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专题24：多面体的外接球半径常见求法
球作为特殊的旋转体，不仅在数学中，而且在物理学地理学中都是经常研究的对象，如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，多面体的与外接球直接的关系如何，球心的位置如何寻求呢？
该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.
例1(2021·全国甲卷理科)已知,,是半径为的球的球面上的三个点,且,，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
【思路点拨】
先确定所在的截面圆的圆心为斜边的中点，然后在和中，利用勾股定理求出，再利用锥体的体积公式求解即可．
练1(2022·湖南省湘潭市模拟·多选)如图，已知圆锥顶点为，其轴截面是边长为的为正三角形，为底面的圆心，为圆的一条直径，球内切于圆锥与圆锥底面和侧面均相切，点是球与圆锥侧面的交线上一动点，则( )
A. 圆锥的表面积是
B. 球的体积是
C. 四棱锥体积的最大值为
D. 的最大值为
【思路点拨】
设截面圆圆心为，根据题意得出球的半径， ，截面圆的半径为，再对各选项逐项判定，即可求出结果．
此类题一般考虑球心、截面圆圆心的连线与截面垂直，再借助等式求出外接球半径.
例2(2022·湖南省长沙市模拟)已知点是以为直径的圆上异于，的动点，为平面外一点,且平面平面，,,,则三棱锥外接球的表面积为 ．
【思路点拨】
由为外接圆的圆心，且平面平面，过作面的垂线，则垂线一定在面内，可得球心一定在面内，即球心也是外接圆的圆心，在中，由余弦定理、正弦定理即可得外接球半径，进而求得外接球表面积．
练2(2022·广东省中山市模拟)已知四棱锥的顶点都在球上,,,，，，平面平面，且，则球的体积为 ．
【思路点拨】
由题意画出图形，取的中点，证明为四棱锥的外接球的球心，求出半径，再由球的体积公式求解．
练3(2022·湖北省武汉市联考)一边长为的正方形，为的中点，将,分别沿,折起，使,重合，得到一个四面体，则该四面体外接球的表面积为__________．
【思路点拨】
先根据已知图象定出外接球的球心位置，然后通过勾股定理求解出四面体的外接球的半径，从而可求球的表面积．
此类题多数补成长方体，再利用长方体的对角线等于外接球的直径求出；若补成三棱柱，可利用等式求出外接球半径.
例3(2022·湖北省武汉市模拟)在上、下底面均为正方形的四棱台中，
已知，，，则该四棱台的表面积为 ；
该四棱台外接球的体积为 ．
【思路点拨】
先求出侧面等腰梯形的面积即可求出棱台的表面积；设，将棱台补成四棱锥，根据相似比求出棱台的高，根据棱台和球的特征，确定棱台的外接球球心为，可求得球的半径，即可求解．
练4(2023·浙江省温州市模拟)已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中是正三角形，平面，，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
【思路点拨】
由题意把扩展为三棱柱，求出上下底面中心连线的中点与的距离为球的半径，然后求出球的表面积．
由球心与多面体所有顶点的距离都是球半径，建立适当的空间直角坐标系进而求出外接球半径.
例4(2022·四川省广安二中四模)直角中，，，是斜边上的一动点，沿将翻折到，使二面角为直二面角，当线段的长度最小时，四面体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【思路点拨】
过点作交延长线于，过点作交于，再作，，使得与交于点，得到，当且仅当时等号成立，再根据题意，以为坐标原点，以，的方向为正方向建立空间直角坐标系，设四面体的外接球的球心为，进而利用坐标法求球心坐标，进而求出四面体外接球的半径，表面积．
练5(2022·山西省太原市一模)如图①，在中，，，分别为,的中点，将沿折起到的位置，使，如图②.若是的中点，则四面体的外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
由题意可知两两垂直,以为原点，建立空间直角坐标系，设外接球的球心为，
进而利用坐标法求球心坐标.
1.(2022·湖北省高三开学考试)在三棱锥中,,,，，则三棱锥外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
2.(2022·浙江省金华市模拟)设三棱柱的侧棱垂直于底面,
，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )
A. B. C. D.
3.(2023·湖北省咸宁市联考)已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
4.(2022·山东省潍坊市模拟)《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥和一个鳖臑四个面均为直角三角形的四面体在如图所示的堑堵中，，，，且有鳖臑和鳖臑，现将鳖臑沿线翻折，使点与点重合，则鳖臑经翻折后，与鳖臑拼接成的几何体的外接球的表面积是 ．
5.(2022·广东省湛江市联考)在边长为的菱形中，，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的外接球的表面积为 ．
6.(2021·广东省湛江市模拟)已知三棱锥中,,,,，为的外接圆的圆心,，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
7.(2022·广东省茂名市模拟)如图所示，三棱锥的顶点、、、都在球的球面上，且所在平面截球于圆，为圆的直径，点在底面上的射影为点，点为的中点，点为棱的中点．若，点到底面的距离为，则球的表面积为 ．
8.(2022·河北省邯郸市模拟)在四面体中，，，，
二面角的大小为，则此四面体的外接球的表面积是 ．
9.(2022·浙江省宁波市期末)如图,,,分别是边长为的正三角形三边的中点,将,，分别沿向上翻折至与平面均成直二面角，得到几何体则二面角的余弦值为 ；几何体的外接球表面积为 ．

专题24 多面体的外接球半径常见求法--答案解析
【专题探究】
例1【解析】因为，，所以为等腰直角三角形，
所以所在的截面圆的圆心为斜边的中点，所以平面，
在中，，则，
在中，，
故三棱锥的体积为．
故选：．
练1【解析】依题意，动点的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为，连接，
如图，正内切圆即为球的截面大圆，球心、截面圆圆心都在线段上，
连接，，，则球的半径，
显然，，，，，，
对于，圆锥的表面积是，所以A错误；
对于，球的体积是，所以B正确；
对于，因为到平面的距离与截面圆圆心到平面的距离相等，均为，
因此当与垂直时，体积最大，
其最大值为，所以C正确；
对于，，所以，
所以，所以，
由基本不等式可知，
即，当且仅当时取等号，所以D正确．
故选：．
例2【解析】因为为外接圆的圆心，且平面平面，
过作面的垂线，则垂线一定在面内，
根据球的性质，球心一定在垂线上，即球心也是外接圆的圆心，
在中，由余弦定理得，则，
设球的半径为，由正弦定理得：，解得，
三棱锥外接球的表面积为，
故答案为:．
练2【解析】取的中点，中点，连接，，，，
，，，，，
，，
则，，到，，，的距离相等，
平面平面，平面平面，，
平面，平面，
，分别为，的中点，，
平面，又，到、、的距离相等．
为四棱锥的外接球的球心，得，
球的体积为．
故答案为:．
练3【解析】将折叠后的几何体图一旋转成图二如图所示，
由图可知，四面体中，，且，，平面，
所以平面，
将图形旋转得如图所示的三棱锥，且是边长为的正三角形，
设其外心为，过作平面，垂足为，过作，垂足为，
则可得四边形为矩形，则的中点满足，即为外接球的球心，
中由正弦定理可知，，所以，
中，，，，
由勾股定理可得，，球的表面积．
故答案为．
例3【解析】在等腰梯形中，过作，垂足为，易求，，
则四棱台的表面积为
设，，
由棱台的性质，可将该棱台补成四棱锥如图，
因为，，可知与相似比为；
则，，
则，则，即该四棱台的高为．
由于上、下底面都是正方形，
则外接球的球心在上，在平面上，
由于，，则，
即点到点与到点的距离相等，
同理到，，，，，的距离均为，
于是为外接球的球心，且外接球的半径，
故该四棱台外接球的体积为．
故答案为：；．
练4【解析】由题意画出几何体的图形如下图：把扩展为三棱柱，
上下底面中心连线的中点与的距离为球的半径，
，，是正三角形，，
．．
所求球的表面积为：．
故选B．
例4【解析】根据题意,
图的直角三角形沿将翻折到使二面角为直二面角，
所以，过点作交延长线于，过点作交于，
再作，，使得与交于点，
所以，由二面角为直二面角可得，
设，，即，则，
因为，，所以，，
所以，在中，，，
在中，，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
此时，，
在图中，由于，即为角的角平分线，所以，即，
所以，所以，，
由题知，，，两两垂直，
故以为坐标原点，以 的方向为正方向建立空间直角坐标系，
则，
所以，设四面体的外接球的球心为，
则，，，
即
解得，即，
所以四面体的外接球的半径为，
所以四面体的外接球的表面积为．
故选D．
练5【解析】依题意，，，平面，
所以平面，又，
如图建立空间直角坐标系，
则、、、、、，
依题意为直角三角形，
所以的外接圆的圆心在的中点，
设外接球的球心为，半径为，则，
即，解得，所以，
所以外接球的体积；
故选：B
【专题训练】
1.【解析】，且，∴，
在中，根据余弦定理得，
，
∴，∴，
又，平面，∴平面，
故可将三棱锥B-APC补为直三棱柱，
则直三棱柱的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球，
设外接圆圆心为，△的外接圆圆心为，
则直三棱柱的外接球球心为中点，即为外接球的半径.
在中，根据正弦定理可得，∴，
∴，
∴外接球表面积为：．
故选：A．
2.【解析】由题意设底面外接圆的圆心为点，外接圆的半径为，
三棱柱的外接球的半径为，
在中，，，
由余弦定理得，
由正弦定理得，所以．
过作垂直于底面的直线交中截面于点，则为外接球的球心，
由题意得，则外接球的表面积．
故选:C．
3.【解析】如图所示，因为平面，且，平面，
所以，，
又因为，，可得，
由，所以为边长为的等边三角形，
设外接球的球心为，半径为，
外接圆的圆心为，连接，，，
则平面，则，在正，可得，
在直角中，可得，
所以外接球的表面积为．
故选:D．
4.【解析】鳖臑经翻折后，与鳖臑拼接成的几何体如图，
该几何体是三棱锥，
由已知求得底面三角形是边长为的正三角形，侧棱底面，
设的外心为，过作底面垂线，取 的中点，过作的垂线，
使两垂线相交于点，则为拼接成的几何体的外接球的球心．
，则外接球的半径满足，
拼接成的几何体的外接球的表面积为．
故答案为．
5.【解析】依题意在边长为的菱形中，，所以，
如下图所示，易知和都是等边三角形，取的中点，
则，．，平面，所以平面，
所以是二面角的平面角，过点作交于点，
由平面，平面，所以，
，平面，所以平面．
因为在中，，
所以，
则．
故三棱锥为正四面体，由平面，所以为底面的重心，
所以，，则，
设外接球的半径为，则，解得．
因此，三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：．
6. 【解析】由题意是中点，则，
因为，，所以，，
又，平面，
所以平面，而平面，所以平面平面，
作平面，垂足为， 平面，则平面，
又平面平面，则，，
因为，所以是矩形，
取中点，连接，则，从而平面．
就是三棱锥也是四棱锥的外接球的球心．
球半径为，表面积为．
故答案为：．
7.【解析】连接，则外接球的球心在直线上，如图所示，
因为，,
所以，，
在中，，则，
因为为圆的直径，点为的中点，点、分别为棱、的中点，
所以、均为等腰直角三角形，
在中，，
设球的半径为，在中，，，
则，即，解得，
故球的表面积．
故答案为：．
8.【解析】在四面体中，，，，
二面角的大小为，是等边三角形，，
取中点，中点，连结，，，则，，
是二面角的平面角，
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，
建立空间直角坐标系，
设四面体的外接球球心为，过作平面，则是重心，
设，则由题意得，，，
，，
解得，球半径
此四面体的外接球的表面积．
故答案为：．
9.【解析】取的中点，的中点，连接，，
故，
根据面面垂直的性质可得平面，平面，
故，且，故四边形为矩形．
所以．
根据图形的对称性，易得为正三角形，
取中点，因为，，则，，则二面角为，
且，
作，易得，且，，
故，即二面角的余弦值为；
设几何体的外接球球心为，
设中心为，中心为，易得共线，如图，设外接球半径，
根据正三角形中的关系，，．
因为，则，
即，即，
故，解得，
故外接球表面积为，
故答案为；．
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