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有理数的运算--- 新定义型及规律探究题型梳理 专题练
2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）七年级上册
一、有理数运算中的程序问题
1．按如图所示的程序计算，若开始输入的数为0，则最后输出的结果为 ．
2．如图所示的是一个简单的数值运算程序．当输入的值为4时，输出的值为 ．
3．按照如图所示的一个数值转换程序，若输入的值是，则输出的结果是 ．
4．小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ．
二、古代中的有理数运算问题
5．如图是中国古代“洛书“的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上的三个数字，其和皆相等，则右下角代表的数是 ．
6．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数（天），请根据图2，计算孩子自出生后的天数是 天．
7．第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．则十进制数2025换算成八进制数是 ．（注：）
8．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳记数”的方法来记录自己读书的天数，如图1是他从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天，按同样的方法，图2表示的天数是 ．
三、有理数运算中的新定义型问题
9．对于有理数，，定义运算：，如．
(1)计算的值；
(2)计算的值．
10．定义一种新运算“△”：，例如：．计算：
(1)；
(2)．
11．对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：．
(1)求的值；
(2)求的值．
12．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．
例如：，．
若，则称有理数，为“隔一数对”．
例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”．
(1)下列各组数是“隔一数对”的是_____（请填序号）．
①，；
②，．
(2)计算：
(3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．
计算：．
四、有理数运算中的规律探究问题
13．观察下列等式：，，，
把以上三个等式两边分别相加得：
这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用：
计算：的值．
14．【观察思考】观察下列等式
，
将以上三个等式两边分别相加得：
．
【探索规律】
（1）猜想并写出：______．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
______；
【迁移运用】
（3）．
15．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．
例如：，，，．
【初步体验】
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不需计算出结果）：
______；
______；
______；
【拓广应用】
（2）计算：
______；
．
16．在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算．
小米设计一种新运算“”，即对任意有理数a，b，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算．
例如，；（2）．
【探究一：两个数“绝佳”运算】
（1）填空：①_________；②_________；
③__________；④__________；
通过上面的计算结果，请你归纳出“绝佳”运算是否满足交换律？若不满足，请举出反例（举一个反例即可）；
（2）①若，则_________；②若，则_________；
【探究二：三个数“绝佳”运算】
（3）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律．
请你帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律．
能力练
1．我们定义一种新运算：．
(1)求的值；
(2)求的值．
2．现定义一种新的运算，规定：，其中a，b均为有理数，例如：．求：
(1)的值；
(2)的值．
3．根据下图所示的程序回答问题：
(1)当小明输入和这两个数时，输出的结果是多少？
(2)当小明输入和这两个数时，输出的结果是4，求被墨水污染的数．
4．按图中程序计算，并根据要求求出输出的结果．
(1)当输入的数为3时，直接写出输出结果为______；
(2)设输入的数记作，且，求出输出的结果．
5．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请直接写出第4个等式：______________________；
(2)利用规律计算：的值；
(3)直接写出的值．
答案
一、有理数运算中的程序问题
1． 解∶开始输入的数为0，
解：返回继续运算；
输出结果；
故答案为∶
解：当时，
，
故答案为：．
解：
，
故答案为：．
解：如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，
则；
；
；
故答案为：2或7或37．
5.解：最左边的一列三个数字和为，
∴由最下面一行数字可得右下角代表的数是，
故答案为：．
6． 解：由题意得，图2，计算孩子自出生后的天数，
故答案为：123．
解：∵，
∴十进制数2025换算成八进制数是3751．
故答案为：3751．
解：图2表示的天数是：
故答案为：．
三、有理数运算中的新定义型问题
9． （1）解：依题意得：
；
（2）解：
．
10． （1）解：
；
（2）解：
．
（1）解：
．
所以的值为49．
（2）解：
；
．
所以的值为109．
（1）①∵，
∴，
①是“隔一数对”
②∵，
∴
∴②不是“隔一数对”
故答案为：①
（2）原式
（3）原式
四、有理数运算中的规律探究问题
13． 解：
…
14． （1）解：∵，
∴．
故答案为：．
（2）解：∵
；
（3）解：
．
解：（）；
；
；
故答案为：；；；
（）解：原式
，
故答案为：；
解：原式
．
（1）∵，
∴①；②；
③；④；
由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律；
故答案为：，，，；满足；
（2）∵，
∴，
∴或，
∴或；
∵，
∴，，
∴，
∴或，
解得或；
故答案为：①4或；②1或；
（3）∵，
∴，，
∴；
∵，
∴
∴等式不成立，
∴“绝佳”运算不满足结合律．
能力练
（1）解：原式
（2）解：原式
（1）解：
；
（2）解：
．
（1）根据程序可知
．
为正数，所以输出结果为．
（2）设被墨水污染的数为．
输出结果为，则菱形框中的结果为．
当菱形框中的结果为时，可知，则．
当菱形框中的结果为时，可知，则．
综上所述，或，即被墨水污染的数为或．
（1）解：
∴输出
故答案为：．
（2）解：∵，
∴，
当时，
继续计算：
∴输出
当时，
∴输出
综上所述，，输出结果为或．
（1）解：根据题意可得：
第4个等式为：，
故答案为：；
（2）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
．
（3）解：
．
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