16．有 40 件产品，其中有 10 件次品，从中不放回地抽 18 件产品，最可能抽到的次品数
是__________.
四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a ，b ， c ，且 (sin B sinC)2 sin2 A
sin B sinC ．
（1）求角 A ；
（2）当 a=4，b+c=8 时，求△ABC 的面积．
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18．（12 分）
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn 2(an 1) ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn 2n 1 a
n ，求数列{bn}的前 n 项和Tn ．
19．（12 分）
甲、乙两队进行一场排球比赛，设各局比赛相互间没有影响且无平局，约定每局胜者
得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到有一队比另一队多 2 分或打满 6 局时停止．设甲在每局
2
中获胜的概率为 p ．
3
（1）第二局比赛结束时比赛停止的概率；
（2）设 X 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量 X 的分布列和数学期望．
20.（12 分）
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，点 E 为 PC 的中点，
AB//CD，CD⊥AD，CD=2AB=2，PA=AD=1，PA⊥AD．
（1）证明：BE⊥平面 PCD；
（2）求二面角 P-BD-E 的余弦值.
P
E
D C
A B
高二数学试题 第 4 页 （共 5 页 ）
21．（12 分）
已知动圆 M 过定点 A(2，0)，且在 y 轴上截得的弦长为 4，圆心 M 的轨迹为曲线 L.
（1）求 L 的方程；
（2）已知点 B( 3, 2) ，C(2, 1) ，P 是 L 上的一个动点，设直线 PB，PC 与 L 的另
一交点分别为 E，F，求证：当 P 点在 L 上运动时，直线 EF 恒过一个定点，并求出这个定
点的坐标．
22．（12 分）
ex 1, x 0,

已知函数 f (x) 1 其中a 0．
ax2 ax, x 0, 2
（1）若 f (x) 在R 上单调递增，求实数 a 的取值范围．
（2）对 x2>0， x1，使得 f (x1) f (x2 ) ，且 x1 x2 0，求实数 a 的取值范围．
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数学参考答案及评分细则
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D D B C C A A AD BC ABD BCD
三、填空题
4
13．60 14． 15． - 4 16． 4
3
四、解答题：
17．（10分）
解：（1）由正弦定理及 (sin B sin C)2 sin2 A sin BsinC，知 (b c)2 a2 bc，
2 2 2
化简得b2 2
b c a bc 1
c a2 bc . 由余弦定理知， cos A ，
2bc 2bc 2
π
因为 A (0,π)，所以 A ． ………（5分）
3
（2）由余弦定理知， a2 b2 c2 2bccos A b2 c2 bc (b c)2 3bc，
所以16 64 3bc，即bc 16，
1 1 3
所以 ABC的面积 S bcsin A 16 4 3．………（10分）
2 2 2
18．（12分）
解：（1）因为数列{an}的前 n项和为 Sn，且 Sn 2(an 1)，
所以，当 n 1时， a1 2a1 2，解得 a1 2 . ………（1分）
当 n 2时， an Sn Sn 1 2an 2 (2an 1 2)，整理得 an 2an 1， ………（3分）
所以，数列{an}是首项、公比均为 2的等比数列，所以 an 2
n . ………（5分）
（2）由（1）可得：bn (2n 1) 2
n . ………（6分）
因为Tn 1 2 3 2
2 5 23 (2n 3) 2n 1 (2n 1) 2n，
所以 2Tn 1 2
2 3 23 (2n 3) 2n (2n 1) 2n 1， ………（8分）
两式相减，得 Tn 1 2 2 2
2 2 23 2 2n (2n 1) 2n 1
2(1 2n 1)
1 2 (2n 1) 2n 1 6 (3 2n) 2n 1，………（10分）
1 2
高二数学试题 第 1 页 （共 6 页 ）
所以，Tn 6 (2n 3) 2
n 1 . ………（12分）
19．（12分）
解：（1）依题意，当甲连胜 2局或乙连胜 2局时，第二局比赛结束时比赛结束．
2
2 2
所以有 (1 )2
5
．
3 3 9
5
所以，第二局比赛结束时比赛停止的概率 ． .………（4分）
9
（2）依题意知，依题意知， X 的所有可能值为 2，4，6．
5
X 2表示当甲连胜 2局或乙连胜 2局时，第二局比赛结束 P(X 2) ，
9
5 5 20
X 4表示前二局的比分为1:1,接下来有一队连胜 2局， P(X 4) (1 ) ，
9 9 81
5 5 16
X 6表示前二局的比分为1:1且前 4局的比分为2 : 2 , P(X 4) (1 ) (1 ) .
9 9 81
所以随机变量 X 的分布列为：
X 2 4 6
P 5 20 16
9 81 81
5 20 16 266
所以 EX 2 4 6 . .………（12分）
9 81 81 81
20.（12分）
解：（1）证明：取 PD的中点 F ，连接 AF ， EF，
1
则 EF / /CD， EF CD． P
2
E
1 F
又 AB / /CD， AB CD，所以 EF / / AB， EF AB，
2 D C
所以四边形 ABEF为平行四边形，所以 AF / /BE ．
A B
因为PA AD 1，PF FD，所以 AF PD．
所以BE PD． ………（1分）
因为平面 PAD⊥平面 ABCD，PA AD，
所以PA⊥平面 ABCD，所以PA⊥ AB， ………（2分）
所以PB BC 2 .
又点 E为 PC的中点，所以BE PC． ………（3分）
又PC PD D，所以 BE 平面 PCD． ……（4分）
（2）以 A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，………（5分）
则 A(0,0,0)， P(0,0,1) , B(1,0,0)，
高二数学试题 第 2 页 （共 6 页 ）
1 1
D(0,1,0) , C(2,1,0)， E(1, , )． ………（6分）
2 2
z


1 1 P
于是PB 1,0, 1 ，BD 1,1,0 ，BE 0, ,
2 2 y E
F
D
n PB 0
C
设平面PBD的法向量为n1 x1, y1, z
1
1 ，则 ，
n BD 0 A B
x
1
x1 z1 0
得 ．取 x 1，得n1 1,1,1 . ………（8分）
x1 y
1
1 0

n BE 0
设平面EBD的法向量为 n2 x2 , y2 , z2
2
，则 ，
n2 BD 0
1 1
y2 z2 0 得 2 2 .取 x2 1，得n2 1,1, 1 ． ………（10分）
x2 y2 0
设二面角 P BD E的平面角为 ，易知 为锐角．

n n 1
所以 cos | cos n1,n2 | |
1 2 | ． ………（12分）
| n1 || n 32 |
说明：
（1）建系正确有 1分；

n n
（2） 第二问方法正确，计算错误，也有分，比如给出公式： cos 1 2 就给 1分；
| n1 | | n2 |
（3）不轻易给 0分，只要书写了一定步骤，就给 1分；
（4）若用向量法进行证明，证明三条直线两两垂直有 2分.
21．（12分）
2 2 2 2 2
解：（1）设圆心C(x，y)，圆的半径为R，则R 2 x x 2 y 0 ，得 y2 4x．
所以，动圆圆心的轨迹方程为 y2 4x．.………（4分）
y 2 y 2 y 2
（2）证明：抛物线的方程为 y2 4x，设D( 0 ， y 1 20 )， E( ， y1)， F ( ， y2 )，
4 4 4
y y
则直线 EF的方程为 y y 1 21 x x1 ，
y 2 y 21 2
4 4
4x 4x 4x y 2 y
得 y 1 y 1 1
y2 4x1
1 ，
y1 y2 y1 y2 y1 y2 y1 y2
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2 4x y1 y又 y1 4x1，所以直线 EF的方程为 y
2 ．
y1 y2 y1 y2
4x y y
同理可得直线DE的方程为 y 1 0 ，
y1 y0 y1 y0
4x y y
直线DF的方程为 y 0 2 .
y0 y2 y0 y2
因为直线DE过点 B( 3, 2)，所以12 2y1 y1 2 y0；
因为直线DF过点C(2,1)，所以 y2 8 y2 1 y0．
10 4
消去 y0，得 y1 y2 ( y1 y2 ) ．
3 3
4 1 10
代入 EF的方程，得 y x ，
y1 y2 3 3
1 10
所以直线EF 恒过一个定点 , . .………（12分）
3 3
22．（12分）
ex x 0
解：（1） f x ) ，
ax a x 0
1
因为 f x 在 R上单调递增，所以 y ax2 ax在 ,0 单调递增.
2
所以， y a x 1 0对 x ,0 恒成立.
因为a 0，所以，a 0． .………（4分）
（2）当a 0时，由（1）知， f x 在 R上单调递增，不满足题意， a 0 .
此时，当 x ,0 时， y a x 1 0，
所以， f x 在 ,0 单调递减，在 0， 单调递增.
因为 x2 0， f x1 f x2 ，所以 x1 0 x2 .
又 x1 x2 0，所以 x1 x2 0．
因为 f x 在 ，0 单调递减，所以 f x1 f x2 .
又 f x1 f x2 ，所以 f x2 f x2 .
高二数学试题 第 4 页 （共 6 页 ）
x 1 2
所以，e 2 1 a x2 a x2 ，
2
1
即 ex2 ax 22 ax2 1 0对任意 x2 0恒成立． .………（8分）
2
1
方法 1：令 g x ex ax2 ax 1， x 0， g 0 0 .
2
g x ex ax a， g 0 1 a .
当0 a 1时， g 0 1 a 0 ex， 易证 x 1，
又 x 1 a x 1 ex，所以 ax a 0，即 g x 0，
所以 g x 在 0， 单调递增，所以， g x g 0 0，
1
所以，0 a 1 x，e 2 ax 22 ax2 1 0对任意 x2 0恒成立．
2
当 a 1时， g 0 1 a 0．又 g x ex a，
当 x 0, ln a 时， g x 0，所以， g x 在 0, ln a 单调递减，
所以 x 0, ln a 时， g x g 0 0．
所以 g x 在 0, ln a 单调递减， g x g 0 0 .
所以当a 1时不满足题意．
综上，0 a 1． .………（12分）
x 1 2 1
方法 2：由e 2 ax2 ax2 1 0
x 2
，得e 2 ax2 ax2 1
2 2
1
即 ax
2 ax 1 e x22 2 1．
2

1
令 g x ax
2 ax 1 e x ， x 0．
2
转化为 g x 1对 x 0恒成立. g 0 1，
1
因为 g x ax
2 a 1 x e ．
2
1
当0 a 1时， ax2 a 1 0， g x 0， g x 在 0，+ 单调递减，
2
所以， g x g 0 1，满足题意.
高二数学试题 第 5 页 （共 6 页 ）
2 a 1 g x 0 g x 2 a 1

当 a 1时， x 0, 时， ， 在 x 0, 单调递增，
a a
所以， g x g 0 1，不满足题意．
综上， 0 a 1．.………（12分）
高二数学试题 第 6 页 （共 6 页 ）

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