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第6章 实数
6.1平方根
【知识点】
（一）算术平方根
1.如果一个正数x的平方等于a，即x2 = a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作√a（√a≥0），读作“根号a”，其中a叫做被开方数.
2.规定：0的算术平方根是0
3.非负数a的算术平方根√a有双重非负性：（1）被开方数a是非负数；（2）算术平方根√a本身是非负数.
4.当把一个非负数的小数点每向左或向右移动两位时，相应地算术平方根的小数点就向左或向右移动一位，即如果b=100a，则√b=10√a
5.被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
6.确定某一个数a的算术平方根的整数范围的方法：找到与被开方数相邻的两个是平方数的整数，则这个算术平方根就在这两个整数的算术平方根之间.
（二）平方根
1.如果一个数x的平方等于a，即x2= a，那么x叫做a的平方根或二次方根，记作±√a，其中正的平方根是a的算术平方根
2.正数有2个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根
3.求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。开平方与平方互为逆运算（加减、乘除、乘方开方，三组互为逆运算）
4.平方根与算术平方根的联系与区别：
联系：（1）具有包含关系．平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种；
（2）存在条件相同．平方根和算术平方根都是只有非负数才有；
（3）0的平方根、算术平方根都是0.
区别：（1）定义不同；
（2）个数不同．一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个；
（3）表示法不同．正数 a 的平方根表示为±√ a ，正数 a 的算术平方根表示为√ a ;
（4）取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个．
6.2立方根
【知识点】
1.如果一个数x的立方等于a，即x3 = a，那么x叫做a的立方根或三次方根，记作a，读作“三次根号a”.其中a是被开方数，左上角的3是根指数，根指数“3”不能省略.
2.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 开立方运算与立方运算互为逆运算.
3.任何一个数都有一个立方根，且只有一个. 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
4.当两个数相等时，这两个数的立方根也相等；反过来，当两个数的立方根相等时，这两个数也相等，这与平方根不同.
5.立方根与平方根的联系与区别.
联系：
（1）0的平方根、立方根都是它本身；
（2）平方根与立方根都是开方的结果，是数值，不是运算.
区别：
（1）定义不同
如果x2=a，那么x就叫做a的平方根，例如：因为(±5)2=25，所以±5就叫做25的平方根．
如果x3=a，那么x就叫做a的立方根，例如：因为(-5)3=-125，所以-5就叫做-125的立方根．
（2）被开方数的取值范围不同．
负数没有平方根，负数有一个负的立方根．即
在平方根±√a中，a必须是非负数（a≥0）；
在立方根3√a中，a可以取任意数．
（3）方根的数目不同．
正数有两个平方根，它们互为相反数，正数只有一个正的立方根，如64的平方根是±8；64的立方根是4.
（4）算术根不同．
在正数a的平方根±√a中，正的平方根√a叫做a的算术平方根，正数a的立方根3√a就是a的三次算术根．
6.估算立方根的大小：估算一个正数的立方根的大小的依据是：若a>b>0，则>>0.估算的方法与估算一个正数的算术平方根的方法相同.
6.3实数
【知识点】
（一）实数的概念
1.无限不循环小数叫做无理数. 如√2，0.101 001. 000 1…，任何有理数都可以化成有限小数或无限循环小数.【链接1.2.1无限循环小数化为分数】
2.有理数和无理数统称实数.
3.无理数也有正负之分.
4.用根号形式表示的数未必是无理数，要从定义去辨别，不能从形式上分辨.
5.常见的无理数：
（1）与π有关的数
（2）开方开不尽的数
（3）特殊结构的数，如：0.101 001. 000 1…
6.所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式.
（二）实数与数轴、实数的有关概念
1.实数与数轴上的点一一对应.（每一个实数都可以用数轴上的点来表示；数轴上的每一个点都表示一个实数）
2.实数a的相反数为-a，绝对值为
3.有理数的大小比较法则在实数范围内仍成立，如：数轴上的任意两点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
4.两个正实数，绝对值较大的值也较大；两个负实数，绝对值大的值反而小；正数大于0，负数小于0，正数大于负数.
5.√2和1.4；2和3√3比较大小的方法：可以将1.4转化为√1.96，再进行比较；也可以对它们同时进行平方，再进行比较.
（三）实数的运算
1.任意两个实数，经过加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算的结果仍然是实数，有理数的运算法则、运算律、运算顺序、运算性质在实数范围内仍然成立.
2.实数之间可进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. 在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
一、填空题
1. 一个正数a的两个平方根是2b-1和b+4，则a+b的立方根为_________.
2. 3x-4为25的算术平方根，则x的值为_______.
3. 已知9的算术平方根为a，b的绝对值为4，则a-b的值为_________.
4. 的算术平方根为________.
5. 比较大小： _______
6. 若a<137. 若√5的值在两个整数a与a+1之间，则a=_______.
选择题
1. 4的平方根是 （ ）
A.±2 B.-2 C.2 D.±1/2
2. 121的平方根是±11，用数学表达式表示为 （ ）
A.√121=11 B.√121=±11 C.±√121=11 D.±√121=±11
3. 下列各数没有平方根的是 （ ）
A.6 B.-(-2)2 C.-(-16) D.22
4. a2的平方根一定是 （ ）
A.±a B.|a| C.√a D.-a
5. √9的平方根是 （ ）
A.±3 B.3 C.-3 D.±√3
三、简答题
1. 求下列各式的值：
2. 求下列各数的立方根： （1）-27 （2）-0.216 （3）-5 （4）0 （5）-1+ （6）64 000
3. 比较4、5、3√100的大小
4. 已知一个数的两个平方根分别是3a+1和a+11，求这个数的立方根.
5. 设1995x3=1996y3=1997z3，xyz>0，且= + + ,求 + + 的值.

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