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第03讲 4.2.2等差数列的前项和公式
课程标准 学习目标
①掌握等差数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等差数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项。 ②会利用等差数列性质简化求和运算，会利用等差数列前n项和的函数特征求最值。 ③能处理与等差数列相关的综合问题。 能掌握等差数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等差数列的相关量之间的关系，用函数的思想解决数列的最大（小）项、和的最大（小）值问题，会利用等差数列的性质灵活解决与之相关的问题
知识点01：等差数列的前项和公式
1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式
2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式
【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）已知数列均为等差数列．
(1)设，，求；
(2)设，，求；
(3)设，求．
【答案】(1)260
(2)21.7
(3)49
【详解】（1）依题意，．
（2），于是，从而.
（3）设公差为，则，，于是，
所以．
知识点02：等差数列前项和公式的函数特征
等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)．
知识点03：等差数列前项和性质
(1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为
(2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列
(3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则
(4)若等差数列的项数为,则
，。
(5)若等差数列的项数为,则，，，
【即学即练2】（2023春·云南曲靖·高二统考期末）等差数列的前项和为，若，，则 ．
【答案】15
【详解】设，由等差数列的性质可得，
又，则，解得．
故答案为：15
题型01等差数列前项和的基本量计算
【典例1】（2023秋·天津和平·高三天津市第二十一中学校考阶段练习）等差数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求n.
【答案】(1)，.
(2)11
【详解】（1）设公差为，则由题意可得，
又，
所以，；
（2）由（1）可知，
即，所以.
【典例2】（2023·全国·高二随堂练习）已知数列为等差数列，前n项和为，求解下列问题：
(1)若，，求；
(2)若，，求；
(3)若，，，求n．
【答案】(1)2
(2)1596
(3)11
【详解】（1）由题意知数列为等差数列，，，
设公差为d，故，
解得；
（2）数列为等差数列，，，
设公差为d，故，解得，
则；
（3）由题意知数列为等差数列，，，
设公差为d，则，解得，
由，得，
解得或（舍去），
故.
【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）一个物体第1s下落4.90m，以后每秒比前一秒多下落9.80m．
(1)如果它从山顶下落，经过5s到达地面，那么这山的高度是多少米？
(2)如果它从1960m的高空下落到地面，要经过多长时间？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知，物体每秒下落的高度构成等差数列，
设该等差数列为，前项和为，则，公差，
所以，
故这山的高度是.
（2）由（1）可得，，解得（负值舍去），
所以要经过落地.
【变式2】（2023·全国·高二课堂例题）已知数列是等差数列．
(1)若，，求；
(2)若，，求；
(3)若，，，求n．
【答案】(1)2700
(2)
(3)．
【详解】（1）因为，，根据公式，
可得．
（2）因为，，所以．根据公式，
可得．
（3）把，，代入，
得．
整理，得．
解得，或（舍去）．
所以．
题型02利用等差数列前项和公式判断
【典例1】（2023春·湖北十堰·高二校联考阶段练习）设数列的前项和为，点均在函数的图象上，则数列的通项公式 ．
【答案】
【详解】解：依题意得，即，
所以数列为等差数列，且，，
设其公差为，则，
所以．
故答案为：.
【典例2】（2023春·高二课时练习）已知一个数列的前项和．
(1)当时，求证：该数列是等差数列；
(2)若数列是等差数列，求满足条件．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）当时，，令，，
所以时，
，
所以，
此时，
所以，
所以，
可得数列是公差为的等差数列.
（2），
令，得，
所以时，
，
所以，
所以，
可得时，数列是公差为的等差数列，
若数列是等差数列，则，
所以．
【变式1】（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市渝高中学校校考期末）已知数列的前项和.
（1）求证：是等差数列；
【答案】（1）证明见解析；
【详解】（1）由题意得
①若，则，
②若，则，经检验满足上式.
故，
由可知，数列是首项为23，公差为的等差数列.
【变式2】（2023·高二课时练习）已知数列的前n项和
求数列的通项公式；
求证：数列是等差数列．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】解：当时，，
当时，，满足，
即数列的通项公式．
证明：，
当时，为常数，
则数列是等差数列．
题型03等差数列片段和性质
【典例1】（2023秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在等差数列中，，，成等差数列，即，
设，则，于是，解得，所以．
故选：A
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为等差数列的前项和为，则、、为等差数列，
其公差为，
因此，.
故答案为：.
【典例3】（2023·全国·高二专题练习）等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．10 B．20 C．30 D．15
【答案】A
【详解】由等差数列有成等差数列，设为d，
则，
故.
故选：A
【变式1】（2023秋·天津河东·高三天津市第四十五中学校考阶段练习）在等差数列中，已知，，则（ ）
A．90 B．40 C．50 D．60
【答案】D
【详解】因为为等差数列，所以成等差数列，
，，故，
.
故选：D
【变式2】（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由等差数列的性质可知，、、、成等差数列，
且该数列的公差为，则，
所以，，
因此，.
故选：D.
【变式3】（2023秋·上海闵行·高二校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，满足，，则 .
【答案】
【详解】因为是等差数列，所以，，成等差数列，
则，
因为，，所以，解得.
故答案为：.
题型04比值问题（含同角标和不同角标）
【典例1】（2023秋·天津武清·高三天津市武清区城关中学校考阶段练习）等差数列的前项和分别是与，且，则 .
【答案】/
【详解】由等差数列的前项和公式，得，
又由等差数列的性质，得，而，
所以.
故答案为：
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则 ．
【答案】
【详解】，
由于，
故答案为：
【典例3】（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）已知等差数列和的前项和为分别为和，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，
令，则，
所以，，
所以，
故选：B
【变式1】（2023春·辽宁阜新·高二校考期中）已知等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为，且，求 .
【答案】
【详解】因为等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为，且，
所以
，
故答案为：
【变式2】（2023春·湖北·高二统考期末）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由已知得，可设，，
则，，
即，
故选：.
【变式3】（2023·全国·高二专题练习）等差数列，的前项和分别是与，且，则 ； .
【答案】 / /
【详解】空1：由等差数列的前项和公式，可得，
又由等差数列的性质，可得，
因为，可得.
空2：设，
所以，
，所以.
故答案为：；.
题型05等差数列前项和的最值问题
【典例1】（2023春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）等差数列中，已知，前n项和为，且，则最小时n的值为（ ）
A．11 B．11或12 C．12 D．12或13
【答案】C
【详解】根据题意由可得，
整理可得.
所以，
由，可得；
由二次函数性质可知，当时，取最小时.
故选：C
【典例2】（2023春·辽宁铁岭·高二校联考期末）记等差数列的前项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求以及的最小值．
【答案】(1)；
(2)，的最小值为.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由，，得，
解得，于是，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
显然，当且仅当时取等号，
所以，的最小值为.
【典例3】（2023春·甘肃临夏·高二校考阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，.
(1)求等差数列的通项公式；
(2)求的最小值及对应的n值．
【答案】(1)；
(2)的最小值为，对应.
【详解】（1）等差数列中，，，则的公差，
所以等差数列的通项公式.
（2）由（1）知，等差数列单调递增，由，得，解得，
因此数列前15项均为负数，从第16项起均为正数，
所以当时，取得最小值.
【变式1】（多选）（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）设数列是公差为d的等差数列，是其前n项和，且，则（ ）
A． B． C．或为的最大值 D．
【答案】BCD
【详解】根据题意可知，
由可得，即，又，所以可得公差；
所以A错误，B正确；
易知是关于的一元二次函数，且二次函数图象的对称轴为直线，开口向下，
又因为为整数，所以当且时，是单调递增的，当且时，是单调递减的；
又和关于对称轴对称，所以可得，且为的最大值，即C正确；
根据二次函数性质可知，距离对称轴越近的值越大，易知，
即距离对称轴比距离对称轴远，所以可得，即D正确.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为.若，则的最大值为 .
【答案】
【详解】设等差数列的公差为，则，
所以，
对称轴为，开口向下，
所以当或时，最大，最大值为.
故答案为：
【变式3】（2023秋·山西大同·高三大同市第二中学校校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)78
【详解】（1）设等差数列的公差为，
∴，解得，
∴数列的通项公式为.
（2）由（1）知，.
所以.
由二次函数的性质知，对称轴方程为，开口向下，
所以，当取与最近的整数即时，最大值，最大值为.
题型06符合条件的最值问题
【典例1】（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．
C．当取得最大值时， D．
【答案】B
【详解】ABC选项，，
∴，
，
∴，
∴，且，B正确；
∴公差，等差数列是递减数列，A错误；
时，取得最大值，C错误；
D选项，，D错误.
故选：B．
【典例2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为有最小值，且，则使成立的正整数n的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．17 D．18
【答案】D
【详解】由题意可知：等差数列的前n项和为有最小值，则且，
所以数列是递增数列，可得是过原点的二次函数式，且开口向上，
因为，可得，则
又因为，可得，则，
所以使成立的正整数n的最小值为18.
故选：D.
【典例3】（多选）（2023秋·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）设等差数列的公差为d，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．
C． D．数列中最大项为第6项
【答案】BCD
【详解】对于选项A、C：因为，，
则，，
又因为，则，解得
所以等差数列是递减数列，故A错误，C正确；
对于选项B：因为，所以，故B正确；
对于选项D：因为等差数列是递减数列，且，，
则，所以数列中最大项为第6项，故D正确；
故选：BCD.
【变式1】（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）设等差数列{}的前n项和为，若，则当取得最大值时，＝（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【详解】在等差数列{}中，由，得，
则，又，
∴，，则当取得最大值时，．
故选：C
【变式2】（多选）（2023秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考阶段练习）设是公差为d的等差数列，是其前n项的和，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】，则，
所以，所以，，，
因为，则，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，是递增数列，
，，
所以中，只有最小，故D错误.
故选：AC．
【变式3】（多选）（2023秋·高二课时练习）设是等差数列，是其前n项和，且， ，则下列结论正确的是（ ）.
A． B．
C． D．与均为的最大值
【答案】BD
【详解】因为， ，
则，故B正确；
设等差数列的公差为，则，故A错误；
可知数列为递减数列，可得，
可得，
所以，故C错误；
因为为最后一项正数，根据加法的性质可知：为的最大值，
又因为，所以与均为的最大值，故D正确；
故选：BD.
题型07求数列的前项和问题
【典例1】（2023秋·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）若等差数列的首项，，记，则 ．
【答案】
【详解】因为，，则，
可得等差数列的前n项和，
令，解得，且，
当时，则；
当时，
；
综上所述：.
故答案为：.
【典例2】（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式
(2)若，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，
当时，可得，
当时，，适合上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由，可得，则，
令，可得，
当时，可得，
当时，可得
，
因为，所以，
所以.
【典例3】（2023秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考阶段练习）从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知等差数列的前n项和为，，且__________，求数列的前项和．
【答案】
【详解】若选条件①，
设等差数列的公差为，则，
.
当时，，当时，，
所以
；
若选条件②，
设等差数列的公差为，且，
则可化为，解得，
故，
当时，，当时，，
所以
；
若选条件③，
设等差数列的公差为，且，
则，，
当时，，当时，，
所以
.
【变式1】（2023秋·江苏南京·高二南京市第九中学校考阶段练习）在公差为的等差数列中，已知，且.
(1)求；
(2)若，求.
【答案】(1)当时，，
当时，；
(2)65
【详解】（1）由，，
，解得或，
当时，，
当时，；
（2）由， ，
所以数列前10项为正数，第11项为0，从第12项起为负数，
所以==.
【变式2】（2023秋·西藏林芝·高三校考阶段练习）设等差数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得：，.
（2）由（1）知：当时，；当时，；
当时，；
当时，；
.
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的前n项和．
【答案】
【详解】因为，
所以当时，，
，
当时，，.
当时，，
当时，
.
综上所述，
题型08等差数列奇数项偶数项和
【典例1】（2023秋·甘肃·高二校考阶段练习）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】设等差数列的公差为，则由条件可知：
数列的奇数项之和为，①
偶数项之和为，②
由②-①，得，所以，即该数列的公差为.
故选：D.
【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知等差数列共有项，若数列中奇数项的和为，偶数项的和为，，则公差的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，，
所以，，
，
所以，，.
故选：A.
【典例3】（2023·全国·高二随堂练习）已知等差数列中，前m（m为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且，求通项公式．
【答案】
【详解】∵等差数列中，前m（m为奇数）项的和为77，
∴，①
∵其中偶数项之和为33，由题意可得偶数项共有项，公差等于，
+×=33，②
∵，
∴，③
由①②③，解得，
故．
数列的通项公式为．
【变式1】（2023春·陕西宝鸡·高三校考阶段练习）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设等差数列的公差为，首项为，
则，所以，
因为，即，则，
等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得，
所以.
故选：B
【变式2】（2023春·高二课时练习）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（ ）．
A．30 B．29 C．28 D．27
【答案】B
【详解】奇数项共有项，其和为，
∴．
偶数项共有n项，其和为，
∴．
故选：B．
【变式3】（2023·高二课时练习）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【详解】解：设等差数列有奇数项，．公差为．
奇数项和为40，偶数项和为32，
，
，
，，
，即等差数列共项，且
故选：．
题型09数列求和（倒序相加法）
【典例1】（2023春·山东淄博·高二山东省淄博第一中学校考阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为，
且，
令,
又
，
两式相加得：，
解得，
故选：B
【典例2】（2023春·广东珠海·高二珠海市第一中学校考阶段练习）已知，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得 ．
【答案】2022
【详解】解：由，
令，
则，
两式相加得：，
∴．
故答案为：2022
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115
【答案】D
【详解】因为函数满足，
①，
②，
由①②可得，，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为.
故选：D.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，等差数列满足，则 ．
【答案】/
【详解】.
依题意是等差数列，
令，
，
结合等差数列的性质，两式相加得.
故答案为：.
题型10数列求和（裂项相消法）
【典例1】（2023秋·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）已知，若数列的前项和为，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为，
所以，
因此，
所以的取值范围为
故答案为：
【典例2】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为当时，，且，
若，则，解得，
若，则，
两式相减可得：，整理得，
即，可得；
可知不符合上式，符合上式，
所以.
（2）由（1）可得：，
当时，则；
当时，则；
可知符合上式，所以.
【典例3】（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）记递增的等差数列的前n项和为，已知，且．
(1)求和；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）设的公差为d（）．
因为，所以，
由得，解得，
所以，得，
所以，
．
（2）由（1）得，，
所以
．
【变式1】（2023秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）数列中，，，则（ ）
A．97 B．98 C．99 D．100
【答案】C
【详解】，
故，
解得.
故选：C
【变式2】（2023·河南·模拟预测）记为等差数列的前n项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设的公差为，因为，，
所以，解得
由等差数列通项公式可得．
即的通项公式为
（2）因为，
因此，
所以．
即数列的前n项和.
【变式3】（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，
所以，解得，
所以，
所以数列的通项公式为
（2）因为，
所以.
所以数列的前n项和.
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·江西九江·统考一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得，解得，
，
故选：C.
2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二校联考阶段练习）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由n，和d求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”则该问题中老人的长子的岁数为（ ）
A．35 B．32 C．29 D．26
【答案】A
【详解】根据题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，设长子的岁数为，
则，解得．
故选：A
3．（2023春·江西·高二统考期末）数列的前项和，则取最大值时的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【详解】对于函数对称轴为，开口向下，
所以当时函数取得最大值，
所以当时取得最大值.
故选：B
4．（2023·福建漳州·统考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A．66 B．72 C．132 D．144
【答案】A
【详解】，
故选：A
5．（2023春·辽宁大连·高二大连八中校考期中）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【详解】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，
，
，解得．
故选：C.
6．（2023秋·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【详解】由于
所以，
要使为整数，则为24的因数，由于，故可以为，故满足条件的正整数的个数为7个，
故选：B
7．（2023秋·江苏南京·高三南京外国语学校校考阶段练习）已知为等差数列，前n项和为，，公差，则数列的前10项和为（ ）
A．10 B．50 C．60 D．70
【答案】B
【详解】由题意可知，
所以单调递减，且有，
记数列的前10项和为，
故，
故选：B
8．（2023秋·山东潍坊·高三校考阶段练习）在数列中，，，则数列的前项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
，
.
故选：D.
二、多选题
9．（2023秋·江西南昌·高三校考阶段练习）公差为的等差数列，其前项和为，下列说法正确的有（ ）
A． B． C．中最大 D．
【答案】CD
【详解】由，得，
又，得，
，， ，
数列是递减数列，其前6项为正，从第7项起均为负数，因此前六项和最大，
，，，即，
故A，B错误；C，D正确.
故选：CD.
10．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考期末）已知为等差数列，前项和为，，公差d = 2 ，则（ ）
A．=
B．当n = 6或7时，取得最小值
C．数列的前10项和为50
D．当n≤2023时，与数列（m N）共有671项互为相反数．
【答案】AC
【详解】对于A，等差数列中，，公差，则，，故A正确；
对于B，由A的结论，，则，由d = 2当时，，，当时，，则当或6时，取得最大值，且其最大值为，B错误；
对于C,
,故C正确，
对于D，由，则，
则数列中与数列中的项互为相反数的项依次为：，，，，，
可以组成以为首项，为公差的等差数列，设该数列为，则，
若，解可得，即两个数列共有670项互为相反数，D错误．
故选：AC．
三、填空题
11．（2023秋·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考阶段练习）已知等差数列中，，当且仅当时，前项和取得最小值，则公差的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意可得，
即，解得，
即公差的取值范围是.
故答案为：.
12．（2023·全国·高三专题练习）数列的通项为，其前n项和为，若，则项数 ．
【答案】99
【详解】依题意，，
因此，
而，则，解得，
所以项数.
故答案为：99
四、解答题
13．（2023秋·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知是等差数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式与前项和；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得.
所以数列的通项公式为，
数列的前项和.
（2）由得，所以当时，，；
由得，所以当时，，.
所以，当时，；
当时，
.
所以，.
14．（2023秋·四川凉山·高二宁南中学校考阶段练习）已知数列是等差数列，且．
(1)求的通项公式；
(2)若数列的前项和为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)-105
【详解】（1）设的公差为，则，解得，
所以；
（2）由（1）知，，得．
当时，有最小值-105．
B能力提升
1．（2023秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意知是等差数列的前n项和中的最小值，必有，公差，
若，此时，，是等差数列的前n项和中的最小值，
此时，即，则；
若，，此时是等差数列的前n项和中的最小值，
此时，，即，
则，
综上可得：的取值范围是，
故选:B．
2．（2023秋·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列是等差数列，则称数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列，其前六项分别为，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【详解】数列前六项分别为，
依题知，
叠加可得：，
得，
当时，，满足，
所以，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
又，所以等号取不了，所以最小值在取得，
当时，，
所以最小值为.
故选：C
3．（2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，依次构成的数列的第项，则的值为 .

【答案】
【详解】根据题意：，，，,
利用叠加法：，
由，.
所以，
则.
故答案为：
4．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，
所以，解得，
所以，
所以数列的通项公式为
（2）因为，
所以.
所以数列的前n项和.
5．（2023秋·湖南益阳·高三统考阶段练习）已知各项均为正数的数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若，求满足条件的最小正整数.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以，又，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以；
（2）因为，
所以，
因为，所以，所以，
所以或（舍去），所以满足条件的最小正整数为.
C综合素养
1．（2023秋·山东滨州·高三校联考阶段练习）设数列的前项和为，，且，若存在，使得成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．8
【答案】D
【详解】由已知，所以，
所以数列是常数列.
又，所以，即，
所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，故，
由存在，使得成立可知，
存在，使得成立，即，
设，则，从而.
记（），
由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，，
所以的最小值是8.
故选：D.
2．（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（ ）
A．30 B． C． D．41
【答案】B
【详解】被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排列为：，
该数列即为，
被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排列为：，
该数列即为，
数列的第一个公共项为，
由题意被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列所构成的数列也是等差数列，
其首项即为数列的第一个公共项，其公差为数列的公差的最小公倍数，
所以数列的通项公式为，
由等差数列前项公式得，
所以，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
3．（2023春·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）已知数列：1，，，3，3，3，，，，，，，即当（）时，，记（）．对于，定义集合是的整数倍，，且，则集合中元素的个数为
【答案】1024
【详解】当为偶数，则
当为奇数，则
综上，，
当时，
则，
所以
，
由题意，则，故为奇数，
又，所以，
所以集合中元素的个数．
故答案为：1024．
4．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第一中学校联考阶段练习）等差数列中，，的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：对任意正数k，均存在使得成立．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设数列的公差为d，于是，
因为，所以，
所以，
解得，则.
（2）由（1）可知，
所以，，
考虑，即，即，
由于，
则时，，且，
结合上述不等式得，整理得，
任取整数，则，原不等式成立，
于是对于任意正数k，均存在使得成立．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第03讲 4.2.2等差数列的前项和公式
课程标准 学习目标
①掌握等差数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等差数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项。 ②会利用等差数列性质简化求和运算，会利用等差数列前n项和的函数特征求最值。 ③能处理与等差数列相关的综合问题。 能掌握等差数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等差数列的相关量之间的关系，用函数的思想解决数列的最大（小）项、和的最大（小）值问题，会利用等差数列的性质灵活解决与之相关的问题
知识点01：等差数列的前项和公式
1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式
2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式
【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）已知数列均为等差数列．
(1)设，，求；
(2)设，，求；
(3)设，求．
【答案】(1)260
(2)21.7
(3)49
【详解】（1）依题意，．
（2），于是，从而.
（3）设公差为，则，，于是，
所以．
知识点02：等差数列前项和公式的函数特征
等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)．
知识点03：等差数列前项和性质
(1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为
(2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列
(3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则
(4)若等差数列的项数为,则
，。
(5)若等差数列的项数为,则，，，
【即学即练2】（2023春·云南曲靖·高二统考期末）等差数列的前项和为，若，，则 ．
【答案】15
【详解】设，由等差数列的性质可得，
又，则，解得．
故答案为：15
题型01等差数列前项和的基本量计算
【典例1】（2023秋·天津和平·高三天津市第二十一中学校考阶段练习）等差数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求n.
【典例2】（2023·全国·高二随堂练习）已知数列为等差数列，前n项和为，求解下列问题：
(1)若，，求；
(2)若，，求；
(3)若，，，求n．
【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）一个物体第1s下落4.90m，以后每秒比前一秒多下落9.80m．
(1)如果它从山顶下落，经过5s到达地面，那么这山的高度是多少米？
(2)如果它从1960m的高空下落到地面，要经过多长时间？
【变式2】（2023·全国·高二课堂例题）已知数列是等差数列．
(1)若，，求；
(2)若，，求；
(3)若，，，求n．
题型02利用等差数列前项和公式判断
【典例1】（2023春·湖北十堰·高二校联考阶段练习）设数列的前项和为，点均在函数的图象上，则数列的通项公式 ．
【典例2】（2023春·高二课时练习）已知一个数列的前项和．
(1)当时，求证：该数列是等差数列；
(2)若数列是等差数列，求满足条件．
【变式1】（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市渝高中学校校考期末）已知数列的前项和.
（1）求证：是等差数列；
【变式2】（2023·高二课时练习）已知数列的前n项和
求数列的通项公式；
求证：数列是等差数列．
题型03等差数列片段和性质
【典例1】（2023秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·全国·高二专题练习）等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．10 B．20 C．30 D．15
【变式1】（2023秋·天津河东·高三天津市第四十五中学校考阶段练习）在等差数列中，已知，，则（ ）
A．90 B．40 C．50 D．60
【变式2】（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023秋·上海闵行·高二校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，满足，，则 .
题型04比值问题（含同角标和不同角标）
【典例1】（2023秋·天津武清·高三天津市武清区城关中学校考阶段练习）等差数列的前项和分别是与，且，则 .
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则 ．
【典例3】（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）已知等差数列和的前项和为分别为和，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023春·辽宁阜新·高二校考期中）已知等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为，且，求 .
【变式2】（2023春·湖北·高二统考期末）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023·全国·高二专题练习）等差数列，的前项和分别是与，且，则 ； .
题型05等差数列前项和的最值问题
【典例1】（2023春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）等差数列中，已知，前n项和为，且，则最小时n的值为（ ）
A．11 B．11或12 C．12 D．12或13
【典例2】（2023春·辽宁铁岭·高二校联考期末）记等差数列的前项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求以及的最小值．
【典例3】（2023春·甘肃临夏·高二校考阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，.
(1)求等差数列的通项公式；
(2)求的最小值及对应的n值．
【变式1】（多选）（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）设数列是公差为d的等差数列，是其前n项和，且，则（ ）
A． B． C．或为的最大值 D．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为.若，则的最大值为 .
【变式3】（2023秋·山西大同·高三大同市第二中学校校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最大值.
题型06符合条件的最值问题
【典例1】（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．
C．当取得最大值时， D．
【典例2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为有最小值，且，则使成立的正整数n的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．17 D．18
【典例3】（多选）（2023秋·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）设等差数列的公差为d，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．
C． D．数列中最大项为第6项
【变式1】（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）设等差数列{}的前n项和为，若，则当取得最大值时，＝（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【变式2】（多选）（2023秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考阶段练习）设是公差为d的等差数列，是其前n项的和，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（多选）（2023秋·高二课时练习）设是等差数列，是其前n项和，且， ，则下列结论正确的是（ ）.
A． B．
C． D．与均为的最大值
题型07求数列的前项和问题
【典例1】（2023秋·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）若等差数列的首项，，记，则 ．
【典例2】（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式
(2)若，求的前项和.
【典例3】（2023秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考阶段练习）从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知等差数列的前n项和为，，且__________，求数列的前项和．
【变式1】（2023秋·江苏南京·高二南京市第九中学校考阶段练习）在公差为的等差数列中，已知，且.
(1)求；
(2)若，求.
【变式2】（2023秋·西藏林芝·高三校考阶段练习）设等差数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的前n项和．
题型08等差数列奇数项偶数项和
【典例1】（2023秋·甘肃·高二校考阶段练习）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（ ）
A． B．2 C． D．
【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知等差数列共有项，若数列中奇数项的和为，偶数项的和为，，则公差的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·全国·高二随堂练习）已知等差数列中，前m（m为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且，求通项公式．
【变式1】（2023春·陕西宝鸡·高三校考阶段练习）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·高二课时练习）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（ ）．
A．30 B．29 C．28 D．27
【变式3】（2023·高二课时练习）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
题型09数列求和（倒序相加法）
【典例1】（2023春·山东淄博·高二山东省淄博第一中学校考阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·广东珠海·高二珠海市第一中学校考阶段练习）已知，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得 ．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，等差数列满足，则 ．
题型10数列求和（裂项相消法）
【典例1】（2023秋·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）已知，若数列的前项和为，则的取值范围为 .
【典例2】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，求的前项和.
【典例3】（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）记递增的等差数列的前n项和为，已知，且．
(1)求和；
(2)设，求数列的前n项和．
【变式1】（2023秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）数列中，，，则（ ）
A．97 B．98 C．99 D．100
【变式2】（2023·河南·模拟预测）记为等差数列的前n项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【变式3】（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·江西九江·统考一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二校联考阶段练习）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由n，和d求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”则该问题中老人的长子的岁数为（ ）
A．35 B．32 C．29 D．26
3．（2023春·江西·高二统考期末）数列的前项和，则取最大值时的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
4．（2023·福建漳州·统考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A．66 B．72 C．132 D．144
5．（2023春·辽宁大连·高二大连八中校考期中）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．0 B． C． D．
6．（2023秋·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（2023秋·江苏南京·高三南京外国语学校校考阶段练习）已知为等差数列，前n项和为，，公差，则数列的前10项和为（ ）
A．10 B．50 C．60 D．70
8．（2023秋·山东潍坊·高三校考阶段练习）在数列中，，，则数列的前项和（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023秋·江西南昌·高三校考阶段练习）公差为的等差数列，其前项和为，下列说法正确的有（ ）
A． B． C．中最大 D．
10．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考期末）已知为等差数列，前项和为，，公差d = 2 ，则（ ）
A．=
B．当n = 6或7时，取得最小值
C．数列的前10项和为50
D．当n≤2023时，与数列（m N）共有671项互为相反数．
三、填空题
11．（2023秋·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考阶段练习）已知等差数列中，，当且仅当时，前项和取得最小值，则公差的取值范围是 .
12．（2023·全国·高三专题练习）数列的通项为，其前n项和为，若，则项数 ．
四、解答题
13．（2023秋·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知是等差数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式与前项和；
(2)若，求数列的前项和.
14．（2023秋·四川凉山·高二宁南中学校考阶段练习）已知数列是等差数列，且．
(1)求的通项公式；
(2)若数列的前项和为，求的最小值．
B能力提升
1．（2023秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列是等差数列，则称数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列，其前六项分别为，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
3．（2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，依次构成的数列的第项，则的值为 .

4．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
5．（2023秋·湖南益阳·高三统考阶段练习）已知各项均为正数的数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若，求满足条件的最小正整数.
C综合素养
1．（2023秋·山东滨州·高三校联考阶段练习）设数列的前项和为，，且，若存在，使得成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．8
2．（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（ ）
A．30 B． C． D．41
3．（2023春·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）已知数列：1，，，3，3，3，，，，，，，即当（）时，，记（）．对于，定义集合是的整数倍，，且，则集合中元素的个数为
4．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第一中学校联考阶段练习）等差数列中，，的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：对任意正数k，均存在使得成立．
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