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§3.4　函数中的构造问题
分值：52分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·福州模拟)已知a=ln b=ln(ln 3)，c=-则(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>a>b
2.(2024·北海模拟)已知a=ln(e)，b=c=+1，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.c>a>b B.b>a>c
C.a>b>c D.b>c>a
3.(2024·昆明模拟)设定义在R上的函数y=f(x)满足对 x∈R，都有f(x+2)+f(x)=0，且当x∈(0，4]时，xf'(x)-f(x)>0，若a=f(2 024)，b=4f(2 025)，c=2f(2 026)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.b>c>a
4.(2025·成都模拟)已知函数y=f(x)对任意的x∈满足f'(x)cos x-f(x)sin x>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是(　　)
A.f > f
B.fC.2f(0)D.f(0)>f
5.(2024·成都模拟)若函数f(x)对任意的x∈R，都有f'(x)A.2f(ln 2)>f(2ln 2)-2
B.2f(ln 2)C.2f(ln 2)=f(2ln 2)-2
D.无法比较大小
6.(2024·南充模拟)设函数f(x)=sin x+ex-e-x-x+3，则满足f(x)+f(3-2x)<6的x的取值范围是(　　)
A.(-∞，1) B.(1，+∞)
C.(3，+∞) D.(-∞，3)
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2024·滁州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f'(x)，且对任意的x∈R，都有f(x)+f'(x)>0，则下列说法正确的是(　　)
A.ef(1)f(0)
C.2f(ln 2)ef(1)
8.(2025·池州模拟)下列不等关系中正确的是(　　)
A.ln 2< B.bea>aeb(a>b>1)
C.cos < D.sin +>π
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知a=b=c=则a，b，c的大小关系为　　　　　　　.
10.已知x∈则不等式esin x-cos x-tan x≥0的解集为　　　　　　　　　　.
答案精析
1.B
2.B　[由题意，a=+1=+1，b=+1，c=+1，
设f(x)=则f'(x)=
当00，f(x)单调递增；当x>e时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
因为e<4<5，
所以b=f(e)+1>a=f(4)+1>c=f(5)+1，故b>a>c.]
3.B　[由f(x+2)+f(x)=0 f(x+4)+f(x+2)=0 f(x+4)=f(x)，
即4为y=f(x)的一个周期，
所以a=f(2 024)=f(4)，
同理b=4f(2 025)=4f(1)，
c=2f(2 026)=2f(2)，
令g(x)=
g'(x)=
由已知可得，当x∈(0，4]时，g'(x)>0，g(x)单调递增，
所以<< 4f(1)<2f(2)c>b.]
4.C　[构造函数g(x)=f(x)cos x，x∈则g'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x>0，
所以g(x)在上单调递增，
则g所以f cos<
f cos
即f则g>g
所以f cos>fcos
即f >f 故B不正确；
则g(0)所以f(0)cos 0即2f(0)则g(0)所以f(0)cos 0即f(0)5.A　[令g(x)=
则g'(x)=
∵对任意的x∈R，都有f'(x)∴g'(x)<0，即g(x)在R上为减函数，
又ln 2<2ln 2，∴g(ln 2)>g(2ln 2)，
即>
可得2f(ln 2)>f(2ln 2)-2.]
6.C　[f(x)=sin x+ex-e-x-x+3，
设g(x)=f(x)-3=sin x+ex-e-x-x，
又易知g(-x)=-g(x)，
∴g(x)为R上的奇函数，
又g'(x)=cos x+ex+e-x-1
≥cos x+2-1=1+cos x≥0，
∴g(x)在R上是增函数，
又f(x)+f(3-2x)<6，
∴[f(x)-3]+[f(3-2x)-3]<0，
∴g(x)+g(3-2x)<0，
∴g(x)<-g(3-2x)，
又g(x)为R上的奇函数，
∴g(x)又g(x)在R上是增函数，
∴x<2x-3，∴x>3，
故满足f(x)+f(3-2x)<6的x的取值范围是(3，+∞).]
7.BC　[令g(x)=exf(x)，
所以g'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0，
所以g(x)在R上是增函数，所以g(0)又g(ln 2)所以eln 2f(ln 2)即2f(ln 2)8.ABD　[对于A项，由ln 2=构造函数f(x)=(x>0)，则f'(x)==当00，则f(x)在(0，e2)上单调递增，所以f(4)对于B项，设m(x)=x>1，
则m'(x)=>0在(1，+∞)上恒成立，
故函数m(x)在(1，+∞)上单调递增，
因为a>b>1，故m(a)>m(b)，
即>
故bea>aeb，故B项正确；
对于C项，因为cos < cos <1-=1-×
故构造函数f(x)=cos x-1+x2(x>0)，
则f'(x)=x-sin x，
令g(x)=x-sin x，
则g'(x)=1-cos x≥0，
故g(x)在(0，+∞)上单调递增，
则g(x)>g(0)，即f'(x)>f'(0)=0，
则f(x)在(0，+∞)上单调递增，
f =cos ->f(0)=0，故C项错误；
对于D项，sin +>π sin >π- sin>π-
sin<-π，
由C项分析可知-π>sin故D项正确.]
9.a解析　令f(x)=x≠0，
则f'(x)=
当x≥2时，f'(x)≥0，
∴f(x)在[2，+∞)上单调递增，
∴f(2)即<<
∴a10.
解析　不等式esin x-cos x-tan x≥0可化为≥
当x∈时，cos x>0，
又esin x>0，∴≥
令f(x)=
则f(cos x)≥f(sin x)，
∵f'(x)=
∴当x∈(-∞，1)时，f'(x)>0；当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0，
∴f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
当x∈时，cos x∈(0，1]，sin x∈(-1，1)，
∴cos x≥sin x，
即当x∈时，tan x≤1，
∴x∈
即不等式esin x-cos x-tan x≥0的解集为.§3.4　函数中的构造问题
重点解读　函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
题型一　利用f(x)进行抽象函数构造
命题点1　利用f(x)与x构造函数
例1　(2024·绵阳模拟)已知函数f(x)满足f(x)=f(-x)，且当x∈(-∞，0]时，f(x)+xf'(x)>0，若a=30.2·f(30.2)，b=ln 2·f(ln 2)，c=log3·f ，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a>b>c B.c>b>a
C.c>a>b D.a>c>b
思维升华　(1)出现nf(x)+xf'(x)形式，构造函数F(x)=xnf(x).
(2)出现xf'(x)-nf(x)形式，构造函数F(x)=.
命题点2　利用f(x)与ex构造函数
例2　函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x恒有f'(x)-f(x)>0，则(　　)
A.f(-1)>0 B.f(3)>ef(2)
C.f f(4)
思维升华　(1)出现f'(x)+nf(x)形式，构造函数F(x)=enxf(x).
(2)出现f'(x)-nf(x)形式，构造函数F(x)=.
命题点3　利用f(x)与sin x，cos x构造函数
例3　(2025·杭州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)sin x+f'(x)cos x>0，则(　　)
A.f C.f >f D.f >f
思维升华　函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式
F(x)=f(x)sin x，
F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x；
F(x)=，
F'(x)=；
F(x)=f(x)cos x，
F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x；
F(x)=，
F'(x)=.
跟踪训练1　(1)(2024·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0，π)，有f'(x)sin x-f(x)cos x<0，则关于x的不等式f(x)>2f sin x的解集为(　　)
A. B. C. D.
(2)(2024·南通模拟)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为(0，+∞)，若xf'(x)<2f(x)，则(　　)
A.4e2f(2)<16f(e)B.e2f(4)<4e2f(2)<16f(e)
C.e2f(4)<16f(e)<4e2f(2)
D.16f(e)(3)(2024·扬州模拟)已知函数f(x)的导数为f'(x)，对任意实数x，都有f(x)-f'(x)>0，且f(1)=1，则f(x)>ex-1的解集为(　　)
A.(-∞，1)
B.(1，+∞)
C.(-1，1)
D.(-∞，-1)∪(1，+∞)
题型二　构造具体函数关系
例4　(1)(2025·昆明模拟)设a=，b=，c=，则(　　)
A.cC.b(2)(2024·南昌模拟)142 857被称为世界上最神秘的数字，142 857×1=142 857，142 857×2=285 714，142 857×3=428 571，142 857×4=571 428，142 857×5=714 285，142 857×6=857 142，所得结果是这些数字反复出现，若a=e0.142 857，b=+1，c=，则(　　)
A.a>b>c B.c>b>a
C.b>a>c D.a>c>b
思维升华　通过研究或变形，使所研究的式子具有鲜明的结构特点，然后依据此特点构造新函数.常用的不等式：sin x0)，ln x≤x-1≤x2-x(x>0)，ex≥x+1(x>0)，ex≥ex>x(x>0).
跟踪训练2　(1)(2025·九江模拟)已知a=sin ，b=ln ，c=，则(　　)
A.a>b>c B.c>a>b
C.c>b>a D.a>c>b
(2)已知e是自然对数的底数，a=，b=e2sin ，c=，则(　　)
A.a>b>c B.c>a>b
C.a>c>b D.b>c>a
答案精析
例1　A　[令g(x)=xf(x)，x∈R，
因为f(x)=f(-x)，所以g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x)，
所以g(x)为奇函数，
又因为当x∈(-∞，0]时，
f(x)+xf'(x)>0，
所以当x∈(-∞，0]时，g'(x)=f(x)+xf'(x)>0，所以g(x)在(-∞，0]上单调递增，
又g(x)为奇函数，所以g(x)在R上单调递增，
又因为a=30.2·f(30.2)=g(30.2)，
b=ln 2·f(ln 2)=g(ln 2)，
c=log3·f
=g=g(-2)，
-2<0所以g(-2)即a>b>c.]
例2　B　[设g(x)=，
则g'(x)=
=，
由条件可知，f'(x)-f(x)>0，
所以g'(x)>0，
则函数g(x)在R上单调递增，
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
则f(0)=0，
由<，得f(-1)<0，
故A错误；
由>，
得f(3)>ef(2)，故B正确；
由<，
得f f，故C错误；
由<，得ef(3)例3　B　[令F(x)=，x≠+kπ，k∈Z，
故F'(x)=>0恒成立，故F(x)=在，k∈Z上单调递增，
故Ff 跟踪训练1　(1)B　[令函数g(x)=，x∈(0，π)，
则g'(x)=<0，
因此函数g(x)在(0，π)上单调递减，不等式f(x)>2fsin x >，
即g(x)>g，解得0所以原不等式的解集为.]
(2)C　[方法一　设g(x)=，x∈(0，+∞)，
∵xf'(x)<2f(x)，
∴g'(x)=<0，
则g(x)在(0，+∞)上单调递减，
∴g(2)>g(e)>g(4)，
∴>>，
即4e2f(2)>16f(e)>e2f(4)，故C正确.
方法二　设f(x)=1，
又e2<16<4e2，C正确.]
(3)A　[由f(x)>ex-1，
可得>=，
令g(x)=，结合f(x)-f'(x)>0，则g'(x)=<0，
所以g(x)在R上单调递减，
故g(x)>g(1) x<1，
则原不等式的解集为(-∞，1).]
例4　(1)A　[设f(x)=，x>0，
则f'(x)=，
令f'(x)=0，得x=，
则f(x)在(0，)上单调递增，在(，+∞)上单调递减，
b=f()，c=f()，则b>c，
又a-b=-==>0，得a>b，
所以c(2)D　[由题意知，a=e0.142 857，c==，
设f(x)=ex-x-1(x>0)，
f'(x)=ex-1，
当x∈(0，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)=ex-x-1>f(0)=0，
所以ex>x+1(x>0).
因为x2+2x+1>1+2x(x>0)，
所以x+1>(x>0)，
得ex>(x>0)，
所以e0.142 857>，即a>c；
由ex>x+1(x>0)，
得x>ln(x+1)(x>0)，
所以x-1>ln x(x>1)，
即x>ln x+1(x>1)，
所以>ln +1=+1，即c>b.
综上，a>c>b.]
跟踪训练2　(1)D　[方法一　a=sin >sin ==c，
设f(x)=ln x+1-x，x>1，
则f'(x)=<0，
故f(x)在(1，+∞)上单调递减，
故f(x)即ln x1)，
所以b=ln <-1=c，故a>c>b.
方法二　a=sin >sin ==c，b=ln所以a>c>b.]
(2)B　[构建f(x)=，x>e，
则f'(x)=>0在(e，+∞)上恒成立，
可知f(x)在(e，+∞)上单调递增，
因为a==，c==，
可知f(4)>f(π)>f(e)=e，
即c>a>e；
构建g(x)=x-sin x，x>0，
则g'(x)=1-cos x≥0在(0，+∞)上恒成立，
可知g(x)在(0，+∞)上单调递增，
则g(x)>g(0)=0，即x>sin x，x>0，
可得>sin ，且e>0，
则e>e2sin ，即e>b，
综上所述，c>a>b.](共59张PPT)
第三章
§3.4　函数中的构造问题
数学
大
一
轮
复
习
函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
重点解读
命题点1　利用f(x)与x构造函数
利用f(x)进行抽象函数构造
题型一
例1　(2024·绵阳模拟)已知函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf'(x)>0，若a＝30.2·f(30.2)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝log3·f则a，b，c的大小关系是
A.a>b>c B.c>b>a
C.c>a>b D.a>c>bj
√
令g(x)＝xf(x)，x∈R，
因为f(x)＝f(－x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数，
又因为当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf'(x)>0，
所以当x∈(－∞，0]时，g'(x)＝f(x)＋xf'(x)>0，所以g(x)在(－∞，0]上单调递增，
又g(x)为奇函数，所以g(x)在R上单调递增，
又因为a＝30.2·f(30.2)＝g(30.2)，
b＝ln 2·f(ln 2)＝g(ln 2)，
c＝log3·f ＝g＝g(－2)，
－2<0所以g(－2)b>c.
(1)出现nf(x)＋xf'(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x).
(2)出现xf'(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
思维升华
命题点2　利用f(x)与ex构造函数
例2　函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x恒有f'(x)－f(x)>0，则
A.f(－1)>0 B.f(3)>ef(2)
C.f f(4)
√
设g(x)＝
则g'(x)＝
由条件可知，f'(x)－f(x)>0，所以g'(x)>0，
则函数g(x)在R上单调递增，
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0，
由<得f(－1)<0，故A错误；
由>
得f(3)>ef(2)，故B正确；
由<得f f 故C错误；
由<得ef(3)(1)出现f'(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x).
(2)出现f'(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
思维升华
命题点3　利用f(x)与sin x，cos x构造函数
例3　(2025·杭州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)sin x＋f'(x)cos x>
0，则
A.f C.f>f D.f>f
√
令F(x)＝x≠＋kπ，k∈Z，
故F'(x)＝>0恒成立，
故F(x)＝在k∈Z上单调递增，
故F函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式
F(x)＝f(x)sin x，F'(x)＝f'(x)sin x＋f(x)cos x；
F(x)＝F'(x)＝；
F(x)＝f(x)cos x，F'(x)＝f'(x)cos x－f(x)sinx；
F(x)＝F'(x)＝.
思维升华
跟踪训练1　(1)(2024·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0，π)，有f'(x)sin x－f(x)cos x<0，则关于x的不等式f(x)>2f sin x的解集为
A. B.
C. D.
√
令函数g(x)＝x∈(0，π)，
则g'(x)＝<0，
因此函数g(x)在(0，π)上单调递减，不等式f(x)>2fsin x >
即g(x)>g解得0所以原不等式的解集为.
(2)(2024·南通模拟)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为(0，＋∞)，若xf'(x)<2f(x)，则
A.4e2f(2)<16f(e)B.e2f(4)<4e2f(2)<16f(e)
C.e2f(4)<16f(e)<4e2f(2)
D.16f(e)√
方法一　设g(x)＝x∈(0，＋∞)，
∵xf'(x)<2f(x)，
∴g'(x)＝<0，
则g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴g(2)>g(e)>g(4)，
∴>>
即4e2f(2)>16f(e)>e2f(4)，故C正确.
方法二　设f(x)＝1，又e2<16<4e2，C正确.
(3)(2024·扬州模拟)已知函数f(x)的导数为f'(x)，对任意实数x，都有f(x)－f'(x)>0，且f(1)＝1，则f(x)>ex－1的解集为
A.(－∞，1)
B.(1，＋∞)
C.(－1，1)
D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
√
由f(x)>ex－1，可得>
令g(x)＝结合f(x)－f'(x)>0，则g'(x)＝<0，
所以g(x)在R上单调递减，
故g(x)>g(1) x<1，
则原不等式的解集为(－∞，1).
例4　(1)(2025·昆明模拟)设a＝b＝c＝则
A.cC.b构造具体函数关系
题型二
√
设f(x)＝x>0，
则f'(x)＝
令f'(x)＝0，得x＝
则f(x)在(0)上单调递增，在(＋∞)上单调递减，
b＝f()，c＝f()，则b>c，
又a－b＝>0，得a>b，
所以c(2)(2024·南昌模拟)142 857被称为世界上最神秘的数字，142 857×1＝142 857，142 857×2＝285 714，142 857×3＝428 571，142 857×4＝571 428，142 857×5＝714 285，142 857×6＝857 142，所得结果是这些数字反复出现，若a＝e0.142 857，b＝＋1，c＝则
A.a>b>c B.c>b>a
C.b>a>c D.a>c>b
√
由题意知，a＝e0.142 857，c＝
设f(x)＝ex－x－1(x>0)，f'(x)＝ex－1，
当x∈(0，＋∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)＝ex－x－1>f(0)＝0，
所以ex>x＋1(x>0).
因为x2＋2x＋1>1＋2x(x>0)，
所以x＋1>(x>0)，
得ex>(x>0)，
所以e0.142 857>即a>c；
由ex>x＋1(x>0)，得x>ln(x＋1)(x>0)，
所以x－1>ln x(x>1)，即x>ln x＋1(x>1)，
所以>ln ＋1＝＋1，即c>b.
综上，a>c>b.
通过研究或变形，使所研究的式子具有鲜明的结构特点，然后依据此特点构造新函数.常用的不等式：sin x0)，ln x≤x－1≤x2－x(x>0)，ex≥x＋1(x>0)，ex≥ex>x(x>0).
思维升华
跟踪训练2　(1)(2025·九江模拟)已知a＝sin b＝ln c＝则
A.a>b>c B.c>a>b
C.c>b>a D.a>c>b
√
方法一　a＝sin >sin ＝c，
设f(x)＝ln x＋1－x，x>1，
则f'(x)＝<0，
故f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
故f(x)1)，
所以b＝ln <－1＝c，故a>c>b.
方法二　a＝sin >sin ＝c，b＝ln所以a>c>b.
(2)已知e是自然对数的底数，a＝b＝e2sin c＝则
A.a>b>c B.c>a>b
C.a>c>b D.b>c>a
√
构建f(x)＝x>e，
则f'(x)＝>0在(e，＋∞)上恒成立，
可知f(x)在(e，＋∞)上单调递增，
因为a＝c＝
可知f(4)>f(π)>f(e)＝e，
即c>a>e；
构建g(x)＝x－sin x，x>0，
则g'(x)＝1－cos x≥0在(0，＋∞)上恒成立，
可知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则g(x)>g(0)＝0，即x>sin x，x>0，
可得>sin 且e>0，
则e>e2sin 即e>b，
综上所述，c>a>b.
课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B B C A C BC ABD
题号 9 　　　10
答案 a一、单项选择题
1.(2025·福州模拟)已知a＝ln b＝ln(ln 3)，c＝－则
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>a>b
√
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答案
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答案
因为b＝ln(ln 3)>ln(ln e)＝0，
而a＝ln <0，c<0，所以b最大，
构造函数f(x)＝xln x(x>0)，因为f'(x)＝ln x＋1(x>0)，
当0时，f'(x)>0，
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，
又因为a＝f c＝f
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答案
所以f >f 即a>c，
故b>a>c.
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答案
2.(2024·北海模拟)已知a＝ln(e)，b＝c＝＋1，则a，b，c的大小关系为
A.c>a>b B.b>a>c
C.a>b>c D.b>c>a
√
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答案
由题意，a＝＋1＝＋1，b＝＋1，c＝＋1，
设f(x)＝则f'(x)＝
当00，f(x)单调递增；当x>e时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
因为e<4<5，
所以b＝f(e)＋1>a＝f(4)＋1>c＝f(5)＋1，故b>a>c.
3.(2024·昆明模拟)设定义在R上的函数y＝f(x)满足对 x∈R，都有f(x＋2)＋f(x)＝0，且当x∈(0，4]时，xf'(x)－f(x)>0，若a＝f(2 024)，b＝4f(2 025)，c＝2f(2 026)，则a，b，c的大小关系是
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.b>c>a
√
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答案
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由f(x＋2)＋f(x)＝0 f(x＋4)＋f(x＋2)＝0 f(x＋4)＝f(x)，
即4为y＝f(x)的一个周期，
所以a＝f(2 024)＝f(4)，
同理b＝4f(2 025)＝4f(1)，c＝2f(2 026)＝2f(2)，
令g(x)＝ g'(x)＝
由已知可得，当x∈(0，4]时，g'(x)>0，g(x)单调递增，
所以<< 4f(1)<2f(2)c>b.
答案
4.(2025·成都模拟)已知函数y＝f(x)对任意的x∈满足f'(x)cos x－f(x)sin x>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是
A.f >f B.f C.2f(0)f
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答案
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构造函数g(x)＝f(x)cos x，x∈
则g'(x)＝f'(x)cos x－f(x)sin x>0，
所以g(x)在上单调递增，
则g所以f cos即f 答案
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则g>g
所以fcos>fcos
即f >f 故B不正确；
则g(0)所以f(0)cos 0即2f(0)答案
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则g(0)所以f(0)cos 0即f(0)答案
5.(2024·成都模拟)若函数f(x)对任意的x∈R，都有f'(x)A.2f(ln 2)>f(2ln 2)－2
B.2f(ln 2)C.2f(ln 2)＝f(2ln 2)－2
D.无法比较大小
√
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答案
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令g(x)＝
则g'(x)＝
∵对任意的x∈R，都有f'(x)∴g'(x)<0，即g(x)在R上为减函数，
又ln 2<2ln 2，∴g(ln 2)>g(2ln 2)，
即>
可得2f(ln 2)>f(2ln 2)－2.
答案
6.(2024·南充模拟)设函数f(x)＝sin x＋ex－e－x－x＋3，则满足f(x)＋f(3－2x)
<6的x的取值范围是
A.(－∞，1) B.(1，＋∞)
C.(3，＋∞) D.(－∞，3)
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答案
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f(x)＝sin x＋ex－e－x－x＋3，
设g(x)＝f(x)－3＝sin x＋ex－e－x－x，
又易知g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为R上的奇函数，
又g'(x)＝cos x＋ex＋e－x－1≥cos x＋2－1＝1＋cos x≥0，
∴g(x)在R上是增函数，
又f(x)＋f(3－2x)<6，
∴[f(x)－3]＋[f(3－2x)－3]<0，
答案
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∴g(x)＋g(3－2x)<0，∴g(x)<－g(3－2x)，
又g(x)为R上的奇函数，
∴g(x)又g(x)在R上是增函数，
∴x<2x－3，∴x>3，
故满足f(x)＋f(3－2x)<6的x的取值范围是(3，＋∞).
答案
二、多项选择题
7.(2024·滁州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f'(x)，且对任意的x∈R，都有f(x)＋f'(x)>0，则下列说法正确的是
A.ef(1)f(0)
C.2f(ln 2)ef(1)
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√
答案
√
令g(x)＝exf(x)，
所以g'(x)＝exf(x)＋exf'(x)＝ex[f(x)＋f'(x)]>0，
所以g(x)在R上是增函数，所以g(0)又g(ln 2)所以eln 2f(ln 2)即2f(ln 2)1
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答案
8.(2025·池州模拟)下列不等关系中正确的是
A.ln 2< B.bea>aeb(a>b>1)
C.cos < D.sin >π
√
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答案
√
√
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对于A项，由ln 2＝构造函数f(x)＝(x>0)，则f'(x)＝
当00，则f(x)在(0，e2)上单调递增，所以f(4)对于B项，设m(x)＝x>1，
则m'(x)＝>0在(1，＋∞)上恒成立，
故函数m(x)在(1，＋∞)上单调递增，
答案
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因为a>b>1，故m(a)>m(b)，即>
故bea>aeb，故B项正确；
对于C项，因为cos < cos <1－＝1－×
故构造函数f(x)＝cos x－1＋x2(x>0)，
则f'(x)＝x－sin x，
令g(x)＝x－sin x，则g'(x)＝1－cos x≥0，
故g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
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则g(x)>g(0)，即f'(x)>f'(0)＝0，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
f ＝cos >f(0)＝0，故C项错误；
对于D项，sin >π sin >π－ sin>π－ sin<－π，
由C项分析可知－π>sin故D项正确.
答案
三、填空题
9.已知a＝b＝c＝则a，b，c的大小关系为　　　　.
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答案
a1
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答案
令f(x)＝x≠0，
则f'(x)＝当x≥2时，f'(x)≥0，
∴f(x)在[2，＋∞)上单调递增，
∴f(2)∴a10.已知x∈则不等式esin x－cos x－tan x≥0的解集为　　　　　.
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答案
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不等式esin x－cos x－tan x≥0可化为≥
当x∈时，cos x>0，
又esin x>0，∴≥
令f(x)＝则f(cos x)≥f(sin x)，
∵f'(x)＝
∴当x∈(－∞，1)时，f'(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f'(x)<0，
∴f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
答案
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当x∈时，cos x∈(0，1]，sin x∈(－1，1)，
∴cos x≥sin x，
即当x∈时，tan x≤1，∴x∈
即不等式esin x－cos x－tan x≥0的解集为.
答案

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