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§3.3　导数与函数的极值、最值
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.函数f(x)=x3+x2-3x-1的极小值点是(　　)
A.1 B.
C.-3 D.(-3，8)
2.(2024·楚雄模拟)已知定义域为[-3，5]的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)的图象如图所示，则(　　)
A.f(x)在(-2，2)上先增后减
B.f(x)有极小值f(2)
C.f(x)有2个极值点
D.f(x)在x=-3处取得最大值
3.(2025·苏州模拟)设0A.1 B. C.2 D.
4.(2024·赤峰模拟)已知函数f(x)=xln x-ax有极值-e，则a等于(　　)
A.1 B.2 C.e D.3
5.若函数f(x)=ex-ln(x+m)的最小值为2+ln 2，则m等于(　　)
A.-2 B.-ln 2
C.- D.+ln 2
6.已知函数f(x)=ln x-ax有两个不同的极值点x1，x2(x1A.a的取值范围是(-∞，1)
B.x1是极小值点
C.当x∈(x2，+∞)时，f'(x)<0
D.=
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知函数f(x)=x3-3x2，则(　　)
A.f(x)在(0，1)上单调递减
B.f(x)的极大值点为2
C.f(x)的极大值为-2
D.f(x)有2个零点
8.(2023·新高考全国Ⅱ)若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　)
A.bc>0 B.ab>0
C.b2+8ac>0 D.ac<0
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.若函数f(x)=x3-4x+m在[0，3]上的最小值为4，则m=　　　　　　.
10.若函数f(x)=x2-ax+ln x在(0，2)上有极值，则实数a的取值范围是　　　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知函数f(x)=+x(a∈R).
(1)若f'(0)=0，求实数a的值；(5分)
(2)讨论函数f(x)的极值.(8分)
12.(15分)(2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ax-a3.
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(5分)
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.(10分)
每小题5分，共10分
13.设ab≠0，若a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点，则(　　)
A.ab C.abb2
14.若不等式a+2x+|ln x|-1≥0恒成立，则a的取值范围是　　　　　　　　　　.
答案精析
1.A　2.B
3.D　[因为04.B　[由题目条件可得，函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=ln x+1-a.令f'(x)>0，得x>ea-1；
令f'(x)<0，得0所以函数f(x)在区间(0，ea-1)上单调递减，在区间(ea-1，+∞)上单调递增.
则函数f(x)的极小值点是ea-1，无极大值点，
故f(ea-1)=ea-1ln ea-1-aea-1=-e，
解得a=2.]
5.B　[易知f(x)的定义域为(-m，+∞)，f'(x)=ex-
易知f'(x)在区间(-m，+∞)上单调递增，
又当x→-m时，f'(x)→-∞；当x→+∞时，f'(x)→+∞，
所以存在唯一x0∈(-m，+∞)，使得f'(x0)=0，即x0=-ln(x0+m)，
所以当x∈(-m，x0)时，f'(x)<0；当x∈(x0，+∞)时，f'(x)>0，
所以f(x)在区间(-m，x0)上单调递减，在区间(x0，+∞)上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(x0)=-ln(x0+m)=+x0=2+ln 2=eln 2+ln 2，
所以x0=ln 2，所以eln 2=解得m=-ln 2.]
6.A　[令f'(x)=+-a=-a=0，
由题意，方程=a在(0，+∞)上有两根x1，x2(x1设g(x)=
g'(x)==
当00，g(x)单调递增，当x>1时，g'(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x)max=g(1)=1>0，
当x→0时，g(x)=→-∞，当x→+∞时，g(x)=→0，
所以a的取值范围是(0，1)，故A不正确；
由A选项分析可知0当0当x1f'(x1)=0=f'(x2)，f(x)单调递增，
当x>x2时，f'(x)所以x1是极小值点，故B，C正确；
对于D，因为==a，所以=故D正确.]
7.AD　[由函数f(x)=x3-3x2，可得f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，
令f'(x)>0，解得x<0或x>2；令f'(x)<0，解得0所以函数f(x)在(0，2)上单调递减，在(-∞，0)，(2，+∞)上单调递增，
当x=0时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(0)=0；
当x=2时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(2)=-4，
又由x→+∞时，f(x)→+∞且f(2)=-4<0，f(0)=0，所以函数f(x)只有两个零点，
所以A，D正确，B，C不正确.]
8.BCD　[函数f(x)=aln x++的定义域为(0，+∞)，则f'(x)=--=
因为函数f(x)既有极大值也有极小值，
则函数f'(x)在(0，+∞)上有两个变号零点，而a≠0，
因此方程ax2-bx-2c=0有两个不相等的正实数根x1，x2，
于是
即有b2+8ac>0，ab>0，ac<0，
显然a2bc<0，即bc<0，故A错误，B，C，D正确.]
9.
解析　f'(x)=x2-4，
当x∈[0，2)时，f'(x)<0，当x∈(2，3]时，f'(x)>0，
所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，
所以f(2)为f(x)在[0，3]上的极小值，也是最小值，
故×8-4×2+m=4，
解得m=.
10.(2，+∞)
解析　f(x)=x2-ax+ln x的定义域为(0，+∞)，f'(x)=x-a+
要使函数f(x)=x2-ax+ln x在(0，2)上有极值，则f'(x)=x-a+在(0，2)上有变号零点，
令g(x)=x+x∈(0，2)，
则g(x)=x+≥2=2，
当且仅当x=1时等号成立，所以a≥2.
当a=2时，f'(x)=x-a+=x+-2≥0，函数f(x)单调递增，
则函数f(x)=x2-ax+ln x在(0，2)上没有极值，故a>2，
即实数a的取值范围是(2，+∞).
11.解　(1)由函数f(x)=+x，
可得f'(x)=1-=
所以f'(0)==1-a=0，
解得a=1.
(2)函数f(x)=+x的定义域为R，
且f'(x)=1-=
当a≤0时，f'(x)>0恒成立，
所以f(x)在R上单调递增，f(x)无极值；
当a>0时，令f'(x)>0，解得x>ln a；
令f'(x)<0，解得x所以f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，在(ln a，+∞)上单调递增，
所以f(x)的极小值为1+ln a，无极大值.
综上所述，当a≤0时，f(x)无极值；当a>0时，f(x)的极小值为1+ln a，无极大值.
12.解　(1)当a=1时，
则f(x)=ex-x-1，
f'(x)=ex-1，
可得f(1)=e-2，f'(1)=e-1，
即切点坐标为(1，e-2)，
切线斜率k=e-1，
所以切线方程为
y-(e-2)=(e-1)(x-1)，
即(e-1)x-y-1=0.
(2)方法一　因为f(x)的定义域为R，
且f'(x)=ex-a，
若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立，
可知f(x)在R上单调递增，
无极值，不符合题意；
若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a，
令f'(x)<0，解得x可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，+∞)上单调递增，
则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，无极大值，
由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0，
即a2+ln a-1>0，
令g(a)=a2+ln a-1，a>0，
则g'(a)=2a+>0，
可知g(a)在(0，+∞)上单调递增，
且g(1)=0，
不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)，
解得a>1，
所以a的取值范围为(1，+∞).
方法二　因为f(x)的定义域为R，
且f'(x)=ex-a，
若f(x)有极小值，
则f'(x)=ex-a有零点，
令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a，
可知y=ex与y=a有交点，则a>0，
令f'(x)>0，解得x>ln a；
令f'(x)<0，解得x可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，+∞)上单调递增，则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，
无极大值，符合题意，
由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0，即a2+ln a-1>0，
令g(a)=a2+ln a-1，a>0，
因为y=a2，y=ln a-1在(0，+∞)上均单调递增，
所以g(a)在(0，+∞)上单调递增，
且g(1)=0，
不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)，
解得a>1，
所以a的取值范围为(1，+∞).
13.C　[由三次函数的性质可知，要使a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点，则
当a>0时，函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则0当a<0时，函数f(x)的大致图象如图(2)所示，则b综上，ab14.[-ln 2，+∞)
解析　不等式a+2x+|ln x|-1≥0恒成立，
即a≥1-2x-|ln x|恒成立，
设f(x)=1-2x-|ln x|，x∈(0，+∞)，
当x≥1时，f(x)=1-2x-ln x，
f'(x)=-2-<0，
∴f(x)在[1，+∞)上单调递减，此时f(x)max=f(1)=-1；
当0∴f'(x)=-2+=
∴当x∈时，f'(x)>0，
当x∈时，f'(x)<0，
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减，此时f(x)max=f =ln =-ln 2.
综上可知，a的取值范围是[-ln 2，+∞).§3.3　导数与函数的极值、最值
课标要求　1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题.
1.函数的极值
(1)函数的极小值
函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小，f'(a)=0；而且在点x=a附近的左侧　　　　　　，右侧　　　　　　，则a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
(2)函数的极大值
函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大，f'(b)=0；而且在点x=b附近的左侧　　　　　　，右侧　　　　　　，则b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为　　　　　，极小值和极大值统称为　　　　.
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条　　　　　　　　的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y=f(x)在区间(a，b)内的　　　　；
②将函数y=f(x)的各极值与　　　　　　　　　　　　　　　　　　　比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有.(　　)
(2)函数的极小值一定小于函数的极大值.(　　)
(3)函数的极小值一定是函数的最小值.(　　)
(4)函数的极大值一定不是函数的最小值.(　　)
2.(多选)如图是函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)在区间(3，5)上单调递减
B.函数f(x)在区间(4，5)上单调递增
C.函数f(x)在x=3处取得极大值
D.函数f(x)在x=4处取得极小值
3.函数f(x)=x3-x2-14x的极小值点为　　　　　　，极大值为　　　　　　.
4.若函数f(x)=x3-ax2+2x-1有两个极值点，则实数a的取值范围是　　　　.
解题时灵活应用转化以下几个关键点
(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1).
(2)极值是个“局部”概念，最值是个“整体”概念.
(3)有极值的函数一定不是单调函数.
(4)“f'(x0)=0”是“x0为可导函数f(x)的极值点”的必要不充分条件.例如f(x)=x3，f'(0)=0，但0不是极值点.
(5)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点.
题型一　利用导数求解函数极值问题
命题点1　根据函数图象判断极值
例1　(多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数g(x)=xf'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A.f(x)有两个极值点
B.f(0)为f(x)的极大值
C.f(x)有两个极小值点
D.f(-1)为f(x)的极小值
命题点2　求已知函数的极值
例2　(2025·沈阳模拟)已知函数f(x)=2ln x-2(a-1)x-ax2(a>0)，讨论f(x)的极值.
命题点3　已知极值(点)求参数
例3　(1)(2024·肇庆模拟)若函数f(x)=x(x-c)2在x=-2处取极小值，则c等于(　　)
A.-6 B.-2
C.-6或-2 D.-4
(2)已知函数f(x)=ln x-x(其中a∈R，e为自然对数的底数)存在极大值，且极大值不小于1，则a的取值范围为　　　　　　.
思维升华　根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)验证：求解后验证根的合理性.
跟踪训练1　(1)已知函数f(x)=aex+bx在x=0处取得极小值1，则f'(2)等于(　　)
A.e2-2 B.2-e2
C.e2-1 D.e2
(2)若函数f(x)=eax+2x有大于零的极值点，则实数a的取值范围为(　　)
A.a>-2 B.a>-
C.a<-2 D.a<-
题型二　利用导数求函数的最值
命题点1　不含参函数的最值
例4　函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为(　　)
A.- B.-
C.-+2 D.-+2
命题点2　含参函数的最值
例5　已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2(a>0)，求函数f(x)在[1，2]上的最小值.
思维升华　求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.
跟踪训练2　(1)已知函数f(x)=x-sin x，x∈[0，π]，则f(x)的最大值为　　　　　　.
(2)(2025·泰安模拟)已知函数f(x)=+ln x在区间[1，e]上的最小值为，则a的值为(　　)
A.1 B. C. D.
三次函数的性质
三次函数是一类重要的函数，其规律性强，内容相对独立，且有一些独有的结论和技巧.如果能得当运用三次函数的有关结论，可以大大简化解题过程.
典例　(多选)已知三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则下列选项正确的是(　　)
A.三次函数的对称中心是
B.若函数f(x)关于点(m，n)对称，则y＝f'(x)的图象关于直线x＝m对称
C.若函数y＝f(x)有极值，则对称中心是两个取极值的点的中点
D.若f(x)＝0的三个根分别为x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝－
答案精析
落实主干知识
1.(1)f'(x)<0　f'(x)>0　(2)f'(x)>0
f'(x)<0　(3)极值点　极值
2.(1)连续不断　(2)①极值　②端点处的函数值f(a)，f(b)
自主诊断
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.AC　3.　18
4.(-∞，-)∪(，+∞)
探究核心题型
例1　BC　[根据g(x)=xf'(x)的图象，可得当x<-2时，g(x)=xf'(x)>0，可得f'(x)<0，即f(x)单调递减，
当-20，即f(x)单调递增，
当0当x>1时，g(x)=xf'(x)>0，可得f'(x)>0，即f(x)单调递增，
因此f(x)在x=-2和x=1处取得极小值，在x=0处取得极大值，共3个极值点，A错误，C正确；
f(0)为f(x)的极大值，B正确；
f(-1)不是f(x)的极小值，D错误.]
例2　解　函数f(x)的定义域为(0，+∞)，
求导得f'(x)=-2(a-1)-2ax
=-，
因为a>0，则当x∈时，
f'(x)>0，
当x∈时，f'(x)<0，
因此f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以当x=时，f(x)取得极大值f =2ln +-2，无极小值.
例3　(1)A　[由函数f(x)=x(x-c)2，
可得f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)(3x-c)，
因为函数f(x)在x=-2处取得极小值，
可得f'(-2)=0，
解得c=-2或c=-6，
当c=-2时，令f'(x)>0，解得x<-2或x>-；令f'(x)<0，
解得-2所以函数f(x)在(-∞，-2)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以f(x)在x=-2处取极大值，不符合题意，舍去；
当c=-6时，令f'(x)>0，可得x<-6或x>-2；令f'(x)<0，可得-6所以函数f(x)在(-∞，-6)上单调递增，在(-6，-2)上单调递减，在(-2，+∞)上单调递增，
所以f(x)在x=-2处取极小值，符合题意，
综上可得，c=-6.]
(2)
解析　由已知可得，函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=-.
①当a≤0时，f'(x)=->0在(0，+∞)上恒成立，
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，此时函数f(x)无极值；
②当a>0时，f'(x)=，
由f'(x)==0可得x=.
当00，
所以f(x)在上单调递增；
当x>时，f'(x)<0，
所以f(x)在上单调递减，
于是函数f(x)在x=处取得极大值.
由已知，f ≥1，
即ln -1≥1，ln ≥2=ln e2，
因为函数y=ln x在(0，+∞)上单调递增，
所以≥e2，即a≤，又a>0，
所以0于是a的取值范围为.
综上所述，a的取值范围为.
跟踪训练1　(1)C　[由f(x)=aex+bx，得f'(x)=aex+b，
因为f(x)在x=0处取得极小值1，
所以
f'(x)=ex-1，
当x>0时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
当x<0时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)在x=0处取得极小值，故a=1，b=-1满足题意，
于是有f'(2)=e2-1.]
(2)C　[由函数f(x)=eax+2x，可得f'(x)=aeax+2，
若a≥0，f'(x)>0，此时f(x)为增函数，无极值点；
若a<0，令f'(x)=aeax+2=0，
解得x=ln，
当x>ln时，f'(x)>0，
当x故x=ln是f(x)=eax+2x的极值点，
由于函数f(x)=eax+2x有大于零的极值点，
∴ln>0，即ln<0，
即0<-<1，解得a<-2.]
例4　D　[f(x)=cos x+(x+1)sin x+1，x∈[0，2π]，则f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)cos x=(x+1)cos x，x∈[0，2π].
令f'(x)=0，解得x=或x=.
因为f =cos +sin +1=+2，
f =cos +sin +1=-，
又f(0)=cos 0+(0+1)sin 0+1=2，
f(2π)=cos 2π+(2π+1)sin 2π+1=2，
所以f(x)max=f =+2，
f(x)min=f =-.]
例5　解　函数f(x)=(x-1)ex-ax2，
求导得f'(x)=xex-ax=x(ex-a)，
若x∈[1，2]，则
①当ln a≥2，即a≥e2时，ex-a≤0，f'(x)≤0，函数f(x)在[1，2]上单调递减，
因此函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(2)=e2-2a；
②当1因此函数f(x)的最小值为f(ln a)=a(ln a-1)-a(ln a)2；
③当ln a≤1，即0f'(x)≥0，函数f(x)在[1，2]上单调递增，
因此函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(1)=-a.
综上，当a≥e2时，f(x)在[1，2]上的最小值为e2-2a；
当e当0跟踪训练2　(1)π
解析　由f(x)=x-sin x，x∈[0，π]，
可得f'(x)=1-cos x，x∈[0，π]，
令f'(x)=0可得cos x=，
又x∈[0，π]，所以x=，
当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
易知f(0)=0，f(π)=π，
因此f(x)的最大值为π.
(2)D　[因为f(x)=+ln x(x>0)，
所以f'(x)=-=，
当a≤0时，f'(x)>0，
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，
此时f(x)在区间[1，e]上的最小值为f(1)=a+ln 1=，
解得a=，不符合题意，舍去；
当a>0时，令f'(x)<0，得0令f'(x)>0，得x>a，
所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，+∞)上单调递增，
①当0所以最小值为f(1)=a≤1，不符合题意，舍去；
②当1所以最小值为f(a)=1+ln a=，解得a=；
③当a≥e时，f(x)在[1，e]上单调递减，
所以最小值为f(e)=+ln e=，
解得a=，不符合题意，舍去.
综上所述，a=.]
微拓展
典例　ABC　[对于A，设f(m-x)+f(m+x)=2n，得[a(m-x)3+b(m-x)2+c(m-x)+d]+[a(m+x)3+b(m+x)2+c(m+x)+d]=2n，整理得(6ma+2b)x2+(2am3+2bm2+2cm+2d)=2n.根据多项式恒等对应系数相等，可得m=-且n=am3+bm2+cm+d，从而三次函数是中心对称曲线，且由n=f(m)知其对称中心(m，f(m))仍然在曲线上.故对称中心为，A正确；
对于B，由y=f(x)的图象关于点(m，n)对称，得f(x)+f(2m-x)=2n.求导可得f'(2m-x)=f'(x)，即y=f'(x)的图象关于直线x=m对称，B正确；
对于C，设f'(x)=3ax2+2bx+c=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=.设f(x)的两个取极值的点为A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，
则f(x1)+f(x2)=(a+b+cx1+d)+(a+b+cx2+d)
=a(+)+b(+)+c(x1+x2)+2d=a(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]+b[(x1+x2)2-2x1x2]+c(x1+x2)+2d
=a+b-+2d=-+2d.
2f =2
=-+2d，
所以f(x1)+f(x2)=2f ，AB的中点P=即为对称中心，C正确；
对于D，ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=ax3-a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x3x1)x-ax1x2x3.比较系数可得x1+x2+x3=-，D错误.](共94张PPT)
第三章
§3.3　导数与函数的
极值、最值
数学
大
一
轮
复
习
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.掌握利用导数研究函数最值的方法.
4.会用导数研究生活中的最优化问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f'(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f'(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为 ，极小值和极大值统称为 .
f'(x)<0
f'(x)>0
f'(x)>0
f'(x)<0
极值点
极值
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的 ；
②将函数y＝f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
连续不断
极值
端点处的函数值f(a)，f(b)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有.(　　)
(2)函数的极小值一定小于函数的极大值.(　　)
(3)函数的极小值一定是函数的最小值.(　　)
(4)函数的极大值一定不是函数的最小值.(　　)
×
√
×
√
2.(多选)如图是函数f(x)的导函数y＝f'(x)的图象，则下列说法正确的是
A.函数f(x)在区间(3，5)上单调递减
B.函数f(x)在区间(4，5)上单调递增
C.函数f(x)在x＝3处取得极大值
D.函数f(x)在x＝4处取得极小值
√
√
由图象可知，当x∈(3，5)时，f'(x)<0，所以函数f(x)在
区间(3，5)上单调递减，故A正确，B错误；
由图象可知，f'(3)＝0，且当x∈(0，3)时，f'(x)>0，
当x∈(3，5)时，f'(x)<0，所以f(x)在(0，3)上单调递增，在(3，5)上单调递减，故函数y＝f(x)在x＝3处取得极大值，故C正确；
由图象可知，f'(4)≠0，故4不是函数f(x)的极值点，故D错误.
3.函数f(x)＝x3－x2－14x的极小值点为　　　，极大值为　　　.
18
由f(x)＝x3－x2－14x得，
f'(x)＝3x2－x－14＝(x＋2)(3x－7)，
令f'(x)>0，解得x>或x<－2，
令f'(x)<0，解得－2故f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在上单调递减，
故f(x)在x＝处取得极小值，在x＝－2处取得极大值，
故f(x)极大值＝f(－2)＝－8－2＋28＝18.
4.若函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有两个极值点，则实数a的取值范围是
　　　　 .
f'(x)＝3x2－2ax＋2，
由题意知f'(x)有两个变号零点，
∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，
解得a>或a<－.
(－∞，－)∪(＋∞)
解题时灵活应用转化以下几个关键点
(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1).
(2)极值是个“局部”概念，最值是个“整体”概念.
(3)有极值的函数一定不是单调函数.
(4)“f'(x0)＝0”是“x0为可导函数f(x)的极值点”的必要不充分条件.例如f(x)＝x3，f'(0)＝0，但0不是极值点.
(5)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
命题点1　根据函数图象判断极值
利用导数求解函数极值问题
题型一
例1　(多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数g(x)＝xf'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是
A.f(x)有两个极值点
B.f(0)为f(x)的极大值
C.f(x)有两个极小值点
D.f(－1)为f(x)的极小值
√
√
根据g(x)＝xf'(x)的图象，可得当x<－2时，g(x)＝xf'(x)>0，
可得f'(x)<0，即f(x)单调递减，
当－20，即f(x)单调递增，
当0当x>1时，g(x)＝xf'(x)>0，可得f'(x)>0，即f(x)单调递增，
因此f(x)在x＝－2和x＝1处取得极小值，在x＝0处取得极大值，共3个极值点，A错误，C正确；
f(0)为f(x)的极大值，B正确；
f(－1)不是f(x)的极小值，D错误.
命题点2　求已知函数的极值
例2　(2025·沈阳模拟)已知函数f(x)＝2ln x－2(a－1)x－ax2(a>0)，讨论f(x)的极值.
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
求导得f'(x)＝－2(a－1)－2ax＝－
因为a>0，则当x∈时，f'(x)>0，
当x∈时，f'(x)<0，
因此f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以当x＝时，f(x)取得极大值f ＝2ln －2，无极小值.
命题点3　已知极值(点)求参数
例3　(1)(2024·肇庆模拟)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝－2处取极小值，则c
等于
A.－6 B.－2
C.－6或－2 D.－4
√
由函数f(x)＝x(x－c)2，
可得f'(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)(3x－c)，
因为函数f(x)在x＝－2处取得极小值，
可得f'(－2)＝0，解得c＝－2或c＝－6，
当c＝－2时，令f'(x)>0，解得x<－2或x>－；
令f'(x)<0，解得－2所以函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以f(x)在x＝－2处取极大值，不符合题意，舍去；
当c＝－6时，令f'(x)>0，可得x<－6或x>－2；令f'(x)<0，可得－6所以函数f(x)在(－∞，－6)上单调递增，在(－6，－2)上单调递减，在
(－2，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在x＝－2处取极小值，符合题意，
综上可得，c＝－6.
(2)已知函数f(x)＝ln x－x(其中a∈R，e为自然对数的底数)存在极大值，
且极大值不小于1，则a的取值范围为　　　　　.
由已知可得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝.
①当a≤0时，f'(x)＝>0在(0，＋∞)上恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)无极值；
②当a>0时，f'(x)＝
由f'(x)＝＝0可得x＝.
当00，
所以f(x)在上单调递增；
当x>时，f'(x)<0，
所以f(x)在上单调递减，
于是函数f(x)在x＝处取得极大值.
由已知，f ≥1，
即ln －1≥1，ln ≥2＝ln e2，
因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，
所以≥e2，即a≤又a>0，
所以0于是a的取值范围为.
综上所述，a的取值范围为.
根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)验证：求解后验证根的合理性.
思维升华
跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝aex＋bx在x＝0处取得极小值1，则f'(2)等于
A.e2－2 B.2－e2
C.e2－1 D.e2
√
由f(x)＝aex＋bx，得f'(x)＝aex＋b，
因为f(x)在x＝0处取得极小值1，
所以 f'(x)＝ex－1，
当x>0时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
当x<0时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)在x＝0处取得极小值，故a＝1，b＝－1满足题意，
于是有f'(2)＝e2－1.
(2)若函数f(x)＝eax＋2x有大于零的极值点，则实数a的取值范围为
A.a>－2 B.a>－
C.a<－2 D.a<－
√
由函数f(x)＝eax＋2x，可得f'(x)＝aeax＋2，
若a≥0，f'(x)>0，此时f(x)为增函数，无极值点；
若a<0，令f'(x)＝aeax＋2＝0，
解得x＝ln
当x>ln时，f'(x)>0，
当x故x＝ln是f(x)＝eax＋2x的极值点，
由于函数f(x)＝eax＋2x有大于零的极值点，
∴ln>0，即ln<0，
即0<－<1，解得a<－2.
命题点1　不含参函数的最值
利用导数求函数的最值
题型二
例4　函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为
A.－ B.－
C.－＋2 D.－＋2
√
f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，x∈[0，2π]，则f'(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1) cos x＝(x＋1)cos x，x∈[0，2π].
令f'(x)＝0，解得x＝或x＝.
因为f ＝cos sin ＋1＝＋2，
f ＝cos sin ＋1＝－
又f(0)＝cos 0＋(0＋1)sin 0＋1＝2，
f(2π)＝cos 2π＋(2π＋1)sin 2π＋1＝2，
所以f(x)max＝f ＋2，
f(x)min＝f ＝－.
命题点2　含参函数的最值
例5　已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2(a>0)，求函数f(x)在[1，2]上的最小值.
函数f(x)＝(x－1)ex－ax2，
求导得f'(x)＝xex－ax＝x(ex－a)，
若x∈[1，2]，则
①当ln a≥2，即a≥e2时，ex－a≤0，f'(x)≤0，函数f(x)在[1，2]上单调递减，
因此函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(2)＝e2－2a；
②当1因此函数f(x)的最小值为f(ln a)＝a(ln a－1)－a(ln a)2；
③当ln a≤1，即0因此函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(1)＝－a.
综上，当a≥e2时，f(x)在[1，2]上的最小值为e2－2a；
当e当0求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.
思维升华
跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝x－sin x，x∈[0，π]，则f(x)的最大值为　　　.
π
由f(x)＝x－sin x，x∈[0，π]，
可得f'(x)＝1－cos x，x∈[0，π]，
令f'(x)＝0可得cos x＝
又x∈[0，π]，所以x＝
当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
易知f(0)＝0，f(π)＝π，
因此f(x)的最大值为π.
(2)(2025·泰安模拟)已知函数f(x)＝＋ln x在区间[1，e]上的最小值为则a的值为
A.1 B. C. D.
√
因为f(x)＝＋ln x(x>0)，
所以f'(x)＝
当a≤0时，f'(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
此时f(x)在区间[1，e]上的最小值为f(1)＝a＋ln 1＝
解得a＝不符合题意，舍去；
当a>0时，令f'(x)<0，得00，得x>a，
所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，
①当0所以最小值为f(1)＝a≤1，不符合题意，舍去；
②当1所以最小值为f(a)＝1＋ln a＝解得a＝；
③当a≥e时，f(x)在[1，e]上单调递减，
所以最小值为f(e)＝＋ln e＝
解得a＝不符合题意，舍去.
综上所述，a＝.
三次函数是一类重要的函数，其规律性强，内容相对独立，且有一些独有的结论和技巧.如果能得当运用三次函数的有关结论，可以大大简化解题过程.
三次函数的性质
微拓展
典例　(多选)已知三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则下列选项正确的是
A.三次函数的对称中心是
B.若函数f(x)关于点(m，n)对称，则y＝f'(x)的图象关于直线x＝m对称
C.若函数y＝f(x)有极值，则对称中心是两个取极值的点的中点
D.若f(x)＝0的三个根分别为x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝－
√
√
√
对于A，设f(m－x)＋f(m＋x)＝2n，得[a(m－x)3＋b(m－x)2＋c(m－x)＋d]＋[a(m＋x)3＋b(m＋x)2＋c(m＋x)＋d]＝2n，整理得(6ma＋2b)x2＋(2am3＋2bm2＋2cm＋2d)＝2n.根据多项式恒等对应系数相等，可得m＝－且n＝am3＋bm2＋cm＋d，从而三次函数是中心对称曲线，且由n＝f(m)知其对称中心(m，f(m))仍然在曲线上.故对称中心为，A正确；
对于B，由y＝f(x)的图象关于点(m，n)对称，得f(x)＋f(2m－x)＝2n.求导可得f'(2m－x)＝f'(x)，即y＝f'(x)的图象关于直线x＝m对称，B正确；
对于C，设f'(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.设f(x)的两个取极值的点为A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，
则f(x1)＋f(x2)＝(a＋b＋cx1＋d)＋(a＋b＋cx2＋d)＝a()＋b()＋c(x1＋x2)＋2d＝a(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＋b[(x1＋x2)2－2x1x2]＋c(x1＋x2)＋2d＝a＋b＋2d＝＋2d.
2f ＝2＝＋2d，
所以f(x1)＋f(x2)＝2f ，AB的中点P即为对称中心，C正确；
对于D，ax3＋bx2＋cx＋d＝a(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝ax3－a(x1＋x2＋x3)x2＋a(x1x2＋x2x3＋x3x1)x－ax1x2x3.比较系数可得x1＋x2＋x3＝－，D错误.
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课时精练
对一对
答案
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13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D B B A AD BCD
题号 9 10 13 　14 答案 (2，+∞) C [－ln 2，＋∞) 答案
1
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14
(1)由函数f(x)=+x，
可得f'(x)=1-=
所以f'(0)==1-a=0，
解得a=1.
11.
答案
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14
(2)函数f(x)=+x的定义域为R，且f'(x)=1-=
当a≤0时，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在R上单调递增，f(x)无极值；
当a>0时，令f'(x)>0，解得x>ln a；
令f'(x)<0，解得x所以f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，在(ln a，+∞)上单调递增，
所以f(x)的极小值为1+ln a，无极大值.
综上所述，当a≤0时，f(x)无极值；当a>0时，f(x)的极小值为1+ln a，无极大值.
11.
答案
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14
(1)当a=1时，
则f(x)=ex-x-1，
f'(x)=ex-1，
可得f(1)=e-2，f'(1)=e-1，
即切点坐标为(1，e-2)，
切线斜率k=e-1，
所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1)，
即(e-1)x-y-1=0.
12.
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(2)方法一　因为f(x)的定义域为R，且f'(x)=ex-a，
若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立，
可知f(x)在R上单调递增，
无极值，不符合题意；
若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a，
令f'(x)<0，解得x可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，+∞)上单调递增，
12.
答案
1
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则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，无极大值，
由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0，
即a2+ln a-1>0，
令g(a)=a2+ln a-1，a>0，
则g'(a)=2a+>0，
可知g(a)在(0，+∞)上单调递增，且g(1)=0，
不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)，
12.
答案
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14
解得a>1，
所以a的取值范围为(1，+∞).
方法二　因为f(x)的定义域为R，
且f'(x)=ex-a，
若f(x)有极小值，
则f'(x)=ex-a有零点，
令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a，
可知y=ex与y=a有交点，则a>0，
12.
答案
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14
令f'(x)>0，解得x>ln a；
令f'(x)<0，解得x可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，+∞)上单调递增，则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，
无极大值，符合题意，
由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0，即a2+ln a-1>0，
令g(a)=a2+ln a-1，a>0，
因为y=a2，y=ln a-1在(0，+∞)上均单调递增，
12.
答案
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所以g(a)在(0，+∞)上单调递增，
且g(1)=0，
不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)，
解得a>1，
所以a的取值范围为(1，+∞).
12.
一、单项选择题
1.函数f(x)＝x3＋x2－3x－1的极小值点是
A.1 B.
C.－3 D.(－3，8)
√
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知识过关
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14
答案
f'(x)＝x2＋2x－3，
由x2＋2x－3＝0，得x＝－3或x＝1，
所以函数f(x)＝x3＋x2－3x－1在(－∞，－3)上单调递增，在(－3，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
故f(x)在x＝1处有极小值，极小值点为1.
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14
答案
2.(2024·楚雄模拟)已知定义域为[－3，5]的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)的图象如图所示，则
A.f(x)在(－2，2)上先增后减
B.f(x)有极小值f(2)
C.f(x)有2个极值点
D.f(x)在x＝－3处取得最大值
√
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答案
由f'(x)的图象可知，当x∈(－2，2)或x∈(4，5)时，
f'(x)<0，则f(x)单调递减，故A错误；
当x∈(－3，－2)或x∈(2，4)时，f'(x)>0，则f(x)单调
递增，所以当x＝2时，f(x)有极小值f(2)，故B正确；
由f'(x)的图象结合单调性可知，当x＝－2，2，4时，f(x)有极值，所以f(x)有3个极值点，故C错误；
当x∈(－3，－2)时，f'(x)>0，则f(x)单调递增，所以f(－3)3.(2025·苏州模拟)设0A.1 B. C.2 D.
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因为0答案
4.(2024·赤峰模拟)已知函数f(x)＝xln x－ax有极值－e，则a等于
A.1 B.2 C.e D.3
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由题目条件可得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝ln x＋1－a.
令f'(x)>0，得x>ea－1；
令f'(x)<0，得0所以函数f(x)在区间(0，ea－1)上单调递减，在区间(ea－1，＋∞)上单调递增.
则函数f(x)的极小值点是ea－1，无极大值点，
故f(ea－1)＝ea－1ln ea－1－aea－1＝－e，
解得a＝2.
答案
5.若函数f(x)＝ex－ln(x＋m)的最小值为2＋ln 2，则m等于
A.－2 B.－ln 2
C.－ D.＋ln 2
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易知f(x)的定义域为(－m，＋∞)，f'(x)＝ex－
易知f'(x)在区间(－m，＋∞)上单调递增，
又当x→－m时，f'(x)→－∞；当x→＋∞时，f'(x)→＋∞，
所以存在唯一x0∈(－m，＋∞)，使得f'(x0)＝0，即x0＝－ln(x0＋m)，
所以当x∈(－m，x0)时，f'(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f'(x)>0，
所以f(x)在区间(－m，x0)上单调递减，在区间(x0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(x0)＝－ln(x0＋m)＝＋x0＝2＋ln 2＝eln 2＋ln 2，
所以x0＝ln 2，所以eln 2＝解得m＝－ln 2.
答案
6.已知函数f(x)＝ln x－ax有两个不同的极值点x1，x2(x1A.a的取值范围是(－∞，1)
B.x1是极小值点
C.当x∈(x2，＋∞)时，f'(x)<0
D.
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令f'(x)＝－a＝－a＝0，
由题意，方程＝a在(0，＋∞)上有两根x1，x2(x1设g(x)＝
g'(x)＝
当00，g(x)单调递增，当x>1时，g'(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x)max＝g(1)＝1>0，
答案
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当x→0时，g(x)＝→－∞，当x→＋∞时，g(x)＝→0，
所以a的取值范围是(0，1)，故A不正确；
由A选项分析可知0当0当x1f'(x1)＝0＝f'(x2)，f(x)单调递增，
当x>x2时，f'(x)所以x1是极小值点，故B，C正确；
对于D，因为＝a，所以故D正确.
答案
二、多项选择题
7.已知函数f(x)＝x3－3x2，则
A.f(x)在(0，1)上单调递减
B.f(x)的极大值点为2
C.f(x)的极大值为－2
D.f(x)有2个零点
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答案
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由函数f(x)＝x3－3x2，可得f'(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
令f'(x)>0，解得x<0或x>2；令f'(x)<0，解得0所以函数f(x)在(0，2)上单调递减，在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，
当x＝0时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(0)＝0；
当x＝2时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(2)＝－4，
又由x→＋∞时，f(x)→＋∞且f(2)＝－4<0，f(0)＝0，所以函数f(x)只有两个零点，
所以A，D正确，B，C不正确.
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答案
8.(2023·新高考全国Ⅱ)若函数f(x)＝aln x＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则
A.bc>0 B.ab>0
C.b2＋8ac>0 D.ac<0
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答案
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函数f(x)＝aln x＋的定义域为(0，＋∞)，
则f'(x)＝
因为函数f(x)既有极大值也有极小值，
则函数f'(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，
而a≠0，
因此方程ax2－bx－2c＝0有两个不相等的正实数根x1，x2，
答案
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于是
即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，
显然a2bc<0，即bc<0，故A错误，B，C，D正确.
答案
三、填空题
9.若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0，3]上的最小值为4，则m＝　　　.
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答案
f'(x)＝x2－4，
当x∈[0，2)时，f'(x)<0，当x∈(2，3]时，f'(x)>0，
所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，
所以f(2)为f(x)在[0，3]上的极小值，也是最小值，
故×8－4×2＋m＝4，解得m＝.
10.若函数f(x)＝x2－ax＋ln x在(0，2)上有极值，则实数a的取值范围是　　　　　　.
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答案
(2，＋∞)
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f(x)＝x2－ax＋ln x的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝x－a＋
要使函数f(x)＝x2－ax＋ln x在(0，2)上有极值，则f'(x)＝x－a＋在(0，2)上有变号零点，
令g(x)＝x＋x∈(0，2)，
则g(x)＝x＋≥2＝2，
当且仅当x＝1时等号成立，所以a≥2.
答案
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当a＝2时，f'(x)＝x－a＋＝x＋－2≥0，函数f(x)单调递增，
则函数f(x)＝x2－ax＋ln x在(0，2)上没有极值，故a>2，
即实数a的取值范围是(2，＋∞).
答案
四、解答题
11.已知函数f(x)＝＋x(a∈R).
(1)若f'(0)＝0，求实数a的值；
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答案
由函数f(x)＝＋x，
可得f'(x)＝1－
所以f'(0)＝＝1－a＝0，解得a＝1.
(2)讨论函数f(x)的极值.
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答案
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答案
函数f(x)＝＋x的定义域为R，且f'(x)＝1－
当a≤0时，f'(x)>0恒成立，
所以f(x)在R上单调递增，f(x)无极值；
当a>0时，令f'(x)>0，解得x>ln a；令f'(x)<0，解得x所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的极小值为1＋ln a，无极大值.
综上所述，当a≤0时，f(x)无极值；当a>0时，f(x)的极小值为1＋ln a，无极大值.
12.(2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ax－a3.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
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答案
当a＝1时，则f(x)＝ex－x－1，f'(x)＝ex－1，
可得f(1)＝e－2，f'(1)＝e－1，
即切点坐标为(1，e－2)，
切线斜率k＝e－1，
所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，
即(e－1)x－y－1＝0.
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
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答案
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答案
方法一　因为f(x)的定义域为R，
且f'(x)＝ex－a，
若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立，
可知f(x)在R上单调递增，
无极值，不符合题意；
若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a，
令f'(x)<0，解得x可知f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
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答案
在(ln a，＋∞)上单调递增，
则f(x)有极小值f(ln a)＝a－aln a－a3，无极大值，
由题意可得，f(ln a)＝a－aln a－a3<0，
即a2＋ln a－1>0，
令g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，
则g'(a)＝2a＋>0，
可知g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0，
不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，
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答案
解得a>1，
所以a的取值范围为(1，＋∞).
方法二　因为f(x)的定义域为R，
且f'(x)＝ex－a，
若f(x)有极小值，
则f'(x)＝ex－a有零点，
令f'(x)＝ex－a＝0，可得ex＝a，
可知y＝ex与y＝a有交点，则a>0，
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答案
令f'(x)>0，解得x>ln a；
令f'(x)<0，解得x可知f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，＋∞)上单调递增，
则f(x)有极小值f(ln a)＝a－aln a－a3，
无极大值，符合题意，
由题意可得，f(ln a)＝a－aln a－a3<0，
即a2＋ln a－1>0，
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答案
令g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，
因为y＝a2，y＝ln a－1在(0，＋∞)上均单调递增，
所以g(a)在(0，＋∞)上单调递增，
且g(1)＝0，
不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，
解得a>1，
所以a的取值范围为(1，＋∞).
13.设ab≠0，若a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则
A.ab
C.abb2
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答案
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能力拓展
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答案
由三次函数的性质可知，要使a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则
当a>0时，函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则0当a<0时，函数f(x)的大致图象如图(2)所示，则b综上，ab14.若不等式a＋2x＋|ln x|－1≥0恒成立，则a的取值范围是　　　　　 　.
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[－ln 2，＋∞)
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答案
不等式a＋2x＋|ln x|－1≥0恒成立，
即a≥1－2x－|ln x|恒成立，
设f(x)＝1－2x－|ln x|，x∈(0，＋∞)，
当x≥1时，f(x)＝1－2x－ln x，f'(x)＝－2－<0，
∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减，此时f(x)max＝f(1)＝－1；
当0∴f'(x)＝－2＋
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答案
∴当x∈时，f'(x)>0，当x∈时，f'(x)<0，
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减，
此时f(x)max＝f ＝ln ＝－ln 2.
综上可知，a的取值范围是[－ln 2，＋∞).
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