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主题强化练1 集合与常用逻辑用语、复数
【核心归纳】
一、集合的运算
1．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1，2n－1，2n－2.
2．A∩B＝A A B A∪B＝B.
3．若已知A∩B＝ ，要注意不要漏掉特殊情况：A＝ 或B＝ ；
若已知A B，要注意不要漏掉特殊情况：A＝ .
二、常用逻辑用语
1．含有量词命题的否定：
“ x∈M，p(x)”的否定为“ x∈M，綈p(x)”，“ x∈M，p(x)”的否定为“ x∈M，綈p(x)”．简记：改变量词，否定结论．
2．充要条件的判定方法有定义法、集合法、等价转换法等．
三、复数
1．复数的定义：纯虚数、共轭复数及复数的模的概念．
2．复数的几何意义：z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
3．复数的运算
(1)复数的乘法类似于多项式的乘法，复数的除法的实质就是“分母实数化”．
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝i2＝－1，i4n＋3＝i3＝－i.
【真题示范】
1．(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于(　　)
A．{x|0≤x<2}
B.
C．{x|3≤x<16}
D.
2．(2022·全国乙卷)已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则(　　)
A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2
C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2
3．(2022·浙江)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．(2020·全国Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
5．(2020·全国Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a等于(　　)
A．－4 B．－2
C．2 D．4
6．(2019·全国Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
7．(2022·北京)设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．(2020·全国Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________.
【模拟演练】
9．(2022·淄博模拟)已知集合A＝{(x，y)|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x＋2}，则A∩B等于(　　)
A．{1,4} B．[0，＋∞)
C．{－1,2} D．{(－1,1)，(2,4)}
10．(2022·重庆调研)已知集合A，B为全集U的子集，若 UA UB，则A∪( UB)等于(　　)
A．A B．B C．U D．
11．(2022·黄山模拟)命题： x∈R，ax2－ax－2>0为假命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．(－∞，－8]∪[0，＋∞)
B．(－8,0)
C．(－∞，0]
D．[－8,0]
12．(多选)(2022·青岛模拟)已知复数z＝a＋(1－a2)i，i为虚数单位，a∈R，则下列选项正确的为(　　)
A．若z是实数，则a＝－1
B．复平面内表示复数z的点位于一条抛物线上
C．|z|≥
D．若z＝2＋1，则a＝±1
13．(2022·蚌埠模拟)设复数z＝2 022，则z等于(　　)
A．1 B．－1 C．i D．－i
14．(2022·合肥模拟)已知x∈R，则“x≤－3”是“(x＋2)(x－3)≥0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
15．(2022·上海模拟)设a，b是实数，集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>3，x∈R}，且A B，则|a－b|的取值范围为(　　)
A．[0,2] B．[0,4]
C．[2，＋∞) D．[4，＋∞)
16．(2022·上海模拟)复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足|z－3|＝|z－i|，则动点Z的轨迹为(　　)
A．直线 B．线段
C．两条射线 D．圆
17．(2022·宁波模拟)若复数z＝＋bi(b∈R，i为虚数单位)满足z·＝－b，其中为z的共轭复数，则的值为(　　)
A. B.
C．1 D.
18．(2022·武汉模拟)已知z＝2 021＋i2 022，则在复平面内，复数z所对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
19．(2022·运城模拟)已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且恒有f(f(x)－ln x)＝1，则“a>1”是“f(x)≤ax－1恒成立”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
20．(2022·济宁模拟)命题“ x∈R，x2－x＋1>0”的否定是____________________．
21．(2022·天津模拟)已知p：x2－7x＋10<0，q：(x－m)(x－3m)<0，其中m>0.若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
参考答案
1．D　2.A　3.A　4.C　5.B　6.C
7．C　[设无穷等差数列{an}的公差为d(d≠0)，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d.若{an}为递增数列，则d>0，则存在正整数N0，使得当n>N0时，an＝dn＋a1－d>0，所以充分性成立；若存在正整数N0，使得当n>N0时，an＝dn＋a1－d>0，即d>对任意的n>N0，n∈N*均成立，由于n→＋∞时，→0，且d≠0，所以d>0，{an}为递增数列，必要性成立．]
8．2
解析　设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，
因为z1＋z2＝＋i，
所以2z1＝(＋a)＋(1＋b)i，
2z2＝(－a)＋(1－b)i.
因为|z1|＝|z2|＝2，
所以|2z1|＝|2z2|＝4，
所以＝4，①
＝4，②
①2＋②2，得a2＋b2＝12.
所以|z1－z2|＝＝2.
9．D　10.C　11.B
12．BC　[由复数z＝a＋(1－a2)i是实数可知1－a2＝0，解得a＝±1，A选项错误；
复数z＝a＋(1－a2)i在复平面内对应点Z(a,1－a2)，其坐标满足方程y＝1－x2，即点Z(a,1－a2)位于抛物线y＝1－x2上，B选项正确；
由z＝a＋(1－a2)i，可得
|z|＝
＝＝
≥，C选项正确；
z＝2＋1，即a＋(1－a2)i＝2a＋1－2(1－a2)i，
可得
解得a＝－1，D选项错误．]
13．B　[＝＝＝i，
因此z＝i2 022＝(i2)1 011＝(－1)1 011＝－1.]
14．A
15.D
16.A
17.D
18.B
19．B　[令t＝f(x)－ln x，
则f(x)＝ln x＋t，
∴f(t)＝ln t＋t＝1.
∵g(t)＝ln t＋t－1是增函数且g(1)＝0，
∴t＝1，
∴f(x)＝ln x＋1，
∴f(x)≤ax－1 ln x＋1≤ax－1 a≥对 x>0恒成立．
令φ(x)＝，
φ′(x)＝，
当x∈时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增；
当x∈时，φ′(x)<0，
φ(x)单调递减，
∴φ(x)max＝φ＝e，
∴a≥e.
∵“a>1”是“a≥e”的必要不充分条件．
∴“a>1”是“f(x)≤ax－1恒成立”的必要不充分条件．]
20． x∈R，x2－x＋1≤0
解析　由存在量词命题的否定为全称量词命题，
可得原命题的否定为“ x∈R，
x2－x＋1≤0”．
21.≤m≤2
解析　p：x2－7x＋10<0
(x－2)(x－5)<0 2所以p：{x|2q：(x－m)(x－3m)<0，其中m>0，
解得m所以q：{x|m由q是p的必要不充分条件，
可得p q且qD /p，
所以{x|2则且等号不同时成立，
解得≤m≤2.

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