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第五章 一元一次方程
5.3 实际问题与一元一次方程
第1课时 产品配套问题与工程问题
1.能够根据实际问题中的数量关系列方程解决问题，从而培养学生数学建模能力，分析问题、解决问题的能力.
2.通过使学生经历列一元一次方程解决实际问题的过程，让学生逐步建立方程思想.培养学生的建模意识.
3.通过结合实际问题，创造活跃有趣的情境，提高学生的学习兴趣.让学生在活动中获得成功的体验，培养学生的探索精神，树立学好数学的信心.
学习重点：
从实际问题中抽象出方程模型，列一元一次方程解应用题.
学习难点：
将实际问题抽象为方程的过程中，如何找等量关系．
前面我们学习了一元一次方程的解法，本节课，我们将
讨论一元一次方程的应用. 生活中，有很多需要进行配套的
问题，如课桌和凳子、螺钉和螺母、大小齿轮等，大家能举
出生活中配套问题的例子吗？
问题：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺丝和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
思考：（1）每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个表示什么意思？
（2）刚好配套，说明螺钉和螺母个数一样多吗？
（3）为了使每天的产品刚好配套，应使生产的螺母数量恰好为螺钉数量的_______.
学生活动一 【一起探究】
分析与整理：每天生产的螺母数量是螺钉数量的2倍时，它们刚好配套.
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺钉 x 1200
螺母 2000
×
＝
1200 x
（22－x）
×
＝
2000(22－x)
等量关系：螺母总量=螺钉总量×2
方程： 2000(22－x)＝2×1200x
解：设应安排x名工人生产螺钉，(22－x)名工人生产螺母.
依题意，得 2000(22－x)＝2×1200x .
解方程，得 x＝10.
所以22－x＝12.
答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.
如果设x名工人生产螺母，怎样列方程？
解：设应安排x名工人生产螺母，(22－x)名工人生产螺钉.
依题意得：2×1200(22－x)＝2000x .
提示：解决“产品配套” 问题的基本等量关系是加工（或生产）的各种零配件的总数量比等于一套组合件中各种零件的数量比.
上题中“刚好配套”的意思是
使得螺钉数目与螺母数目的比恰好为1∶2.
学生活动一 【一起归纳】
问题：机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？
学生活动二 【一起探究】
思考：①若安排x名工人加工大齿轮，则有 名工人加工小齿轮.
②x名工人每天可加工_____个大齿轮，加工小齿轮的工人每天可加工 个小齿轮.
③按题中的配套方法，你是否可找出其中的等量关系呢？
（85-x)
16x
10（85-x)
每天加工的大齿轮个数与每天加工的小齿轮个数的比恰为2∶3.
即：3×每天加工的大齿轮个数=2×每天加工的小齿轮个数
解：设安排x名工人加工大齿轮，则有（85-x）名工人加工
小齿轮.根据题意，得：
3×16x=2×10（85-x)
解这个方程得：x=25
答：应安排25名工人加工大齿轮，60名工人加工小齿轮.
思考：①两人合作32小时完成对吗？为什么？
②甲每小时完成全部工作的______；乙每小时完成全部工作的_______；
甲x小时完成全部工作的_______；乙x小时完成全部工作的_______.
问题：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时
完成，那么两人合作多少小时完成？
不对
学生活动三 【一起探究】
解：设两人合作x小时完成这件工作，由题意，得20
＋ ＝1，解得x＝7.5.
答：两人合作7.5小时可以完成这件工作.
工程问题中，常把工作总量看作单位“1”
问题：整理一批图书，由一个人做要40 h 完成.现计划由一部分人先做4 h，然后增加 2人与他们一起做8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应该安排多少人工作？
这类问题中常常把总工作量看作1，并利用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑问题.
学生活动四 【一起探究】
分析与整理：
人均效率 人数 时间 工作量
前一部分工作 x 4
后一部分工作 x＋2 8
×
＝
×
×
×
＝
工作量之和等于总工作量1
解：设安排 x 人先做4 h.
依题意得： ＋ ＝1
解方程，得：4x＋8(x＋2)＝40，
4x＋8x＋16＝40，
12x＝24，
x＝2.
答：应先安排 2人做4 h.
思考：在前面“配套问题”和“工程问题”的解决中，同学们都看到我们用一元一次方程的知识解决了这些实际问题，那么，在利用一元一次方程解决实际问题方面，你获得了哪些活动的经验？有什么共同点？
学生活动五 【一起探究】
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
实际问题
一元一次方程
设未知数，列方程
解方程
一元一次方程的解（x = m）
实际问题的答案
检 验
学生活动五 【一起归纳】
这一过程一般包括以下几个步骤：
1. 审：审题，分析题目中的数量关系；
2. 设：设适当的未知数，并表示未知量；
3. 列：根据题目中的数量关系列方程；
4. 解：解这个方程；
5. 答：检验并答话.
1．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的
产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人
生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和
螺母配套，则下面所列方程中正确的是( )
A．22x＝16(27－x) B．16x＝22(27－x)
C．2×16x＝22(27－x) D．2×22x＝16(27－x)
D
2．3月12日植树节，七年级170名学生参加义务植树活动，
如果男生平均一天能挖树坑3个，女生平均一天能种树7
棵，正好使每个树坑种上一棵树，问该年级的男生、女
生各多少人？设该年级的男生有x人，那么女生有(170－x)
人，则下列方程正确的是( )
A．7x＝170－3x B．3x＝7(170－x)
C．3x＝7×170－x D．7x＝3(170－3x)
B
3.将一批工业最新动态信息输入管理储存网络,甲单独做要6小时完成,乙单独做要4小时完成,现甲先做30分钟后,然后甲、乙一起做,则甲、乙一起做还需多少小时完成工作
解：设甲、乙一起做x小时后完成工作，依题意，
得×＋（＋） x＝1，解得x＝ .
答：甲、乙一起做还需小时完成工作.
1.产品配套问题——“刚好配套”的意思.
2.工程问题:工作量=人均效率×人数×时间,各阶段工作量的和=总工作量.
3.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤:设、列、解、检、答等步骤.
实际问题
一元一次方程
设未知数，列方程
解方程
一元一次方程的解（x = m）
实际问题的答案
检 验
1.某瓷器厂共有120名工人,每名工人一天能做200只茶杯或50只茶壶,如果8只茶杯和1只茶壶为一套,则安排 人生产茶壶可使每天生产的瓷器配套.
40
2．玩具加工车间要赶在六一儿童节前加工450个毛绒玩具，决定由甲、乙两班工人来完成，已知甲班工人每天做20个玩具，乙班工人的速度是甲班工人的1.5倍，问甲、乙两班工人需要做多少天才能完成任务？
解：设甲、乙两班工人需要做x天完成任务，由题意，
得20x＋1.5×20x＝450，解得x＝9.
答：甲、乙两班工人需要做9天才能完成任务

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