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《笛卡儿几何》
作者简介
勒内·笛卡尔（1596-1650年），法国哲学家、数学家、物理学家，被称为“理性主义的先驱”和“近代科学的始祖”，因将几何坐标系公式化而被誉为“解析几何之父”。在数学方面，笛卡尔将逻辑、几何、代数的方法相结合，通过讨论作图问题，勾勒出解析几何的新方法，并向世人证明，几何问题可以归结为代数问题；在物理学方面，笛卡尔首次较为完整地阐述了惯性定律，并明确地提出了动量守恒定律，为后来牛顿、莱布尼茨等人的研究奠定了坚实的基础。
内容简介
《笛卡尔几何》的问世，被誉为数学史上的伟大转折。笛卡尔对数学的最重要贡献，正是他在《笛卡尔几何》中所创立的解析几何。他的这一成就，为微积分的创立奠定了基础，而微积分，又是现代数学产生和发展的重要基石。《笛卡尔几何》被后世数学家和数学史家视作解析几何的起点。该书共分三卷：第一卷讲解尺规作图；第二卷讨论曲线的性质；第三卷借立体和“超立体”作图以探讨方程的根的性质。笛卡尔力图建立一种“普遍”的数学，即把任一数学问题转化为代数问题，继而把任一代数问题归结为求解一个方程式，这便是“解析几何”，或称作“坐标几何”。而平面直角坐标的建立，正是解析几何得以创立的关键。
笛卡儿的数学观
1 笛卡儿是否喜欢欧氏几何。
1） 欧氏几何是以构造方法为基础的公理体系。
对欧几里得《几何原本》（以下简称《原本》）作为公理体系的特色，已有大量著述，不再赘言，此处只简要提一提其构造方法的特征。应该说，人类早期发展起来的几何、算术和代数，都以其研究对象的直观性存在或构造性存在为基础。《原本》的基础仍在于几何对象的构造性存在： ① 它的5条（公设）是为作图而设的；② 它只讨论可规、尺作图的图形。
2） 笛卡儿对《原本》的公理形式和几何内容分而治之，各作取舍。
在笛卡儿的著作中，我们尚未找到他对欧氏几何的系统评价，但从他建立他的哲学体系的方法，可以看出他在如下意义上，并不排斥由定义、公理到定理的这种形式的知识结构，即认为它是证明各种知识的确实性（或者说真理性）的唯一可靠的方法。他也确实把他的哲学体系全部建立在“我思故我在”这条“第一原理”之上了。在《哲学原理》的序言中，笛卡儿写道： “要寻找第一原因和真正的原理，由此演绎出人所能知的一切事物的理由。”
3） 笛卡儿取消了欧氏几何对构造性存在的苛刻限制，为扩大几何的研究对象，从而为几何研究自然现象开辟了道路。
笛卡儿在《几何》中分析了古希腊人在作图问题上的局限性，首次提出“几何的精确性最终依赖于推理，”因此比欧氏尺、规复杂的工具，只要在机械学中允许使用，就应视为跟尺、规有同样的精确性，它们作出的图形，应该和圆与直线一样有资格作为几何的对象。他在给贝克曼的信（1619.3.26）中说，算术问题根据各自的特点加以解决，“有的问题用有理数解，另一些仅用到无理数，还有一些仅可以想象而无法解出。”在涉及连续量的问题中，“某些仅用直线和圆就可解决，其他的要由别种曲线来解，不过要求它们由单一的运动给出，因此，可用新形式的各种作图规画出。
2由传统几何、算术到笛卡儿的普遍的数学。
凡论及解析几何发生历史的著作都必讨论这个主题，我们想强调以下几点：
1） 他对古希腊数学家流传下来的著作，表示了普遍的不满。
2） 但他觉得即使在古代也已萌发了一种真正的数学。笛卡儿发现在他的同时代的人中，正有人在复兴这门技艺，“它具有真正的数学所必备的清晰性和简单性。”他说他的这些考查使他从带特殊性的算术和几何走向一种具有普遍性的数学。
3） 笛卡儿的普遍的数学的目标是直接指向科学研究的。他提出数学应研究“一切事物的次序与度量性质”，不管它们“来自数、图形、星辰、声音或其他任何涉及度量的事物。”数学应该阐明“有关次序与度量的完整的原理”。
4） 帕普斯问题是笛卡儿打开“普遍的数学”大门的敲门砖。
笛卡儿达到解析几何真谛的过程大致如下： ① 在学生时代，对几何、算术和代数产生了浓厚的兴趣，认为是他所学知识中最明白和确实的;② 在发展他的哲学体系时，提出由怀疑为先导的理性方法，因而对希腊数学进行了深刻的反思； ③ 与此同时，他对科学的兴趣，使他产生了要寻找一种普遍适用的数学的强烈愿望;④ 在批判希腊数学著作时，在帕普斯的《数学汇编》中发现了“轨迹问题”[欧几里得和阿波罗尼奥斯(Apollonius)都研究过但未解决]。
3笛卡儿对数学对象的客观性的解释
在《沉思集》中，笛卡儿有一段对数学对象本性的论述： “我想象一个三角形的时候，虽然在我以外的世界的任何地方也许没有这样一种形相，甚至从来没有过，但是这种形相毕竟具有明确的本性、形式或本质，这种本性是不变的、永恒的，不是我捏造的，而且不以任何方式依赖我的心灵。”
应该指出，在笛卡儿早年为外部世界的事物(他称为感官对象)所深深吸引时，就曾把算术、几何以及一般纯粹数学中的形相、数目等能清楚明白理会到的东西当成是真实的。经过多年的哲学考察后才转向上述接近柏拉图的数学客观性观念的。

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