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西安市鄠邑区2021-2022学年高二下学期期末考试
（文科）数学试题
考生注意：本试卷共22题，考试时间：120分钟，满分：150分；所有试题答在答题卡上．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若点P的极坐标为，则点P的直角坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换是（ ）
A． B． C． D．
3．对下列三种图形，正确的表述为（ ）
A．它们都是流程图 B．①是流程图，②③是结构图
C．①②是流程图，③是结构图 D．它们都是结构图
4．下列三句话按“三段论”的表述形式，排列顺序正确的是（ ）
①是偶函数；②的图像关于y轴对称；③偶函数的图像关于y轴对称．
A．①→②→③ B．③→②→① C．②→①→③ D．③→①→②
5．同一条曲线在不同的坐标系中，会有不同的方程．直线l经过原点，倾斜角为，则在平面直角坐标系和极坐标系中下列方程不能表示直线l的是（ ）
A． B．（t为参数） C． D．
6．2022年普通高中招生体育考试满分确定为60分，甲，乙两名考生参加测试，他们能达到满分的概率分别为0.7，0.8，则两人中至少有一满分的概率为（ ）
A．0.94 B．0.56 C．0.38 D．0.44
7．下图是个算法流程图，若输出y的值为1，则输入x的值为（ ）
A．0 B．2 C． D．0或2
8．已知下列命题：
①回归直线恒过样本中心点；
②两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1；
③两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好；
④线性相关系数，则两个变量线性正相关；反之，则两个变量线性负相关．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．2021年12与4日是第八个“国家宪法日”．某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为．用事件A表示“甲同学答对第一道题”，事件B表示“甲同学答对第二道题”，则（ ）
A． B． C． D．
10．在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到右侧散点图．由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A． B． C． D．
11．曲线C的参数方程为（t为参数）表示的曲线是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆
12．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖．甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”．四人所说话中只有一位说的是真话，则获奖的人是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）
13．已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为______________．
14．在极坐标系中，点与点之间的距离为_____________．
15．圆（为参数）的半径为____________．
16．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路．按照如图①所示的分形规律可得如图②所示的一个树形图．若记图②中第n行黑圈的个数为，则________．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知复数，i为虚数单位．
（1）求；
（2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值．
18．（本小题满分12分）
已知，可以证明：
根据上述不等式，写出一个更一般的结论，并加以证明．
19．（本小题满分12分）
汽车尾气中含有一氧化碳（），碳氢化合物（）等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废．某环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中浓度的数据，如下表所示：
使用年限x 2 4 6 8 10
浓度 0.2 0.2 0.4 0.6 0.7
若该型号汽车的使用年限不超过15年，可近似认为排放的尾气中浓度与使用年限x线性相关．
（1）试确定y关于x的线性回归方程；
（2）预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的浓度是使用4年的多少倍？
参考数据：
参考公式：线性回归方程中，，．
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）求直线l被曲线C截得的弦长．
21．（本小题满分12分）
2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣．
（1）完成列联表，并回答能够有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？
有兴趣 没有兴趣 合计
男 10 55
女
合计 100
（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率．
附表：
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
22．（本小题满分12分）
在直角坐标系中，曲线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线和极坐标方程；
（2）已如直线l的极坐标方程为，直线l与曲线分别交于异于极点的A、B两点，且，求．
西安市鄠邑区2021-2022学年高二下学期期末考试
数学（文科）试题参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B B D D A D D C A C B
二、填空题（每小题5分，共20分）
13． 14．2 15． 16．8
三、解答题
17．（本小题满分10分）
解：（1）
∴
∴
（2）复数z是关于x的方程的一个根
所以
即即
根据复数相等可得
解得
18．（本小题满分12分）
解：（1）已知，若正实数m，n满足，
则有成立．
（2）证明：左边-右边
∵
又m，n为正实数
故命题得证．
19．（本小题满分12分）
解：（1）由表中的数据可得
所以线性回归方程为
（2）令可得
当时，
所以预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的浓度是使用4年的4.2倍．
20．（本小题满分12分）
（1）直线l的参数方程为（t为参数）消参得：
曲线化为普通方程为：
（2）方法1：设直线l与曲线C交于A，B两点
圆心到直线的距离
所以弦长
方法2：
设直线l与曲线C交于A，B两点
由题知：直线过定点，且点P在圆外
所以
联立直线l与曲线C方程
得
化简为
显然
由韦达定理得，
经计算得：
21．（本小题满分12分）
（1）
有兴趣 没有兴趣 合计
男 45 10 55
女 30 15 45
合计 75 25 100
因为
所以有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．
（2）这5人中对冰球感兴趣的3名学生记为，没有兴趣的学生记为，
从这5人中抽取3人的基本事件有：，，，，，，，共有10个
用A表示事件：至少有2人对冰球有兴趣，共包含了7个基本事件
所以事件
22．（本小题满分12分）
解：（1）曲线的极坐标方程为
曲线（为参数）化为普通方程为：
所以其极坐标方程为
（2）如图：
直线与曲线交于异于极点的A点
联立可得点即
同理可得，即
因为
所以
所以解得或
因为，所以即
当时，
所以

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