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西安市鄠邑区2021-2022学年高二下学期期末考试
（理科）数学试题
考生注意：本试卷共22题，考试时间：120分钟，满分：150分；所有试题答在答题卡上。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知随机变量，则该变量X的数学期望EX和方差DX分别为（ ）
A.， B.， C.， D.，
2.函数在处切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3.下面推理中是演绎推理的是（ ）
A.猜想数列的通项公式为
B.硫酸能和氢氧化钠发生中和反应，所以酸和碱能发生中和反应；
C.菱形的对角线互相垂直，得到正方形的对角线互相垂直；
D.由圆的面积与周长的关系，得到球的体积与表面积的关系
4.用数学归纳法证明等式：
.要验证当时等式成立，其左边的式子应为（ ）
A.-1 B.-1+3 C.-1+3-5 D.-1+3-5+7
5.2022年普通高中招生体育考试满分确定为60分，甲，乙两名考生参加测试，他们能达到满分的概率分别为0.7，0.8，则两人中至少有一人满分的概率为（ ）
A.0.94 B.0.56 C.0.38 D.0.44
6.正态分布密度函数具有性质：①函数图像关于直线对称；②的大小决定函数图像的“胖”、“瘦”.三个正态分布密度函数分别服从参数均值和方差，其图像如图，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.2021年12与4日是第八个“国家宪法日”﹒某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为.用事件表示“甲同学答对第一道题”，事件表示“甲同学答对第二道题”，则（ ）
A. B. C. D.
8.小华为了研究数学名次和物理名次的相关关系，记录了本班五名同学的数学和物理的名次，如图．后来发现第四名同学数据记录有误，那么去掉数据后，下列说法错误的是（ ）
A.样本线性相关系数变大 B.残差平方和变大
C.变量x，y的相关程度变强 D.线性相关系数越趋近于1
9.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位.女同学相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.的图像在点处的切线的斜率小于0
C.
D.在区间内有3个极值点
11.现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖．甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”.四人所说话中只有一位说的是真话，则获奖的人是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
12.甲、乙、丙三人相约一起去做核酸检测，达到检测点后，发现有A，B两支正在等待检测的队伍，则甲、乙、丙三人不同的排队方案共有（ ）
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）
13.已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为___________.
14.___________.
15.分形儿何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路．按照如图①所示的分形规律可得如图②所示的一个树形图.若记图②中第行黑圈的个数为，则___________.
16.已知函数在时有极值0，则___________.
三、解答题（本题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知复数，为虚数单位.
（1）求；
（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数m，n的值.
18．（本小题满分12分）
已知5名同学站成一排，要求甲站正中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为.
（1）求的值；
（2）求二项式的展开式中的常数项.
19．（本小题满分12分）
应对严重威胁人类生存与发展的气候变化，其关键在于“控碳”，其必由之路是先实现“碳达峰”，而后实现“碳中和”，2020年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺：力争在2030年前实现“碳达峰”，努力争取在2060年实现“碳中和”.近年来，国家积极发展新能源汽车，某品牌的新能源汽车在某区域销售2022年1月至.2022年5月这5个月的销售量（单位：百辆）的数据如下表：
月份 2022年1月 2022年2月 2022年3月 2022年4月 2022年5月
月份代码 1 2 3 4 5
销售量 45 56 64 68 72
（1）依据表中的统计数据，请判断月份代码与该品牌的新能源汽车区域销售量（单位：百辆）是否具有较高的线性相关程度 （参考：若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高.）
（2）求销售量与月份代码之间的线性回归方程；
（3）预测2022年6月份该区域的销售量（单位：百辆）.
参考数据：，，，.
参考公式：一组数据，线性相关系数.
线性回归方程中，，.
20．（本小题满分12分）
2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”.北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣.
（1）完成2×2列联表，并回答能够有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”
有兴趣 没有兴趣 合计
男 10 55
女
合计 100
（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数，求X的分布列和期望EX.
附表：
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
21.（本小题满分12分）
某理财公司有两种理财产品A和B，这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）
产品A
投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20%
概率
产品（表中，）
投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10%
概率
甲要将家中闲置的10万元人民币进行投资，方案1：购买理财产品A；方案2：购买理财产品B.
（1）如果按方案1进行投资，求一年后投资的平均收益；
（2）如果按方案2进行投资，用表示一年后投资收益的期望值；
（3）若以一年后投资收益的期望值为决策依据，你认为选哪种方案较为理想
22.（本小题满分12分）
已知函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
西安市鄠邑区2021-2022学年高二下学期期末考试
数学（理科）试题参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D C C A D C B B C B C
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.-1 14. 15.8 16.11
三、解答题
17.（本小题满分10分）
解：（1）∵，
∴
∴
（2）复数是关于的方程的一个根
所以
即即
根据复数相等可得
解得
18.（本小题满分12分）
解：（1）所以不同的排法种数为
（2）由（1）知
展开式的通项公式为
令，解得
所以展开式的常数项为.
19.（本小题满分12分）
解：（1）由表中的数据可得
所以
故与具有较高的线性相关程度.
（2）
所以线性回归方程为
（3）令可得
估计2022年6月份该区域的销售量为8080辆.
20.（本小题满分12分）
（1）
有兴趣 没有兴趣 合计
男 45 10 55
女 30 15 45
合计 75 25 100
因为3.030>2.706
所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.
（2）可取的值为1，2，3
所以
的分布列为
1 2 3
21.（本小题满分12分）
解：（1）用表示一年后投资的收益（单位：万元），所以随机变量的分布列为：
4 0 -2
则（万元）
（2）用表示一年后投资的收益（单位：万元），所以随机变量的分布列为：
2 0 -1
则（万元）
又因为，所以
所以（万元）
（3）以一年后投资收益的期望值为决策依据
若即时，选择方案1
若即时，选择方案1、方案2中任意一个
若即时，选择方案2
22.（本小题满分12分）
解：（1）当时，函数，其定义域为
令得
+ 0 -
单调递增 极大值 单调递减
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）若恒成立即
令，下面求在的最大值.
令
∴在上单调递减且
所以当时，；当时，.
于是当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
所以的最大值为
故.

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