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江苏省南京市田家炳高级中学 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线√ 3 + + 2 = 0的倾斜角为( )
A. 150 B. 120 C. 60 D. 30
2 2 2 2
2.椭圆 + = 1与椭圆 + = 1( < 9)的( )
25 9 25 9
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等
3.在等差数列{ }中， 3 + 4 + 5 = 30，则 2 + 6的值为( )
A. 20 B. 15 C. 10 D. 5
4.若两圆 2 2 2 21： + + 2 = 0与 2： + 4 8 + = 0外离，则实数 的取值范围为( )
A. > 4 B. < 4 C. 0 < < 4 D. 4 < < 20
1
5.已知数列{ }满足 1 + 2 + 3 + + =
2
2 3 ，设 = ，则数列{ }的前2025项和为( ) +1
2022 4046 4044 2025
A. B. C. D.
4045 4047 4045 4051
6.已知函数 ( ) = ln + 2 + 2在区间(0, +∞)上单调递减，则 的取值范围是( )
1 1
A. ( ∞, ) B. ( ∞, 1) C. ( ∞, ] D. ( ∞, 1]
2 2
7.已知函数 ( ) = ( 2023)( 2024)( 2025)( 2026)，则 ( )的图象在 = 2025处的切线方程为
( )
A. 2 + 4050 = 0 B. + 2025 = 0
C. 2 4050 = 0 D. 2025 = 0
8.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂
2 2
直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆 :
2
+ 2 =

3
1( > 0, > 0)的蒙日圆为 : 2 + 2 = 2，过 上的动点 作 的两条切线，分别与 交于 ， 两点，直
2
线 交 于 ， 两点，则下列说法中，正确的个数为( )
√ 2
①椭圆 的离心率为
2
√ 6 √ 2
② 到 的左焦点的距离的最小值为
2
3
③ 面积的最大值为 2
2
1
④若动点 在 上，将直线 ， 的斜率分别记为 1， 2，则 1 2 = 2
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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )

A. 点 1( 1 , 1), 2 ( 2, 2)是直线 上不同的两点，则直线 可以表示为
1 = 1
2 1 2 1
B. 若直线 + 2 + 2 = 0与直线 + ( 1) + 1 = 0平行，则实数 = 1
C. 过点(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 = + 2
D. 直线 1 , 2的斜率分别是方程
2 3 1 = 0的两根，则 1 ⊥ 2
2
10.设椭圆 : + 2 = 1的左、右焦点分别为 1， 2， 是椭圆 上的动点，则下列结论中正确的有( ) 2
√ 3
A. 离心率 =
2
B. | 1| + | 2| = 2√ 2
C. △ 1 2面积的最大值为1
D. 直线 + √ 2 = 0与以线段 1 2为直径的圆相切
11.已知函数 ( )为定义在( ∞, 0) ∪ (0, +∞)上的奇函数，若当 < 0时， ′ ( ) ( ) < 0，且 (1) = 0，
则( )
A. 2 ( ) > (2)
B. 当 < 2时， ( ) > (1)
C. 3 ( ) + (3) < 0
D. 不等式 ( ) > 0解集为( 1,0) ∪ (1, +∞)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2
12.已知椭圆 + 2 = 1( > 0)的一个焦点与抛物线
2 = 8 的焦点重合，则 = ．
36

13.函数 = + 2cos 在[0, ]的最小值为 ．
2
14.斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为
“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列{ }可以用
如下方法定义： = 1 + 2( ≥ 3, ∈
)， 1 = 2 = 1，若此数列各项除以4的余数依次构成一个
新数列{ }，则 2025 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知{ }是各项均为正数的等比数列， 1 = 1，且 3 ,3 2 , 4成等差数列．
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(1)求{ }的通项公式．
(2)设 = + 2 ，求数列{ }的前 项和．
16.(本小题12分)
已知以点 ( 1,2)为圆心的圆与直线 1 : + 2 + 7 = 0相切，过点 ( 2,0)的动直线 与圆 相交于 ，
(1)求圆 的方程;
(2)当| | = 2√ 19时，求直线 的方程．
17.(本小题12分)
已知数列{ }的各项均为正数，其前 项和为
2
，且满足2 = 2 + 1， ∈
．
(1)证明：数列{ }是等差数列；
{ } (2)若数列 满足

= 1，记 = 1 + 2 + + ，证明： < 3． 2
18.(本小题12分)
2 2
已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的实轴长为2，右焦点 到双曲线 的渐近线距离为√ 3．
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 (2,0)作直线 交双曲线的右支于 , 两点，连接 并延长交双曲线左支于点 ( 为坐标原点)，求
的面积的最小值．
19.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 1．
(1)当 = 1时，求函数 ( )的极值；
(2)求函数 ( )的单调区间；
(3)若对任意的实数 ， ，曲线 = ( ) + + 与直线 = + 总相切，则称函数 ( )是“ 函数”，当
= 1时，若函数 ( ) = [ ( ) + 1] + 是“ 函数”，求 ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】4√ 2

13.【答案】 ；
2
14.【答案】2
15.【答案】【详解】(1)因为数列{ }是各项均为正数的等比数列， 1 = 1，且 3 ,3 2 , 4成等差数列，
所以6 2 = 3 + 4．
设数列{ 2 }的公比为 > 0，则 + 6 = 0，
解得 = 2，或 = 3(舍)，
所以 = 1 1 = 2
1．
(2)由(1)知 = 2
1，
因为 =
1
+ 2 ，所以 = 2 + 1，
设数列{ }的前 项和为 ，
则 = 1 + 2 + 3 + + = (2
0 + 0) + (21 + 1) + (22 + 2) + + (2 1 + 1)
= (20 + 21 + 22 + + 2 1) + (0 + 1 + 2 + + 1)
1×(1 2 ) (0+ 1) 2
= + = 2 + 1，
1 2 2 2
2
即数列{ }的前 项和为 = 2 + 1． 2
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16.【答案】解：(1)设圆 的半径为 ，因为圆 与直线 1： + 2 + 7 = 0相切，
| 1+4+7|
所以 = = 2√ 5，
√ 5
所以圆 的方程为( + 1)2 + ( 2)2 = 20；
2 2
(2)由于弦长| | = 2√ 19，则圆心到直线的距离为 = √ (2√ 5) (√ 19) = 1，
当直线 与 轴垂直时， = 2，满足题意；
当直线 与 轴不垂直时，
设直线 的方程为 = ( + 2)，即 + 2 = 0，
| 2+2 |
于是 = 1，
√ 2 +1
3
解得 = ，
4
此时直线 的方程为3 4 + 6 = 0，
综上，直线 的方程为 = 2或3 4 + 6 = 0．
17.【答案】解：(1)当 = 1 时， 2 1 = 2
2
1 + 1 1 ，得 1 = 1 ，
当 ≥ 2 时， 2 2 1 = 2 1 + 1 1 ，
又 2 = 2
2 2 2
+ 1 ，两式相减得， 2 = 2 2 1 + 1 ，
整理得 + 1 = 2
2 2 2 1 = 2( + 1)( 1) ，
1
∵ + 1 ≠ 0 ，∴ 1 = ， 2
1
∴数列 { } 是首项为1，公差为 的等差数列． 2
+1
(2)由(1)可知，数列 { } 的通项公式为 = ， 2
+1
故 = = ，
2 1 2
2 3 +1 1 2 3 +1
∴ = + 2 + + ①， = 2 + 3 + +2 2 2 2 2 2 2 +1
②，
1 1 1 1 +1 1 1 +1
① ②得， = 1 + + + + ( )2 22 23 2 2 +1
= 1 + 1 ，
2 2 1 2 +1
1 +1 +3
故 = 3 = 3 ，
2 1 2 2

∴ < 3 ．
2 2
18.【答案】【详解】(1)因为双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的实轴长为2，故 = 1，
而双曲线的渐近线为 ± = 0，
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故右焦点 ( , 0)到渐近线的距离为 = = √ 3，
√ 2 2 +
2
故双曲线的方程为： 2 = 1．
3
(2)显然直线 与 轴不垂直，设 ： = + 2， ( 1 , 1)， ( 2, 2)，
由双曲线的对称性知 的中点为 ，故 = 2 ，
= + 2
联立{ 2 2 (3
2 1) 2 + 12 + 9 = 0
3 = 3
12
1 + 2 =2 2故 = 36( + 1) > 0，{ 3 1,
9
1 2 = 3 2 1
9 1
由于 ， 均在双曲线右支，故 1 2 = 2 < 0，故0 ≤
2 < ，
3 1 3
1
而 = 2 = 2 × × | | × (| 1 2|) = 2√ ( 1 + )22 4 1 2， 2
12√ 2+1 1
代入韦达定理得 2 = (2 0 ≤ < )， 1 3 3
令√ 2
2√ 3 12 12 2√ 3
+ 1 = (1 ≤ < )，则
3
= ( )
4 3 2
= 4 1 ≤ < ，
3 3

4 2√ 3
易知 = 3 在[1, )上为减函数，则当 = 1时，(
3
)min = 12，
综上： 的面积的最小值为12．
19.【答案】【详解】(1)函数 ( ) = 1， ′( ) = 1，
当 = 1时， ′( ) = 1，∴ ′(0) = 0，
当 ∈ ( ∞, 0)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 ∈ (0, +∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
故 ( )有极小值 (0) = 0，无极大值．
(2)由(1)可知：当 ≤ 0时， ′( ) = 1 ≤ 1， ( )在( ∞, +∞)单调递减；
1
ln
当 > 0时，令 1 = 0，得
1 ln
= ， = = ，

所以 ′ (
ln
) = 0，且 ′( ) = 1为增函数，

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ln
当 < 时， ′( ) < 0， ( ) (
ln
在 ∞, )单调递减；

ln ln
当 > 时， ′( ) > 0， ( )在( , +∞)单调递增；

综上，
当 ≤ 0时， ( )的单调递减区间为( ∞, +∞)，无递增区间；
( ) ln ln 当 > 0时， 的单调递减区间为( ∞, )，单调递增区间为( , +∞)；

(3)当 = 1时，函数 ( ) = [ ( ) + 1] + = ( 2 ) + 是“ 函数”，
求导得 ′( ) = 2 ( 1)，
设曲线 = ( ) + + 与直线 = + 切点( 0, 0)，
0 = ( 0) +
0 0
0 + = 0 + ( 0) = 0 ( 2 ) + = 0则{ ，故{ ，即{ 0 ,
′( 0) + = ′( 0) = 0 2
0 ( 0 0 1) = 0
所以 0 = + 1且 = 0 ( 00 2 0)，
设 ( ) = 1， ′( ) = 1，易知 ′(0) = 0，且 ′( ) = 1是增函数，
当 ∈ (0, +∞)时，′( ) > 0，( )单调递增，当 ∈ ( ∞, 0)时，′( ) < 0，( )单调递减，
所以 ( )min = (0) = 0，所以 0 = 0是方程
0 0 1 = 0的根，且唯一，
所以 = 0 ( 0 2 0) = 1．
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