资源简介

必刷小题5　导数及其应用
分值：73分
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.下列求导运算结果正确的是(　　)
A.'=1+ B.(xln x)'=ln x+1
C.(sin π)'=cos π D.'=
2.函数y=x2-ln x的单调递减区间为(　　)
A.(0，e) B.(0，1)
C.[1，+∞) D.(0，+∞)
3.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则该函数的大致图象可能是(　　)
A　　　　　　　 B
C　　　　　　　 D
4.若函数f(x)=x--aln x存在单调递减区间，则实数a的取值范围为(　　)
A.(2，+∞) B.(-∞，-2]
C.[-2，2] D.(-∞，2)
5.某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是0.1πr4分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径.已知每售出1 mL的液体材料，制造商可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为8 cm，则当每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为(　　)
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
6.若函数f(x)=(x-3)ex+x2-2x+1在区间(2m-2，3+m)上存在最值，则m的取值范围是(　　)
A.(-∞，-1) B.(2，+∞)
C.(-1，2) D.(-∞，-1)∪(2，+∞)
7.已知f(x)是定义域为R的偶函数，且在(-∞，0)上单调递减，若a=f(ln 1.04)，b=f(1.04)，c=f(e0.04)，则(　　)
A.aC.c8.已知a>0，b>1，且e2a+2ln b+1=b2+2a，则一定有(　　)
A.b>ea B.ln bC.a+ln b>1 D.a+ln b=1
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.下列说法中正确的有(　　)
A.(sin 2x)'=cos 2x
B.已知函数f(x)在R上可导，且f'(1)=1，则=1
C.一质点A沿直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为s(t)=t2+1，则该质点在t=2 s时的瞬时速度是4 m/s
D.若h(x)=f(x)·g(x)，则h'(x)=f'(x)·g'(x)
10.已知f'(x)为函数f(x)的导函数，当x>0时，有f(x)-xf'(x)>0恒成立，则下列不等式一定成立的是(　　)
A.f >2f B.f <2f
C.f >2f(1) D.2f >f(1)
11.已知函数f(x)=-x3+3x-1，则(　　)
A.f(x)在x=-1处取得极小值
B.f(x)有3个零点
C.f(x)在区间(-2，2)上的值域为(-3，1)
D.函数f(x)图象的对称中心为点(0，-1)
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.函数f(x)=x-cos x，x∈的值域是　　　　　　　　　　　　.
13.在平面直角坐标系中，点A在曲线y=ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(-e，-1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标为　　　　　，
切线方程为　　　　.
14.定义：如果函数f(x)在区间[a，b]上存在x1，x2(a答案精析
1.B　2.B
3.D　[由题意知f'(x)与x轴有三个交点，不妨设为x1，x2，x3，且x1当x∈(-∞，x1)时，f'(x)<0，
当x∈(x1，0)时，f'(x)>0，
当x∈(0，x3)时，f'(x)<0，
当x∈(x3，+∞)时，f'(x)>0，
所以f(x)在区间(-∞，x1)，(0，x3)上单调递减，故A，C错误；
在区间(x1，0)，(x3，+∞)上单调递增，故B错误，D正确.]
4.A　[因为f(x)=x--aln x存在单调递减区间，
所以f'(x)=1+-<0在(0，+∞)上有解，
即a>+x在(0，+∞)上有解，
+x≥2=2
当且仅当x=时等号成立，
所以=2
故a>2.]
5.A　[依题意知，每瓶液体材料的利润f(r)=0.3×πr3-0.1πr4
=0.1π(4r3-r4)，0则f'(r)=0.4πr2(3-r)，
令f'(r)=0，得r=3，
当r∈(0，3)时，f'(r)>0，
当r∈(3，8]时，f'(r)<0，
因此函数f(r)在(0，3)上单调递增，在(3，8]上单调递减，即当r=3时，f(r)取最大值，
所以当每瓶液体材料的利润最大时，r=3.]
6.C　[f'(x)=(x-2)ex+x-2
=(x-2)(ex+1)，
则当x>2时，f'(x)>0，当x<2时，f'(x)<0，
即f(x)在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，
即f(x)在x=2处取得最值，
则有2m-2<2<3+m，
解得-17.A　[因为f(x)是定义域为R的偶函数，且在(-∞，0)上单调递减，
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，
ln 1.04即ln 1.04<1.04；
令h(x)=ex-(x+1)，
当x>0时，h'(x)=ex-1>0，
则h(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以h(0.04)=e0.04-(0.04+1)=e0.04-1.04>h(0)=0，
即e0.04>1.04，
所以e0.04>1.04>ln 1.04.
而f(x)在(0，+∞)上单调递增，
故有f(ln 1.04)8.A　[因为e2a+2ln b+1=b2+2a，
所以e2a-2a=b2-2ln b-1=-ln b2-1，
所以-ln b2-1>e2a-2a-1，
令f(x)=ex-x-1，
则f'(x)=ex-1，f(ln b2)>f(2a)，
当x∈(0，+∞)时，f'(x)>0，
故f(x)在(0，+∞)上单调递增，
因为a>0，b>1，所以2a>0，ln b2>0，
则ln b2>2a，所以ln b>a，即b>ea，故A正确，B错误；
因为ln b>a，所以a+ln b>2a，
因为a>0，所以a+ln b与1的大小关系不确定，故C，D错误.]
9.BC　[对于A选项，(sin 2x)'=2cos 2x，故A错误；
对于B选项，由导函数定义可知
=f'(1)=1，故B正确；
对于C选项，s'(t)=2t，故s'(2)=4，故该质点在t=2 s时的瞬时速度是4 m/s，故C正确；
对于D选项，若h(x)=f(x)·g(x)，则h'(x)=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)，故D错误.]
10.BD　[构造函数g(x)=其中x>0，
则g'(x)=<0，
所以函数g(x)在(0，+∞)上单调递减，
对于A，B选项，g即2f <4f
可得f <2f A错，B对；
对于C，D选项，g>g(1)，
即2f >f(1)，D对，C无法判断.]
11.ABD　[由f'(x)=-3x2+3，
令f'(x)>0，解得-1令f'(x)<0，解得x<-1或x>1，
所以函数f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上单调递减，在(-1，1)上单调递增，
所以f(x)在x=-1处取得极小值，故A正确；
又f(-2)=1，f(-1)=-3，f(1)=1，f(2)=-3，
所以f(-2)·f(-1)<0，所以函数f(x)在(-∞，-1)上有且仅有一个零点，
同理函数f(x)在(-1，1)上有且仅有一个零点，在(1，+∞)上有且仅有一个零点，
即函数f(x)共有3个零点，故B正确；
由前面得f(x)在(-2，2)上的值域为[-3，1]，故C错误；
设g(x)=-x3+3x，x∈R，g(-x)=-(-x)3+3(-x)=x3-3x=-g(x)，所以函数g(x)是奇函数，图象关于点(0，0)对称，
又f(x)=-x3+3x-1的图象是由g(x)的图象向下平移1个单位长度得到的，所以函数f(x)图象的对称中心为点(0，-1)，故D正确.]
12.
解析　因为f(x)=x-cos x，x∈
所以f'(x)=+sin x，
当-f(x)单调递减；当-f'(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)min=f =--
又f =-从而f(x)max=f =所以函数f(x)=x-cos x，x∈的值域是.
13.(e，1)　y=　
解析　设点A的坐标为(x0，y0)，则y0=ln x0.
又y'=当x=x0时，y'=
曲线y=ln x在点A处的切线方程为y-y0=(x-x0)，
即y-ln x0=-1，
代入点(-e，-1)，
得-1-ln x0=-1，
即x0ln x0=e，
记H(x)=xln x，
当x∈(0，1)时，H(x)<0，
当x∈(1，+∞)时，H(x)>0，
且H'(x)=ln x+1，当x>1时，H'(x)>0，H(x)单调递增，
又H(e)=e，故x0ln x0=e存在唯一的实数根x0=e，此时y0=1，
故点A的坐标为(e，1)，切线方程为y=.
14.
解析　由于f(x)=x3-x2+a，
则f'(x)=x2-2x，
因为f(x)在[0，a]上存在x1，x2(0满足f'(x1)=f'(x2)=
即x2-2x==a2-a，
则关于x的一元二次方程x2-2x-a2+a=0在(0，a)上有两个不同的实根，
令g(x)=x2-2x-a2+a，
则
解得所以实数a的取值范围是.(共34张PPT)
第三章
必刷小题5　导数及其应用
数学
大
一
轮
复
习
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D A A C A A
题号 9 10 11 12　 13 14
答案 BC BD ABD
一、单项选择题
1.下列求导运算结果正确的是
A.'＝1＋ B.(xln x)'＝ln x＋1
C.(sin π)'＝cos π D.'＝
√
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答案
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答案
对于A'＝1－故A错误；
对于B，(xln x)'＝x'ln x＋(ln x)'x＝ln x＋·x＝ln x＋1，故B正确；
对于C，(sin π)'＝0，故C错误；
对于D'＝故D错误.
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答案
2.函数y＝x2－ln x的单调递减区间为
A.(0，e) B.(0，1)
C.[1，＋∞) D.(0，＋∞)
√
由题意知，x>0，y'＝x－
令y'<0，得0所以其单调递减区间为(0，1).
3.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则该函数的大致图象可能是
1
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答案
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由题意知f'(x)与x轴有三个交点，不妨设为x1，x2，x3，且x1当x∈(－∞，x1)时，f'(x)<0，
当x∈(x1，0)时，f'(x)>0，
当x∈(0，x3)时，f'(x)<0，
当x∈(x3，＋∞)时，f'(x)>0，
所以f(x)在区间(－∞，x1)，(0，x3)上单调递减，故A，C错误；
在区间(x1，0)，(x3，＋∞)上单调递增，故B错误，D正确.
答案
4.若函数f(x)＝x－－aln x存在单调递减区间，则实数a的取值范围为
A.(2＋∞) B.(－∞，－2]
C.[－22] D.(－∞，2)
√
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答案
因为f(x)＝x－－aln x存在单调递减区间，
所以f'(x)＝1＋<0在(0，＋∞)上有解，
即a>＋x在(0，＋∞)上有解，
＋x≥2＝2
当且仅当x＝时等号成立，
所以＝2
故a>2.
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答案
5.某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是0.1πr4分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径.已知每售出1 mL的液体材料，制造商可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为8 cm，则当每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
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依题意知，每瓶液体材料的利润f(r)＝0.3×πr3－0.1πr4＝0.1π(4r3－r4)，0则f'(r)＝0.4πr2(3－r)，
令f'(r)＝0，得r＝3，
当r∈(0，3)时，f'(r)>0，当r∈(3，8]时，f'(r)<0，
因此函数f(r)在(0，3)上单调递增，在(3，8]上单调递减，即当r＝3时，f(r)取最大值，
所以当每瓶液体材料的利润最大时，r＝3.
答案
6.若函数f(x)＝(x－3)ex＋x2－2x＋1在区间(2m－2，3＋m)上存在最值，则m的取值范围是
A.(－∞，－1) B.(2，＋∞)
C.(－1，2) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
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答案
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f'(x)＝(x－2)ex＋x－2＝(x－2)(ex＋1)，
则当x>2时，f'(x)>0，当x<2时，f'(x)<0，
即f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
即f(x)在x＝2处取得最值，
则有2m－2<2<3＋m，
解得－1答案
7.已知f(x)是定义域为R的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，若a＝
f(ln 1.04)，b＝f(1.04)，c＝f(e0.04)，则
A.aC.c1
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答案
因为f(x)是定义域为R的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
ln 1.04令h(x)＝ex－(x＋1)，
当x>0时，h'(x)＝ex－1>0，
则h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以h(0.04)＝e0.04－(0.04＋1)＝e0.04－1.04>h(0)＝0，
即e0.04>1.04，
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答案
所以e0.04>1.04>ln 1.04.
而f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故有f(ln 1.04)1
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答案
8.已知a>0，b>1，且e2a＋2ln b＋1＝b2＋2a，则一定有
A.b>ea B.ln bC.a＋ln b>1 D.a＋ln b＝1
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因为e2a＋2ln b＋1＝b2＋2a，
所以e2a－2a＝b2－2ln b－1＝－ln b2－1，
所以－ln b2－1>e2a－2a－1，
令f(x)＝ex－x－1，
则f'(x)＝ex－1，f(ln b2)>f(2a)，
当x∈(0，＋∞)时，f'(x)>0，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
答案
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因为a>0，b>1，所以2a>0，ln b2>0，
则ln b2>2a，所以ln b>a，即b>ea，故A正确，B错误；
因为ln b>a，所以a＋ln b>2a，
因为a>0，所以a＋ln b与1的大小关系不确定，故C，D错误.
答案
二、多项选择题
9.下列说法中正确的有
A.(sin 2x)'＝cos 2x
B.已知函数f(x)在R上可导，且f'(1)＝1，则＝1
C.一质点A沿直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为
s(t)＝t2＋1，则该质点在t＝2 s时的瞬时速度是4 m/s
D.若h(x)＝f(x)·g(x)，则h'(x)＝f'(x)·g'(x)
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答案
对于A选项，(sin 2x)'＝2cos 2x，故A错误；
对于B选项，由导函数定义可知＝f'(1)＝1，故B正确；
对于C选项，s'(t)＝2t，故s'(2)＝4，故该质点在t＝2 s时的瞬时速度是 4 m/s，故C正确；
对于D选项，若h(x)＝f(x)·g(x)，则h'(x)＝f'(x)·g(x)＋f(x)·g'(x)，故D错误.
10.已知f'(x)为函数f(x)的导函数，当x>0时，有f(x)－xf'(x)>0恒成立，则下列不等式一定成立的是
A.f >2f B.f <2f
C.f >2f(1) D.2f>f(1)
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构造函数g(x)＝其中x>0，则g'(x)＝<0，
所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
对于A，B选项，g即2f <4f 可得f <2f A错，B对；
对于C，D选项，g>g(1)，
即2f >f(1)，D对，C无法判断.
答案
11.已知函数f(x)＝－x3＋3x－1，则
A.f(x)在x＝－1处取得极小值
B.f(x)有3个零点
C.f(x)在区间(－2，2)上的值域为(－3，1)
D.函数f(x)图象的对称中心为点(0，－1)
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答案
由f'(x)＝－3x2＋3，
令f'(x)>0，解得－11，
所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1，1)上单调递增，
所以f(x)在x＝－1处取得极小值，故A正确；
又f(－2)＝1，f(－1)＝－3，f(1)＝1，f(2)＝－3，
所以f(－2)·f(－1)<0，所以函数f(x)在(－∞，－1)上有且仅有一个零点，
同理函数f(x)在(－1，1)上有且仅有一个零点，在(1，＋∞)上有且仅有一个零点，
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答案
即函数f(x)共有3个零点，故B正确；
由前面得f(x)在(－2，2)上的值域为[－3，1]，故C错误；
设g(x)＝－x3＋3x，x∈R，g(－x)＝－(－x)3＋3(－x)＝x3－3x＝－g(x)，所以函数g(x)是奇函数，图象关于点(0，0)对称，
又f(x)＝－x3＋3x－1的图象是由g(x)的图象向下平移1个单位长度得到的，所以函数f(x)图象的对称中心为点(0，－1)，故D正确.
三、填空题
12.函数f(x)＝x－cos x，x∈的值域是　　　　　 　.
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答案
因为f(x)＝x－cos x，x∈所以f'(x)＝＋sin x，
当－当－0，f(x)单调递增，
所以f(x)min＝f ＝－又f ＝－从而f(x)max＝f
所以函数f(x)＝x－cos x，x∈的值域是.
13.在平面直角坐标系中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标为　　　　，切线
方程为　　　　.
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答案
(e，1)
y＝
设点A的坐标为(x0，y0)，则y0＝ln x0.
又y'＝当x＝x0时，y'＝
曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－ln x0＝－1，
代入点(－e，－1)，得－1－ln x0＝－1，
即x0ln x0＝e，
记H(x)＝xln x，当x∈(0，1)时，H(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，H(x)>0，
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答案
且H'(x)＝ln x＋1，当x>1时，H'(x)>0，H(x)单调递增，
又H(e)＝e，故x0ln x0＝e存在唯一的实数根x0＝e，此时y0＝1，
故点A的坐标为(e，1)，切线方程为y＝.
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答案
14.定义：如果函数f(x)在区间[a，b]上存在x1，x2(a＝x3－x2＋a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是　　 　.
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答案
由于f(x)＝x3－x2＋a，
则f'(x)＝x2－2x，
因为f(x)在[0，a]上存在x1，x2(0满足f'(x1)＝f'(x2)＝
即x2－2x＝a2－a，
则关于x的一元二次方程x2－2x－a2＋a＝0在(0，a)上有两个不同的实根，
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答案
令g(x)＝x2－2x－a2＋a，
则解得所以实数a的取值范围是.

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