资源简介

进阶篇　不等式恒(能)成立问题
进阶1　参数全分离
分值：34分
1.(17分)(2025·兰州模拟)已知函数f(x)=ax-ln x，a∈R.
(1)讨论f(x)在区间[1，2]上的单调性；(8分)
(2)若当x∈(0，e]时，不等式f(x)≤3有解，求a的取值范围.(9分)
2.(17分)已知函数f(x)=x3eax-1.
(1)讨论f(x)的单调性；(8分)
(2)若a=2，不等式f(x)≥mx+3ln x对x∈(0，+∞)恒成立，求m的取值范围.(9分)
答案精析
1.解　(1)函数f(x)=ax-ln x，求导得f'(x)=a-
由x∈[1，2]，得∈
当a≤时，f'(x)≤0，
当且仅当a=x=2时取等号，
函数f(x)在[1，2]上单调递减；
当a≥1时，f'(x)≥0，当且仅当a=1，x=1时取等号，函数f(x)在[1，2]上单调递增；
当由f'(x)<0，得1≤x<
由f'(x)>0，得因此函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，
综上，当a≤时，函数f(x)在[1，2]上单调递减；
当当a≥1时，函数f(x)在[1，2]上单调递增.
(2)依题意，不等式ax-ln x≤3在x∈(0，e]时有解，
即a≤+在x∈(0，e]时有解，
令g(x)=+x∈(0，e]，
求导得g'(x)=-+
=-
由g'(x)>0，得0由g'(x)<0，得所以函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，
当x=时，函数g(x)取得最大值g=e2，因此a≤e2，
所以实数a的取值范围是(-∞，e2].
2.解　(1)f'(x)=3x2eax+ax3eax=x2eax(ax+3).
①当a=0时，f'(x)≥0恒成立，
所以f(x)在R上单调递增.
②当a<0时，令f'(x)<0，得x>-；
令f'(x)>0，得x<-所以f(x)的单调递减区间为单调递增区间为.
③当a>0时，令f'(x)<0，得x<-；
令f'(x)>0，得x>-.所以f(x)的单调递减区间为单调递增区间为.
(2)因为a=2，所以f(x)≥mx+3ln x对x∈(0，+∞)恒成立等价于m≤对x∈(0，+∞)恒成立.
方法一　设g(t)=t-1-ln t(t>0)，
则g'(t)=.
令g'(t)<0，得0令g'(t)>0，得t>1，
所以g(t)min=g(1)=0，
所以t-1-ln t≥0.
取t=x3e2x，
则x3e2x-1-ln(x3e2x)≥0，
即x3e2x-3ln x-1≥2x，
所以≥2.
设h(x)=x3e2x，
因为h(0)=0<1，h(1)=e2>1，
所以方程x3e2x=1必有解，
所以当且仅当x3e2x=1时，
函数y=(x>0)取得最小值，且最小值为2，
所以m≤2，即m的取值范围为(-∞，2].
方法二　(同构法)
=
≥=2，
等号成立的充要条件是3ln x+2x=0，
令φ(x)=3ln x+2x，
由φ=-3+<0，
φ(1)=2>0知，3ln x+2x=0必有解，
故m≤2，即m的取值范围为(-∞，2].进阶篇　不等式恒(能)成立问题
解决不等式恒(能)成立问题，常用的方法有：
(1)参数全分离
将原含参不等式等价变形成a≤f(x)这类形式，进而转化为求f(x)的最值问题.当参变分离后的函数f(x)不复杂，容易求最值时，可采用此法.
(2)参数半分离
将原含参不等式等价变形成f(x)≤g(a，x)这类形式，画图分析参数a如何取值才能满足该不等式，这种方法往往需要关注切线、端点等临界状态.
注：g(a，x)表示g(x)这个函数表达式中既有a也有x，a在不等式左右两边都可以.
(3)参数不分离(隐零点、端点效应).
(4)特殊的方法(同构等).
进阶1　参数全分离
题型一　参数全分离
例1　不等式ln x-ax+1≤0恒成立，求实数a的取值范围.
思维升华　分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
(2)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立 a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立 a≤f(x)max.
跟踪训练1　(2024·青岛模拟)已知函数f(x)=ax-ex，a>0.
(1)若a=1，求函数f(x)在x=1处的切线方程；
(2)若x>0，f(x)≤a-x2恒成立，求实数a的取值范围.
题型二　换元后参数分离
例2　已知函数f(x)=x+a.
(1)若a=-1，求f(x)的单调区间和极值点；
(2)若a>0，且当x>0时，f(x)>-1恒成立，求实数a的取值范围.
思维升华　在有些题目中不能直接利用分离参数法，有时为了简化函数，常进行换元，如本题令t=就可轻松分离参数.
跟踪训练2　已知函数f(x)=[ln(1+x)]2-.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若不等式≤e对任意的n∈N*都成立(其中e是自然对数的底数)，求a的最大值.
答案精析
例1　解　不等式ln x-ax+1≤0恒成立，
即ax≥ln x+1恒成立，x>0，
即a≥恒成立，
设g(x)=，x>0，
则g'(x)=-，
易知函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
g(x)max=g(1)=1，
所以a≥1.
跟踪训练1　解　(1)当a=1时，f(x)=x-ex，f(1)=1-e，
f'(x)=1-ex，所以f'(1)=1-e，
所以f(x)在x=1处的切线方程为y-(1-e)=(1-e)(x-1)，
即y=(1-e)x.
(2)当x>0时，ax-ex≤a-x2恒成立，
即a(x-1)≤ex-x2恒成立.
①当01，x2≤1，
又a>0，所以a(x-1)≤0，ex-x2>0，
所以a(x-1)≤ex-x2恒成立.
②当x>1时，x-1>0，
原不等式等价于a≤恒成立，
即a≤，
令g(x)=，
则g'(x)=，
令h(x)=ex-x，
则h'(x)=ex-1，
当x>0时，h'(x)>0，
则h(x)=ex-x在(0，+∞)上单调递增，
h(x)>h(0)=1，
所以当x>1时，ex-x>0.
则当1当x>2时，g'(x)>0，
所以g(x)=在(1，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，
所以a≤=g(2)=e2-4，
所以0综上，实数a的取值范围是(0，e2-4].
例2　解　(1)当a=-1时，f(x)=xe-x-1，f'(x)=e-x-xe-x，
令f'(x)=0，得x=1，
所以当x<1时，f'(x)>0；
当x>1时，f'(x)<0.
所以f(x)的单调递减区间为(1，+∞)，单调递增区间为(-∞，1)，极大值点为x=1，无极小值点.
(2)方法一　f(x)>-1
x+a>-1，
即x+a+1>0.
令=t，t>0，则x=at，
atet-(2a+2)t+a+1>0对于t>0恒成立，
即a(tet-2t+1)>2t-1，(*)
易证当t>0时，et>t+1，
则tet-2t+1>t(t+1)-2t+1>(t-1)2≥0，
即tet-2t+1>0，
于是，由(*)可得a>，
令g(t)=(t>0)，
则g'(t)=et(t>0).
当t∈(0，1)时，g'(t)>0；
当t∈(1，+∞)时，g'(t)<0，
所以g(t)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
g(t)max=g(1)=，
所以a>，故实数a的取值范围是.
方法二　f(x)>-1
x+a>-1，
即x+a+1>0.
令=t，t>0，
则x=at，atet-(2a+2)t+a+1>0对于t>0恒成立，
即>对于t>0恒成立.
设h(t)=，t>0，
则h'(t)=，
当t∈(0，1)时，h'(t)>0；
当t∈(1，+∞)时，h'(t)<0.
可得h(t)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
所以h(t)max=h(1)=，
则>，解得a>，故实数a的取值范围是.
跟踪训练2　解　(1)函数f(x)的定义域为(-1，+∞)，
f'(x)=-
=，
设g(x)=2(1+x)ln(1+x)-x2-2x，
则g'(x)=2ln(1+x)-2x，
令h(x)=2ln(1+x)-2x，
则h'(x)=-2=.
当-10，
故h(x)在(-1，0)上单调递增；
当x>0时，h'(x)<0，
故h(x)在(0，+∞)上单调递减，
所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0，
所以g'(x)≤0，
所以函数g(x)在(-1，+∞)上为减函数，
于是当-1g(0)=0；
当x>0时，g(x)所以当-10，f(x)在(-1，0)上单调递增；
当x>0时，f'(x)<0，f(x)在(0，+∞)上单调递减，
故函数f(x)的单调递增区间为(-1，0)，单调递减区间为(0，+∞).
(2)不等式≤e等价于不等式(n+a)ln≤1，
由1+>1知，a≤-n，
设φ(x)=-，x∈(0，1]，
则φ'(x)=-+
=.
由(1)知，[ln(1+x)]2-≤0，
即(1+x)[ln(1+x)]2-x2≤0，
当且仅当x=0时等号成立，
所以φ'(x)<0，x∈(0，1]，
于是φ(x)在(0，1]上单调递减，
故函数φ(x)在(0，1]上的最小值为φ(1)=-1，
所以a的最大值为-1.(共46张PPT)
第三章　
进阶篇　不等式恒(能)成立问题
数学
大
一
轮
复
习
解决不等式恒(能)成立问题，常用的方法有：
(1)参数全分离
将原含参不等式等价变形成a≤f(x)这类形式，进而转化为求f(x)的最值问题.当参变分离后的函数f(x)不复杂，容易求最值时，可采用此法.
(2)参数半分离
将原含参不等式等价变形成f(x)≤g(a，x)这类形式，画图分析参数a如何取值才能满足该不等式，这种方法往往需要关注切线、端点等临界状态.
注：g(a，x)表示g(x)这个函数表达式中既有a也有x，a在不等式左右两边都可以.
(3)参数不分离(隐零点、端点效应).
(4)特殊的方法(同构等).
参数全分离
进阶1
例1　不等式ln x－ax＋1≤0恒成立，求实数a的取值范围.
参数全分离
题型一
不等式ln x－ax＋1≤0恒成立，
即ax≥ln x＋1恒成立，x>0，
即a≥恒成立，
设g(x)＝x>0，
则g'(x)＝－
易知函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
g(x)max＝g(1)＝1，
所以a≥1.
分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
(2)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立 a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立 a≤f(x)max.
思维升华
跟踪训练1　(2024·青岛模拟)已知函数f(x)＝ax－ex，a>0.
(1)若a＝1，求函数f(x)在x＝1处的切线方程；
当a＝1时，f(x)＝x－ex，f(1)＝1－e，
f'(x)＝1－ex，所以f'(1)＝1－e，
所以f(x)在x＝1处的切线方程为y－(1－e)＝(1－e)(x－1)，即y＝(1－e)x.
(2)若x>0，f(x)≤a－x2恒成立，求实数a的取值范围.
当x>0时，ax－ex≤a－x2恒成立，
即a(x－1)≤ex－x2恒成立.
①当01，x2≤1，
又a>0，所以a(x－1)≤0，ex－x2>0，
所以a(x－1)≤ex－x2恒成立.
②当x>1时，x－1>0，
原不等式等价于a≤恒成立，
即a≤
令g(x)＝
则g'(x)＝
令h(x)＝ex－x，
则h'(x)＝ex－1，当x>0时，h'(x)>0，
则h(x)＝ex－x在(0，＋∞)上单调递增，
h(x)>h(0)＝1，
所以当x>1时，ex－x>0.
则当1当x>2时，g'(x)>0，
所以g(x)＝在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
所以a≤＝g(2)＝e2－4，
所以0综上，实数a的取值范围是(0，e2－4].
例2　已知函数f(x)＝x＋a.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间和极值点；
换元后参数分离
题型二
当a＝－1时，f(x)＝xe－x－1，f'(x)＝e－x－xe－x，
令f'(x)＝0，得x＝1，
所以当x<1时，f'(x)>0；当x>1时，f'(x)<0.
所以f(x)的单调递减区间为(1，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)，极大值点为x＝1，无极小值点.
(2)若a>0，且当x>0时，f(x)>－1恒成立，求实数a的取值范围.
方法一　f(x)>－1 x＋a>－1，
即x＋a＋1>0.
令＝t，t>0，则x＝at，
atet－(2a＋2)t＋a＋1>0对于t>0恒成立，
即a(tet－2t＋1)>2t－1， (*)
易证当t>0时，et>t＋1，
则tet－2t＋1>t(t＋1)－2t＋1>(t－1)2≥0，
即tet－2t＋1>0，
于是，由(*)可得a>
令g(t)＝(t>0)，
则g'(t)＝et(t>0).
当t∈(0，1)时，g'(t)>0；
当t∈(1，＋∞)时，g'(t)<0，
所以g(t)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，g(t)max＝g(1)＝
所以a>
故实数a的取值范围是.
方法二　f(x)>－1 x＋a>－1，
即x＋a＋1>0.
令＝t，t>0，
则x＝at，atet－(2a＋2)t＋a＋1>0对于t>0恒成立，
即>对于t>0恒成立.
设h(t)＝t>0，则h'(t)＝
当t∈(0，1)时，h'(t)>0；
当t∈(1，＋∞)时，h'(t)<0.
可得h(t)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以h(t)max＝h(1)＝
则>解得a>
故实数a的取值范围是.
在有些题目中不能直接利用分离参数法，有时为了简化函数，常进行换元，如本题令t＝就可轻松分离参数.
思维升华
跟踪训练2　已知函数f(x)＝[ln(1＋x)]2－.
(1)求函数f(x)的单调区间；
函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，
f'(x)＝＝
设g(x)＝2(1＋x)ln(1＋x)－x2－2x，
则g'(x)＝2ln(1＋x)－2x，
令h(x)＝2ln(1＋x)－2x，
则h'(x)＝－2＝.
当－10，
故h(x)在(－1，0)上单调递增；
当x>0时，h'(x)<0，故h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以h(x)在x＝0处取得极大值，而h(0)＝0，
所以g'(x)≤0，
所以函数g(x)在(－1，＋∞)上为减函数，
于是当－1g(0)＝0；
当x>0时，g(x)所以当－10，f(x)在(－1，0)上单调递增；
当x>0时，f'(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
故函数f(x)的单调递增区间为(－1，0)，单调递减区间为(0，＋∞).
(2)若不等式≤e对任意的n∈N*都成立(其中e是自然对数的底数)，求a的最大值.
不等式≤e等价于不等式(n＋a)ln≤1，
由1＋>1知，a≤－n，
设φ(x)＝x∈(0，1]，
则φ'(x)＝－＝.
由(1)知，[ln(1＋x)]2－≤0，
即(1＋x)[ln(1＋x)]2－x2≤0，
当且仅当x＝0时等号成立，
所以φ'(x)<0，x∈(0，1]，
于是φ(x)在(0，1]上单调递减，
故函数φ(x)在(0，1]上的最小值为φ(1)＝－1，
所以a的最大值为－1.
课时精练
答案
1
2
(1)函数f(x)=ax-ln x，求导得f'(x)=a-
由x∈[1，2]，得∈
当a≤时，f'(x)≤0，
当且仅当a=x=2时取等号，
函数f(x)在[1，2]上单调递减；
当a≥1时，f'(x)≥0，当且仅当a=1，x=1时取等号，函数f(x)在[1，2]上单调递增；
1.
答案
1
2
当由f'(x)<0，得1≤x<
由f'(x)>0，得因此函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，
综上，当a≤时，函数f(x)在[1，2]上单调递减；
当当a≥1时，函数f(x)在[1，2]上单调递增.
1.
答案
1
2
(2)依题意，不等式ax-ln x≤3在x∈(0，e]时有解，
即a≤+在x∈(0，e]时有解，
令g(x)=+x∈(0，e]，
求导得g'(x)=-+=-
由g'(x)>0，得0由g'(x)<0，得1.
答案
1
2
所以函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，
当x=时，函数g(x)取得最大值g=e2，因此a≤e2，
所以实数a的取值范围是(-∞，e2].
1.
答案
1
2
(1)f'(x)=3x2eax+ax3eax=x2eax(ax+3).
①当a=0时，f'(x)≥0恒成立，
所以f(x)在R上单调递增.
②当a<0时，令f'(x)<0，得x>-；
令f'(x)>0，得x<-所以f(x)的单调递减区间为单调递增区间为.
2.
答案
1
2
③当a>0时，令f'(x)<0，得x<-；
令f'(x)>0，得x>-.
所以f(x)的单调递减区间为单调递增区间为.
(2)因为a=2，
所以f(x)≥mx+3ln x对x∈(0，+∞)恒成立等价于m≤对x∈
(0，+∞)恒成立.
2.
答案
1
2
方法一　设g(t)=t-1-ln t(t>0)，则g'(t)=.
令g'(t)<0，得0令g'(t)>0，得t>1，
所以g(t)min=g(1)=0，
所以t-1-ln t≥0.
取t=x3e2x，
则x3e2x-1-ln(x3e2x)≥0，
2.
答案
1
2
即x3e2x-3ln x-1≥2x，所以≥2.
设h(x)=x3e2x，
因为h(0)=0<1，h(1)=e2>1，
所以方程x3e2x=1必有解，
所以当且仅当x3e2x=1时，
函数y=(x>0)取得最小值，且最小值为2，
所以m≤2，即m的取值范围为(-∞，2].
2.
答案
1
2
方法二　(同构法)
=≥=2，
等号成立的充要条件是3ln x+2x=0，
令φ(x)=3ln x+2x，
由φ=-3+<0，
φ(1)=2>0知，3ln x+2x=0必有解，
故m≤2，即m的取值范围为(-∞，2].
2.
1.(2025·兰州模拟)已知函数f(x)＝ax－ln x，a∈R.
(1)讨论f(x)在区间[1，2]上的单调性；
1
2
答案
1
2
答案
函数f(x)＝ax－ln x，求导得f'(x)＝a－
由x∈[1，2]，得∈
当a≤时，f'(x)≤0，
当且仅当a＝x＝2时取等号，
函数f(x)在[1，2]上单调递减；
当a≥1时，f'(x)≥0，当且仅当a＝1，x＝1时取等号，函数f(x)在[1，2]上单调递增；
1
2
答案
当由f'(x)>0，得因此函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，
综上，当a≤时，函数f(x)在[1，2]上单调递减；
当当a≥1时，函数f(x)在[1，2]上单调递增.
(2)若当x∈(0，e]时，不等式f(x)≤3有解，求a的取值范围.
1
2
答案
1
2
答案
依题意，不等式ax－ln x≤3在x∈(0，e]时有解，
即a≤在x∈(0，e]时有解，
令g(x)＝x∈(0，e]，
求导得g'(x)＝－＝－
由g'(x)>0，得0由g'(x)<0，得1
2
答案
所以函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，
当x＝时，函数g(x)取得最大值g＝e2，因此a≤e2，
所以实数a的取值范围是(－∞，e2].
1
2
答案
2.已知函数f(x)＝x3eax－1.
(1)讨论f(x)的单调性；
1
2
答案
f'(x)＝3x2eax＋ax3eax＝x2eax(ax＋3).
①当a＝0时，f'(x)≥0恒成立，所以f(x)在R上单调递增.
②当a<0时，令f'(x)<0，得x>－；
令f'(x)>0，得x<－
所以f(x)的单调递减区间为单调递增区间为.
③当a>0时，令f'(x)<0，得x<－；
令f'(x)>0，得x>－.
所以f(x)的单调递减区间为单调递增区间为.
1
2
答案
(2)若a＝2，不等式f(x)≥mx＋3ln x对x∈(0，＋∞)恒成立，求m的取值
范围.
1
2
答案
因为a＝2，所以f(x)≥mx＋3ln x对x∈(0，＋∞)恒成立等价于m≤对x∈(0，＋∞)恒成立.
方法一　设g(t)＝t－1－ln t(t>0)，
则g'(t)＝.
令g'(t)<0，得0令g'(t)>0，得t>1，
所以g(t)min＝g(1)＝0，
所以t－1－ln t≥0.
1
2
答案
取t＝x3e2x，则x3e2x－1－ln(x3e2x)≥0，
即x3e2x－3ln x－1≥2x，
所以≥2.
设h(x)＝x3e2x，
因为h(0)＝0<1，h(1)＝e2>1，
所以方程x3e2x＝1必有解，
所以当且仅当x3e2x＝1时，
函数y＝(x>0)取得最小值，且最小值为2，
1
2
答案
所以m≤2，即m的取值范围为(－∞，2].
方法二　(同构法)
＝≥＝2，
等号成立的充要条件是3ln x＋2x＝0，
令φ(x)＝3ln x＋2x，
由φ＝－3＋<0，
φ(1)＝2>0知，3ln x＋2x＝0必有解，
故m≤2，即m的取值范围为(－∞，2].

展开更多......

收起↑