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(共38张PPT)
3.1 排列与组合
3.1.2 排列与排列数
第1课时 排列与排列数
探究点一 排列的概念
探究点二 用树形图解决排列问题
探究点三 排列数公式的应用
◆课前预习
◆课中探究
◆课堂评价
◆备课素材
【学习目标】
1.通过实例，理解排列的概念；
2.能利用计数原理推导排列数公式；
3.能用排列数公式进行简单的计算和证明.
知识点一 排列及其特征
排列:一般地,从___个不同对象中，任取 个对象,按照____________排
成一列,称为从个不同对象中取出个对象的一个排列.特别地， 时的排列
（即取出所有对象的排列）称为全排列.
注意点：互异性、有序性.
一定的顺序
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1），，与，， 是同一个排列.( )
×
（2）从4个不同对象中任意取出3个对象，只要所取得的对象相同，得到的就是
相同的排列.( )
×
（3）在一个排列中，若交换两个对象的位置，则该排列不发生变化.( )
×
知识点二 排列数与排列数公式
排列数的定义 从___个不同对象中取出___个对象的所有排列的个数,
称为从个不同对象中取出 个对象的排列数,用符号
____表示
排列数的表示
排列数 公式 乘积式 ______________________
阶乘式
阶乘 ______________________ _____
规定 ___， ___
性质 ______
1
1
【诊断分析】
1.“排列”和“排列数”有什么区别
解:“排列”是指“从个不同对象中任取 个对象按照一定的顺序排成一列”,不是
数;“排列数”是指“从个不同对象中取出 个对象的所有排列的个数”,是一个数.
2.排列数的两个公式“”与“ ”，什么时候
用“连乘积形式”，什么时候用“阶乘形式”？
解:在直接进行具体计算时，选用“连乘积形式”较好；当对含有字母的排列数的
式子进行变形、解方程或证明时，采用“阶乘形式”较好.
探究点一 排列的概念
例1 从集合 中任取两个元素，
B
①相加可得多少个不同的和？
②相除可得多少个不同的商？
③作为椭圆中的，，可以得到多少个焦点在 轴上的
椭圆方程？
④作为双曲线中的，，可以得到多少个焦点在 轴上
的双曲线方程？
A.①②③④ B.②④ C.②③ D.①④
上面四个问题属于排列问题的是( )
[解析] 加法满足交换律，不是排列问题；
除法不满足交换律， 由题易知②是排列问题；
若方程表示焦点在 轴上的椭圆，则必有，故③
不是排列问题；
在双曲线 中不管还是，方程均表示焦点在轴
上的双曲线，且当时与 时表示不同的双曲线，故④是排列问题．故选B.
变式 判断下列问题是不是排列问题,并说明理由.
（1）从甲、乙、丙、丁四名学生中选出两名参加活动,其中一名学生参加活动 ,
另一名学生参加活动 ;
解:是排列问题.因为选出的两名学生参加的是不同的活动,即相当于把选出的学
生按顺序安排到两项不同的活动中，故是排列问题.
（2）从甲、乙、丙、丁四名学生中选出两名参加一项活动;
解:不是排列问题.因为选出的两名学生参加的是同一项活动,没有顺序之分，故
不是排列问题.
（3）从所有互质的三位数中选出两个数求其和;
解:不是排列问题.因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求，故不是排列问题.
（4）从所有互质的三位数中选出两个数求其商;
解:是排列问题.因为选出的两个三位数之商会随着分子、分母的顺序不同而发生
变化,且这些三位数是互质的,不存在选出的数不同而商的结果相同的可能,故是
排列问题.
（5）高二（1）班有四个空位,安排从外校转来的三名学生坐这四个空位中的三个.
解:是排列问题.可看作从四个空位中选出三个空位,分别安排给三名学生，有顺
序之分，故是排列问题.
［素养小结］
判定一个具体问题为排列问题，一般从两个方面着手：
（1）研究的对象一定是不同元素，若完全相同则一定不是排列问题；
（2）一定要有序，即顺序不同排列的结果不同，排列的过程有两个，首先是
“取”，然后是“排”，不要将“取”的过程误认为是排列.
探究点二 用树形图解决排列问题
例2（1） 甲、乙、丙三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经
过五次传球后，球回到甲手中，则不同的传球方式共有( )
B
A.5种 B.10种 C.8种 D.16种
[解析] 根据题意，画出树形图如图，注意第四次传球后球不能在甲的手中.分析
可得，共有10种不同的传球方式.故选B.
（2）从，，，，五个元素中每次取出三个元素，可组成____个以
为首的不同排列，它们分别为___________________________________________
____________________.
12
，，，，，，，，，，，
[解析] 画出树形图如图所示.
由树形图知可组成12个以为首的不同排列，它们分别为，， ，
，，，，，，，， .
变式 ，，，四名学生排成一排照相，要求自左向右 不排在第一
位， 不排在第四位，则共有____种不同的排列方法.
[解析] 因为不排在第一位，所以可从，， 中任选一人排在第一位，而此
时兼顾分析 的排法，画出树形图如图所示.由图知，符合题意的所有排列方法
有，，，，，，，， ，
，，，， ，共14种.
［素养小结］
在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元
素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素作为分类标准进行分类，在每一类
中余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依
次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，最后按树形图写出所有排列.
探究点三 排列数公式的应用
例3（1） [2023·新疆和田高二期末]已知，则 ( )
A
A.6 B.13 C.6或13 D.12
[解析] 由题意得，即，解得 或
.因为所以且，故 .故选A.
（2）计算： ___.
1
[解析] .
（3）求证： .
证明：因为 ，
，
，
所以 .
变式（1） （多选题）[2024·辽宁盘锦辽东湾高中高二月考] 下列等式中正确
的是( )
ACD
A. B.
C. D.
[解析] 对于A， ，故A正确；
对于B，, ，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D，，故D正确.故选 .
（2）不等式 的解集为_____________.
[解析] 原不等式可化为，即 ，即
，解得或.又， ，所以
，，所以原不等式的解集为 .
［素养小结］
（1）排列数公式的乘积的形式适用于个体计算和当 较小时的含排列数的方程
和不等式问题.
（2）排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等
问题,具体应用时注意阶乘的性质,提取公因式,可以简化计算.
（3）排列数中若有参数，要注意参数的取值范围.
1.从1,2,3,4这四个数字中选取三个数字可以组成无重复数字的三位数的个数为
( )
B
A.12 B.24 C.30 D.64
[解析] 从1,2,3,4这四个数字中选取三个数字可以组成无重复数字的三位数的个
数为 .故选B.
2.从2，3，5，7这四个数中任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们
的结果，在这四种运算中，可以看作排列问题的有( )
B
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
[解析] 因为加法与乘法满足交换律，所以选出的两个数做加法和乘法时，结果
与两个数的位置无关，故不是排列问题，而减法和除法与两个数的位置有关，
故是排列问题.故选B.
3.[2024·辽宁营口高中高二月考]
可表示为( )
B
A. B. C. D.
[解析] .故选B.
4.北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，有____种机票.（用数字作答）
12
[解析] 列出每一个起点和终点的情况，如图所示.
故符合题意的机票种类有北京 广州，北京 南京，北京 天津，广州 南
京，广州 天津，广州 北京，南京 天津，南京 北京，南京 广州，天
津 北京，天津 广州，天津 南京，共12种.
5.计算： ___．
0
[解析] 因为，所以 ，所以
.
1.排列的定义包含两个过程：
（1）先从个不同对象中取出 个不同的对象；
（2）再把这 个不同的对象按照一定的顺序排成一列.
2.排列的定义需要注意以下几点：
（1）对象不能重复；
（2）“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键，
有顺序的才是排列；
（3）相同排列的条件是当且仅当这两个排列中的对象完全相同，并且对象的排
列顺序也完全相同；
（4）时的排列叫全排列， 时的排列叫选排列；
（5）“一个排列”是指从个不同对象中，任取 个按照一定的顺序排成一列，
是解决问题的一种“方法”而不是数.
3.排列数公式的特点：
（1）从开始递减，直到，共 个连续正整数的积；
（2）,都是正整数，且 ；
（3）符号 既表示一个结果，又表示一种运算.
1.排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数
的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数（因式）
的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用.
2.应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然
后计算，这样往往会减少运算量.
3.排列数公式适合已知， 的排列数计算，
而 常用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等.
例1 解不等式： .
解：由题得 ，化简得
，即 ，
解得．因为，且 ,
所以不等式的解集为， ．
例2 证明 ，并利用这一结果化简：
解：证明如下：
由可得 !，
则 .
（1） ；
.
（2） ．
解： .3.1.2　排列与排列数
第1课时　排列与排列数
【课前预习】
知识点一
n　一定的顺序
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)×
知识点二
n　m　　n(n-1)…(n-m+1)　n×(n-1)×…×2×1
n!　1　1　
诊断分析
1.解:“排列”是指“从n个不同对象中任取m个对象按照一定的顺序排成一列”,不是数;“排列数”是指“从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数”,是一个数.
2.解:在直接进行具体计算时,选用“连乘积形式”较好;当对含有字母的排列数的式子进行变形、解方程或证明时,采用“阶乘形式”较好.
【课中探究】
探究点一
例1　B　[解析] ∵加法满足交换律,∴①不是排列问题;∵除法不满足交换律,∴由题易知②是排列问题;若方程+=1(a>0,b>0)表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,故③不是排列问题;在双曲线-=1(a>0,b>0)中不管a>b还是ab时与a变式　解:(1)是排列问题.因为选出的两名学生参加的是不同的活动,即相当于把选出的学生按顺序安排到两项不同的活动中,故是排列问题.
(2)不是排列问题.因为选出的两名学生参加的是同一项活动,没有顺序之分,故不是排列问题.
(3)不是排列问题.因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求,故不是排列问题.
(4)是排列问题.因为选出的两个三位数之商会随着分子、分母的顺序不同而发生变化,且这些三位数是互质的,不存在选出的数不同而商的结果相同的可能,故是排列问题.
(5)是排列问题.可看作从四个空位中选出三个空位,分别安排给三名学生,有顺序之分,故是排列问题.
探究点二
例2　(1)B　(2)12　bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed　[解析] (1)根据题意,画出树形图如图,注意第四次传球后球不能在甲的手中.分析可得,共有10种不同的传球方式.故选B.
(2)画出树形图如图所示.
由树形图知可组成12个以b为首的不同排列,它们分别为bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed.
变式　14　[解析] 因为A不排在第一位,所以可从B,C,D中任选一人排在第一位,而此时兼顾分析B的排法,画出树形图如图所示.由图知,符合题意的所有排列方法有BADC,BACD,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CBAD,CBDA,CDBA,DABC,DBAC,DBCA,DCBA,共14种.
探究点三
例3　(1)A　(2)1　[解析] (1)由题意得3×=4×,即3=4×,解得x=13或x=6.因为所以x≤8且x∈N*,故x=6.故选A.
(2)===1.
(3)证明:因为=(n+1)×n×(n-1)×…×3×2×1,
=(n+1)×n×(n-1)×…×3×2,
(n+1)=(n+1)×n×(n-1)×…×3×2×1,
所以==(n+1).
变式　(1)ACD　(2){2,3,4,5,6,7}　　[解析] (1)对于A,=(n-2)(n-1)n=(n-2),故A正确;对于B,=,=,故B错误;对于C,n=n·(n-1)!=n!=,故C正确;对于D,=·==,故D正确.故选ACD.
(2)原不等式可化为>,即x2-21x+104>0,即(x-8)(x-13)>0,解得x<8或x>13.又2≤x≤9,x∈N*,所以2≤x<8,x∈N*,所以原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}.
【课堂评价】
1.B　[解析] 从1,2,3,4这四个数字中选取三个数字可以组成无重复数字的三位数的个数为=4×3×2=24.故选B.
2.B　[解析] 因为加法与乘法满足交换律,所以选出的两个数做加法和乘法时,结果与两个数的位置无关,故不是排列问题,而减法和除法与两个数的位置有关,故是排列问题.故选B.
3.B　[解析] (x-2)(x-3)(x-4)…(x-15)====.故选B.
4.12　[解析] 列出每一个起点和终点的情况,如图所示.
故符合题意的机票种类有北京→广州,北京→南京,北京→天津,广州→南京,广州→天津,广州→北京,南京→天津,南京→北京,南京→广州,天津→北京,天津→广州,天津→南京,共12种.
5.0　[解析] 因为7=,所以71+7=72=9×8×=,所以-71-7=0.3.1.2　排列与排列数
第1课时　排列与排列数
【学习目标】
1.通过实例,理解排列的概念;
2.能利用计数原理推导排列数公式;
3.能用排列数公式进行简单的计算和证明.
◆ 知识点一　排列及其特征
排列:一般地,从　　　　个不同对象中,任取m(m≤n)个对象,按照　　　　　　排成一列,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列.特别地,m=n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列.
注意点:互异性、有序性.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)a,b,c与b,a,c是同一个排列. (　 )
(2)从4个不同对象中任意取出3个对象,只要所取得的对象相同,得到的就是相同的排列. (　 )
(3)在一个排列中,若交换两个对象的位置,则该排列不发生变化. (　 )
◆ 知识点二　排列数与排列数公式
排列数的定义 从　　　　个不同对象中取出　　　　个对象的所有排列的个数,称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数,用符号　　　　表示
排列数的表示 (n∈N*,m∈N,m≤n)
排列数 公式 乘积式 =　　　　　　　
阶乘式 =
阶乘 =　　　　　　　=　　　　
规定 0!=　　　　,=　　　　
性质 +m=　　　
【诊断分析】 1.“排列”和“排列数”有什么区别
2.排列数的两个公式“=n(n-1)…(n-m+1)”与“=”,什么时候用“连乘积形式”,什么时候用“阶乘形式”
◆ 探究点一　排列的概念
例1 从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素,
①相加可得多少个不同的和
②相除可得多少个不同的商
③作为椭圆+=1(a>0,b>0)中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程
④作为双曲线-=1(a>0,b>0)中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程
上面四个问题属于排列问题的是 (　 )
A.①②③④ B.②④
C.②③ D.①④
变式 判断下列问题是不是排列问题,并说明理由.
(1)从甲、乙、丙、丁四名学生中选出两名参加活动,其中一名学生参加活动A,另一名学生参加活动B;
(2)从甲、乙、丙、丁四名学生中选出两名参加一项活动;
(3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和;
(4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商;
(5)高二(1)班有四个空位,安排从外校转来的三名学生坐这四个空位中的三个.
[素养小结]
判定一个具体问题为排列问题,一般从两个方面着手:
(1)研究的对象一定是不同元素,若完全相同则一定不是排列问题;
(2)一定要有序,即顺序不同排列的结果不同,排列的过程有两个,首先是“取”,然后是“排”,不要将“取”的过程误认为是排列.
◆ 探究点二　用树形图解决排列问题
例2 (1)甲、乙、丙三人互相传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过五次传球后,球回到甲手中,则不同的传球方式共有 (　 )
A.5种 B.10种
C.8种 D.16种
(2)从a,b,c,d,e五个元素中每次取出三个元素,可组成　　　　个以b为首的不同排列,它们分别为　.
变式 A,B,C,D四名学生排成一排照相,要求自左向右A不排在第一位,B不排在第四位,则共有　　　　种不同的排列方法.
[素养小结]
在排列个数不多的情况下,树形图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素作为分类标准进行分类,在每一类中余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素,再按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能不重不漏,最后按树形图写出所有排列.
◆ 探究点三　排列数公式的应用
例3 (1)[2023·新疆和田高二期末] 已知3=4,则x= (　 )
A.6 B.13
C.6或13 D.12
(2)计算:=　　　　.
(3)求证:==(n+1) .
变式 (1)(多选题)[2024·辽宁盘锦辽东湾高中高二月考] 下列等式中正确的是 (　 )
A.=(n-2)
B.=
C.n=
D.=
(2)不等式>6的解集为　　　　　　.
[素养小结]
(1)排列数公式的乘积的形式适用于个体计算和当m较小时的含排列数的方程和不等式问题.
(2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题,具体应用时注意阶乘的性质,提取公因式,可以简化计算.
(3)排列数中若有参数,要注意参数的取值范围.
1.从1,2,3,4这四个数字中选取三个数字可以组成无重复数字的三位数的个数为 (　 )
A.12 B.24 C.30 D.64
2.从2,3,5,7这四个数中任选两个数做加、减、乘、除运算,分别计算它们的结果,在这四种运算中,可以看作排列问题的有 (　 )
A.1种 B.2种
C.3种 D.4种
3.[2024·辽宁营口高中高二月考] (x-2)(x-3)(x-4)…(x-15)(x∈N*,x>15)可表示为 (　 )
A. B. C. D.
4.北京、广州、南京、天津4个城市相互通航,有　　　　种机票.(用数字作答)
5.计算:-71-7=　　　　. 3.1.2　排列与排列数
第1课时　排列与排列数
1.B　[解析] 对于A,从10名学生中选取2名去参加知识竞赛,选出的2人并未排序,所以不是排列问题,故A错误;对于B,10个人互相通信一次,选出2人要分出寄信人和收信人,是排列问题,故B正确;对于C,平面上有5个点,任意3点不共线,从中任选2个点即可确定1条直线,这2个点不分顺序,所以不是排列问题,故C错误;对于D,从1,2,3,4四个数字中,任选两个数字相加即得1个结果,这2个数字不分顺序,所以不是排列问题,故D错误.故选B.
2.C　[解析] 由-n<7,得(n-1)(n-2)-n<7,解得-13.A　[解析] 由已知可得解得n=3,所以-=-=720-24=696.故选A.
4.B　[解析] 由-5n<5,得(n+1)n-5n<5,即n2-4n-5<0,解得-15.B　[解析] 方法一(列举法):根据0的位置分类,可分为三类:第一类,0在个位上,有2110,1210,1120,共3个;第二类,0在十位上,有2101,1201,1102,共3个;第三类,0在百位上,有2011,1021,1012,共3个.故由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为3+3+3=9.故选B.
方法二(树形图法):画出树形图如图,可知满足条件的四位数共有9个.故选B.
6.D　[解析] 由x>3,得
解得x>3,x∈N,故不等式x>3的解集是{x|x>3,x∈N}.故选D.
7.A　[解析] 记其余的3位员工分别为a,b,c,由题意可知,这3位员工只能安排在周三、周四、周五在办公室办公,所有的安排方法为(ab,ac,bc),(ab,bc,ac),(ac,ab,bc),(ac,bc,ab),(bc,ac,ab),(bc,ab,ac),共6种.故选A.
8.ACD　[解析] 由题意,根据双阶乘的定义可得209!!×208!!=(209×207×…×3×1)×(208×206×…×4×2)=209!,故A正确;208!!=208×206×…×4×2=2104×104!,故B错误;易知208!!=208×206×…×10×8×6×4×2能被10整除,则个位数字为0,故C正确;易知209!!=209×207×…×5×3×1能被5整除,则个位数字为5或0,又209!!是奇数,所以个位数字为5,故D正确.故选ACD.
9.ACD　[解析] 对于A,===n,故A正确;对于B,=,m=m·=,故B错误;对于C,=·==,故C正确;对于D,+m=+===,故D正确.故选ACD.
10.14　16　[解析] 由题意可得,-=58,即(n+2)(n+1)-n(n-1)=58,解得n=14.故原有车站14个,现有车站16个.
11.8　[解析] 由题意可知解得2≤x≤8.原不等式可化为<6×,化简得 x2-19x+84<0,解得712.18　[解析] 从1,2,3,4,5这五个数中每次取两个不同的数作为A,B的值,有=20(种)结果,当A=1,B=2时和当A=2,B=4时,两直线重合,当A=2,B=1时和当A=4,B=2时,两直线重合,所以所得不同直线的条数是20-2=18.[易错点] 本题易错点是重复的直线未剔除.
13.解:(1)5名篮球队员排成一排共有=5×4×3×2×1=120(种)排法.
(2)若甲必须站在排头,则有=4×3×2×1=24(种)排法.
(3)因为甲不能站在排头,也不能站在排尾,所以甲有=3(种)排法,其余4人进行全排列,有=4×3×2×1=24(种)排法,故甲不能站在排头,也不能站在排尾,有24×3=72(种)不同的排法.
14.解:(1)==1.
(2)∵=10,∴2n×(2n-1)×(2n-2)=10×n×(n-1)×(n-2),即4n-2=5n-10,解得n=8.
15.264　[解析] 上午的安排方式有=24(种).我们用A,B,C,D,E依次代表五个测试项目,若上午测试E的学生下午测试D,则上午测试A的学生下午只能测试B,C,此时安排方式共有2种;若上午测试E的学生下午测试A,B,C之一,则上午测试A,B,C的学生中的任何一个下午都可以测试D,此时其余两名学生的测试方式就确定了,则安排方式共有3×3=9(种).故下午的安排方式共有2+9=11(种).根据分步乘法计数原理可知,不同的安排方式共有24×11=264(种).
16.证明:+m+m(m-1)=+m·+m(m-1)·=++=+=
+====.3.1.2　排列与排列数
第1课时　排列与排列数
一、选择题
1.[2023·江苏扬州高二期末] 下列问题是排列问题的是 (　 )
A.从10名学生中选取2名去参加知识竞赛
B.10个人互相通信一次
C.平面上有5个点,任意3点不共线,这5个点最多可确定直线的条数
D.从1,2,3,4四个数字中,任选两个相加,其结果的种数
2.不等式-n<7的解集为 (　 )
A.{n|-1B.{1,2,3,4}
C.{3,4}
D.{4}
3.-(n∈N*)的值为 (　 )
A.696 B.720
C.24 D.3
4.不等式-5n<5的解集为 (　 )
A.{n|-1C.{3,4} D.{4}
5.四张卡片上分别标有数字2,0,1,1,则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为 (　 )
A.6 B.9
C.12 D.24
6.不等式x>3的解集是 (　 )
A.{x|x>3}
B.{x|x>4,x∈N}
C.{x|3D.{x|x>3,x∈N}
7.在应对某突发公共卫生事件时,某公司研究决定采用“办公室+远程协作”的办公方案,结合管理实际情况,对于符合办公室工作条件的员工,计划工作日内每天安排2位员工在办公室办公(每位员工每周仅在办公室办公2天).已知该公司有5位员工符合条件,其中甲、乙2人必须安排在周一、周二两天同时在办公室办公,其余3位员工随机安排,则不同的安排方法共有 (　 )
A.6种 B.8种
C.9种 D.12种
8.(多选题)对任意正整数n,定义n的双阶乘n!!:当n为偶数时,n!!=n×(n-2)×(n-4)×…×6×4×2;当n为奇数时,n!!=n×(n-2)×(n-4)×…×5×3×1.则下列四个说法中正确的是(　 )
A.209!!×208!!=209!
B.208!!=2×104!
C.208!!的个位数字为0
D.209!!的个位数字为5
9.(多选题)[2023·广东佛山高二期末] 下列等式中,成立的有 (　 )
A.=n
B.=m
C.=
D.+m=
二、填空题
10.[2024·辽宁盘锦辽东湾高中高二月考] 一条铁路线原有n个车站,为了适应客运需要,新增加了2个车站,客运车票增加了58种,则原有车站　　　　个,现有车站　　　　个.
11.若<6,则x=　　　　.
★12.[2023·上海嘉定二中高二月考] 设直线的方程是Ax+By=0,从1,2,3,4,5这五个数中每次取两个不同的数作为A,B的值,则所得不同直线的条数是　　　　.
三、解答题
13.5名篮球队员甲、乙、丙、丁、戊排成一排.
(1)共有多少种不同的排法
(2)若甲必须站在排头,有多少种不同的排法
(3)若甲不能站在排头,也不能站在排尾,有多少种不同的排法
14.(1)计算:.
(2)若=10,求n的值.
15.[2024·辽宁锦州高二期末] 有4名学生在同一天的上、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项目的测试,每名学生上、下午各测试一个项目,且不重复.若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试一人.则不同的安排方式共有　　　　种(用数字作答).
16.求证:+m+m(m-1)=(n≥m>2且n,m∈N).

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