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(共39张PPT)
3.1 排列与组合
3.1.2 排列与排列数
第2课时 排列数的应用
探究点一 无限制条件的排列问题
探究点二 排队问题
探究点三 排数问题
探究点四 排列的综合应用
◆课前预习
◆课中探究
◆课堂评价
◆备课素材
【学习目标】
1.进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解题方法；
2.能应用排列知识解决简单的实际问题.
知识点 排列数的应用问题
1.解简单的排列数的应用问题首先必须认真分析题意,看能否把问题归结为排列
问题,即是否满足排列定义中的三个条件（备取对象互不相同;取出对象没有重复;
按一定顺序排成一列）,特别是有顺序.
2.解排列应用题时,要学会常见条件的应用,根据条件从对象和位置两个方面入手,
正确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理.分类时,要注意各类之间不重复、
不遗漏.分步时,要注意依次做完各个步骤后,事情才能完成.当不符合条件的情况
较少时,也可以采用间接法.
3.记住一些常见条件的处理方式,对提高解题能力有很大的帮助.
探究点一 无限制条件的排列问题
例1（1） [2023·山西晋中高二期末]小明所在的高校开设了篮球、足球、太极
拳等12门体育选修课，每名学生需在大一和大二年级分别选择不重复的一门选
修课学习，则小明的体育选修课不同的选择有( )
C
A.66种 B.96种 C.132种 D.144种
[解析] 小明的体育选修课不同的选择有 （种）.故选C.
（2）[2023·江苏扬州高二期末]8名学生排成两排，每排4人，则不同的排法种数
为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 8名学生排成两排，每排4人，等价于8名学生排成一排，故共有 种排
法.故选D.
变式（1） [2023·武汉高二期中]为贯彻文明校园，某中学有5名学生志愿者参
加文明监督岗工作，若每周值3天班，每班1人，每人每周最多值1天班，则不同
的排班种数为( )
C
A.12 B.45 C.60 D.90
[解析] 5名志愿者参加文明监督岗工作，每周值3天班，每班1人，每人每周最多
值1天班，则不同的排班种数为 .故选C.
（2）[2023·河北唐山高二期中]一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只
记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字
（两两不同），则不同的拨号方法的种数为( )
A
A.24 B.20 C.18 D.12
[解析] 因为后四位数字两两不同，且都大于5，所以只能是6,7,8,9四个数字的不
同排列，故有 （种）拨号方法.故选A.
［素养小结］
没有限制条件的排列问题关键在于顺序而不是位置，比如站排问题，无论多少
排，都满足全排列.分类加法计数原理和分步乘法计数原理贯穿于所有的排列问
题中，具体问题中要能够准确应用.
探究点二 排队问题
例2 有7名学生，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数.
（1）选5人排成一排；
解：从7人中选5人全排列，排法有 （种）.
（2）全体站成一排，女生互不相邻；
解：先排男生，有种排法，再在男生之间及两端的4个空位中排女生，有
种排法，故排法共有 （种）.
（3）全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；
解：先排甲，有5种排法，其余6人有种排法，故排法共有
（种）.
（4）全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；
解：方法一：分两类：第一类，甲站在最右边，有 种排法；第二类，甲不站
在最右边，甲可从除去两端后剩下的5个位置中任选1个，有5种排法，而乙可从
除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个位置中任选1个，有5种排法，其余人
全排列，有种排法，故排法共有 （种）.
方法二：7名学生全排列，有种排法，其中甲站在最左边有 种排法，乙站
在最右边有种排法，甲站在最左边且乙站在最右边有 种排法，故排法共有
（种）.
（5）男生甲、乙、丙三人从左往右依次站好，女生顺序不定；
解：7名学生站成一排，有种排法，其中3名男生的排法有 种，由于男生顺
序已定，女生顺序不定，故排法共有 （种）.
（6）站成三排，前排2名学生，中间排3名学生，后排2名学生，其中甲站在中
间排的中间位置；
解：把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看成剩余6人的全排列，故排法共
有 （种）.
（7）7名学生坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻.
解：将甲、乙看成一个整体，相当于6名学生坐圆桌吃饭，有 种排法，甲、
乙两人可交换位置，故排法共有 （种）.
变式（1） [2023·成都树德中学高二月考],,,,五人站成一排拍照，,
不相邻，则不同的排列方式共有( )
C
A.24种 B.48种 C.72种 D.96种
[解析] 先排A,D,三人，有种排法，三人排好后有四个空，用插空法有 种
排法，所以不同的排列方式共有 （种）.故选C.
（2）[2023·贵阳一中高二月考]高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、
丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或
“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有( )
B
A.24种 B.40种 C.60种 D.84种
[解析] 五个元素全排列的排列数为 ，由于要求甲、乙、丙在排列中顺序为
“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲” 2种排法，所以满足条件的排法有
（种）.故选B.
［素养小结］
（1）对于特殊限制条件的排列问题,要记住其特殊的解决方法,如捆绑法、插空
法、除序法等.
（2）限制条件分析时有位置分析法、对象分析法,先特殊（对象或位置）后一
般,有多个条件时,先肯定（在某位置）后否定（不在某位置）,两条件有影响时,
可根据影响先分类再分步进行求解,对于分类过多的问题可以采用间接法.
拓展（1） 某学校筹备元旦晚会节目单时，准备在前五个节目里排三个歌唱节
目，一个小品节目以及一个相声节目，若三个歌唱节目最多有两个相邻，则不
同的排法总数为( )
C
A.75 B.80 C.84 D.96
[解析] 三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目全排列的排列数为 ，
其中三个歌唱节目都相邻的排法数为 ，故满足条件的排法总数为
.故选C.
（2）某同学有7本不同的书，其中语文书2本、英语书2本、数学书3本.现在该
同学把这7本书放到书架上排成一排，要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3
本数学书中任意2本不相邻，则不同的排法种数为( )
C
A.12 B.24 C.48 D.720
[解析] 先将2本语文书看成一个整体，2本英语书看成一个整体，然后排成一排，
有种不同的排法，再将3本数学书插到这2个整体形成的3个空隙中，有 种
不同的排法，再排2本语文书，有种不同的排法，最后排2本英语书，有 种
不同的排法.根据分步乘法计数原理知，共有 （种）不同的排法.
故选C.
探究点三 排数问题
例3 [2023·山西晋中高二期末] 用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少
个无重复数字的：
（1）六位奇数？
解：先排个位，有（种）排法，再排十万位有 （种）排法，最后
排其他位有 （种）排法.
综上，无重复数字的六位奇数有 （个）.
（2）个位数字不是5的六位数？
解：当个位数字是0时，有 （个）；
当个位数字不是0时，有 （个）.
综上，无重复数字的个位数字不是5的六位数有 （个）.
（3）比400 000大的六位数？
解：要比400 000大，十万位必须是4或5，其余位数全排列即可，故无重复数字
的比400 000大的六位数有 （个）.
变式 用0，1，2，3，4组成没有重复数字的四位偶数，其中比1000大的共有
( )
B
A.56个 B.60个 C.66个 D.72个
[解析] 当末位数是0时，满足条件的四位偶数有 （个）；当末位数不是0
时，满足条件的四位偶数有 （个）.故满足条件的四位偶数共有
（个）.故选B.
［素养小结］
解数字排列问题常见的解题方法：
（1）“两优先排法”：特殊元素优先排列；特殊位置优先填充.如“0”不排“首位”.
（2）“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原
理进行求解.要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不
重不漏.
（3）“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数.
（4）“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好.
探究点四 排列的综合应用
例4 某次训练活动中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺
序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务， 必须相邻，则这
六项任务的不同安排方案共有( )
D
A.240种 B.188种 C.156种 D.120种
[解析] 可以分为三类：第一类，,排在前三位，共有 （种）安排
方案；第二类，,排在后三位，共有 （种）安排方案；第三
类，,排在第三和第四位，共有 （种）安排方案.根据分类加法计
数原理知，这六项任务的不同安排方案共有 （种）.故选D.
变式 [2024·辽宁丹东高二期末] 某中学进行数学竞赛考试，，， ，
，共5名学生参加比赛，决出第一名到第五名的名次（没有并列名次） 和
向教练询问比赛结果，教练对说：“你和都没有得到第一名.”对 说：“你不
是最后一名.”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有( )
A
A.54种 B.72种 C.96种 D.120种
[解析] 根据题意可知A和B都没有得到第一名，且B不是最后一名，分两种情
况： 是最后一名，则B可以为第二、三、四名，即B有3种情况，剩下的三人
安排在其他三个名次，有（种）情况，此时有 （种）排列方
式；
不是最后一名，A，B需要排在第二、三、四名，有 （种）情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有（种）情况，此时有 （种）
排列方式.
综上，5人的名次排列方式共有 （种）.故选A.
［素养小结］
实际问题中,既要能观察出是排列问题,又要能搞清哪些是特殊对象,还要根据问
题进行合理分类、分步,选择合适的解法.因此需做一定量的排列应用题,逐渐掌
握解决问题的基本思路.
1.[2023·河南驻马店高二期末]，，，，五人站成一排，如果， 必
须相邻，那么排法种数为( )
C
A.24 B.120 C.48 D.60
[解析] 将A，B看成一个整体，则A，B的排列方法有 种，然后将A，B的整体
与其他三个人一共4个元素进行全排列，有 种，根据分步乘法计数原理可知，
排法种数为 .故选C.
2.[2023·重庆一中高二月考]现有4男3女共7个人排成一排照相，其中三个女生不
全相邻的排法种数为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 7个人全排列减去3个女生全部相邻的排法种数为 .故选B.
3.[2023·浙江长兴中学高二期中]某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、
乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需一名志愿者，每人至多在一个地点服
务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有( )
A
A.18种 B.24种 C.32种 D.64种
[解析] 若安排的人中没有甲，安排方法有 （种）；若安排的人中有甲，
则先安排甲，然后再选两人来安排，则安排的方法有 （种）.综上，
不同的安排方法共有 （种）.故选A.
4.甲、乙、丙、丁4名学生站成一排参加文艺汇演，若甲、乙不能同时站在两端，
则不同的排列方式共有( )
D
A.4种 B.8种 C.16种 D.20种
[解析] 将四人全排列，共有 （种）不同的排法，若甲、乙同时站在两端，
此时有 （种）不同的排法.若甲、乙不能同时站在两端，则不同的排列
方式共有 （种）.故选D.
5.身高互不相同的7名运动员站成一排，其中甲、乙、丙3人自左向右从高到矮
排列的不同排法共有_____种.（用数字作答）
840
[解析] 先在7个位置上排甲、乙、丙之外的4人，有 种不同的排法，留下3个
空位排甲、乙、丙，因为甲、乙、丙3人自左向右从高到矮排列，所以他们的位
置是固定的，即符合要求的不同排法共有 （种）.
1.解排列数的应用问题的基本思路如下:
2.排列问题常见的解题方法如下：
（1）两优先排法：特殊数字优先排列，特殊位置优先填充，如“0”不排在首位；
（2）分类讨论法：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理
进行计算，要注意，分类标准必须恰当，分类过程要做到不重不漏；
（3）排除法：全排列数减去不符合条件的排列数；
（4）位置分析法：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好.
3.有限制条件的排列问题常见的类型及主要解法：
（1）某些对象必须排列在或不能排列在某些位置，常使用主元法；
（2）要求某些对象相邻，常使用捆绑法；
（3）要求某些对象不相邻，常使用插空法；
（4）限制几个对象在排列中必须保持一定的相对顺序，常使用缩倍法；
（5）含有至多（至少）字样或直接分类比较复杂的，常使用间接法（或称排除
法）.
1.特殊对象、特殊位置优先安排策略.有特殊对象或特殊位置的排列问题,通常是
先排特殊对象或特殊位置,称为优先处理特殊对象（位置）法（优先法）.
例1 高三某班上午有4节课,现从6名教师中安排4人各上1节课,若甲、乙2名教师
不上第一节课,丙必须上最后一节课,则不同的安排方案种数为( )
A
A.36 B.24 C.18 D.12
[解析] 第一节课从除甲、乙、丙以外的3名教师中任选1名上课,有3种方法;从除
上第一节课的教师和丙教师外的4名教师中,任选2名分别上第二、三节课,有 种
方法.根据分步乘法计数原理得不同的安排方案种数为 .故选A.
2.相邻问题捆绑处理的策略.某些对象要求必须相邻时,可以先将这些对象看作一
个对象,与其他对象排列后,再考虑相邻对象的内部排列,这种方法称为“捆绑法”.
例2 将,,,, 五种不同的文件放入编号依次为1,2,3,4,5,6,7的七个抽屉内,每
个抽屉至多放一种文件,若文件，必须放入相邻的抽屉内,文件， 也必须
放入相邻的抽屉内,则所有不同的放法有( )
D
A.192种 B.144种 C.288种 D.240种
[解析] 本题为相邻排列问题,可先排相邻的文件,再作为一个整体与其他文件排列,
则有 （种）放法.故选D.
3.不相邻问题插空处理的策略.某些对象不相邻排列时,可以先排其他对象,再将这
些不相邻对象插入空位,这种方法称为“插空法”.
例3 [2023·山东德州高二期末] 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任意两人不
相邻的坐法种数为( )
D
A.14 B.120 C.72 D.24
[解析] 根据题意，先排3个空位，形成4个空隙，从4个空隙中选出3个空隙，让3
人就座，共有 （种）不同的坐法.故选D.
4.综合问题求解策略.特殊对象、相邻问题、不相邻问题的综合性问题，关键是
能够准确应用特殊优先、捆绑法和插空法进行求解.
例4 [2023·成都高二期末]寒冬已至，大雪纷飞，峨眉山顶银装素裹.5位学生相
约一起爬山观景，其中有3位女生、2位男生，他们排队前进，为了照顾大家安
全，2位男生不能相邻，且女生甲不能排在最后一个，则不同的排法种数为 ( )
A
A.60 B.36 C.30 D.72
[解析] 若1位男生在最后，有（种）情况，3位女生全排列有 （种）
情况，最后将剩余的1位男生插入3位女生所形成的4个空中，且不在女生最后，
有3种情况，则共有 （种）排法.
若男生不在最后，则最后的位置有2种情况，把剩余女生全排列，有 （种）
情况，把2位男生插入2位女生所形成的3个空中，有（种）情况，则共有
（种）排法.综上所述，共有 （种）排法.故选A.第2课时　排列数的应用
【课中探究】
探究点一
例1　(1)C　(2)D　[解析] (1)小明的体育选修课不同的选择有=132(种).故选C.
(2)8名学生排成两排,每排4人,等价于8名学生排成一排,故共有种排法.故选D.
变式　(1)C　(2)A　[解析] (1)5名志愿者参加文明监督岗工作,每周值3天班,每班1人,每人每周最多值1天班,则不同的排班种数为=5×4×3=60.故选C.
(2)因为后四位数字两两不同,且都大于5,所以只能是6,7,8,9四个数字的不同排列,故有=24(种)拨号方法.故选A.
探究点二
例2　解:(1)从7人中选5人全排列,排法有=2520(种).
(2)先排男生,有种排法,再在男生之间及两端的4个空位中排女生,有种排法,故排法共有=144(种).
(3)先排甲,有5种排法,其余6人有种排法,故排法共有5×=3600(种).
(4)方法一:分两类:第一类,甲站在最右边,有种排法;第二类,甲不站在最右边,甲可从除去两端后剩下的5个位置中任选1个,有5种排法,而乙可从除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个位置中任选1个,有5种排法,其余人全排列,有种排法,故排法共有+5×5×=3720(种).
方法二:7名学生全排列,有种排法,其中甲站在最左边有种排法,乙站在最右边有种排法,甲站在最左边且乙站在最右边有种排法,故排法共有-2+=3720(种).
(5)7名学生站成一排,有种排法,其中3名男生的排法有种,由于男生顺序已定,女生顺序不定,故排法共有=840(种).
(6)把甲放在中间排的中间位置,则问题可以看成剩余6人的全排列,故排法共有=720(种).
(7)将甲、乙看成一个整体,相当于6名学生坐圆桌吃饭,有种排法,甲、乙两人可交换位置,故排法共有=240(种).
变式　(1)C　(2)B　[解析] (1)先排A,D,E三人,有种排法,三人排好后有四个空,用插空法有种排法,所以不同的排列方式共有=6×12=72(种).故选C.
(2)五个元素全排列的排列数为,由于要求甲、乙、丙在排列中顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲” 2种排法,所以满足条件的排法有×2=40(种).故选B.
拓展　(1)C　(2)C　[解析] (1)三个歌唱节目,一个小品节目以及一个相声节目全排列的排列数为,其中三个歌唱节目都相邻的排法数为,故满足条件的排法总数为-=120-36=84.故选C.
(2)先将2本语文书看成一个整体,2本英语书看成一个整体,然后排成一排,有种不同的排法,再将3本数学书插到这2个整体形成的3个空隙中,有种不同的排法,再排2本语文书,有种不同的排法,最后排2本英语书,有种不同的排法.根据分步乘法计数原理知,共有=48(种)不同的排法.故选C.
探究点三
例3　解:(1)先排个位,有=3(种)排法,再排十万位有=4(种)排法,最后排其他位有=24(种)排法.
综上,无重复数字的六位奇数有3×4×24=288(个).
(2)当个位数字是0时,有=120(个);
当个位数字不是0时,有=384(个).
综上,无重复数字的个位数字不是5的六位数有120+384=504(个).
(3)要比400 000大,十万位必须是4或5,其余位数全排列即可,故无重复数字的比400 000大的六位数有2=2×120=240(个).
变式　B　[解析] 当末位数是0时,满足条件的四位偶数有=24(个);当末位数不是0时,满足条件的四位偶数有2=36(个).故满足条件的四位偶数共有24+36=60(个).故选B.
探究点四
例4　D　[解析] 可以分为三类:第一类,E,F排在前三位,共有=24(种)安排方案;第二类,E,F排在后三位,共有=72(种)安排方案;第三类,E,F排在第三和第四位,共有=24(种)安排方案.根据分类加法计数原理知,这六项任务的不同安排方案共有24+72+24=120(种).故选D.
变式　A　[解析] 根据题意可知A和B都没有得到第一名,且B不是最后一名,分两种情况:①A是最后一名,则B可以为第二、三、四名,即B有3种情况,剩下的三人安排在其他三个名次,有=6(种)情况,此时有3×6=18(种)排列方式;②A不是最后一名,A,B需要排在第二、三、四名,有=6(种)情况,剩下的三人安排在其他三个名次,有=6(种)情况,此时有6×6=36(种)排列方式.综上,5人的名次排列方式共有18+36=54(种).故选A.
【课堂评价】
1.C　[解析] 将A,B看成一个整体,则A,B的排列方法有种,然后将A,B的整体与其他三个人一共4个元素进行全排列,有种,根据分步乘法计数原理可知,排法种数为=48.故选C.
2.B　[解析] 7个人全排列减去3个女生全部相邻的排法种数为-.故选B.
3.A　[解析] 若安排的人中没有甲,安排方法有=6(种);若安排的人中有甲,则先安排甲,然后再选两人来安排,则安排的方法有×=12(种).综上,不同的安排方法共有6+12=18(种).故选A.
4.D　[解析] 将四人全排列,共有=24(种)不同的排法,若甲、乙同时站在两端,此时有=4(种)不同的排法.若甲、乙不能同时站在两端,则不同的排列方式共有24-4=20(种).故选D.
5.840　[解析] 先在7个位置上排甲、乙、丙之外的4人,有种不同的排法,留下3个空位排甲、乙、丙,因为甲、乙、丙3人自左向右从高到矮排列,所以他们的位置是固定的,即符合要求的不同排法共有=840(种).第2课时　排列数的应用
【学习目标】
1.进一步理解排列的概念,掌握一些排列问题的常用解题方法;
2.能应用排列知识解决简单的实际问题.
◆ 知识点　排列数的应用问题
1.解简单的排列数的应用问题首先必须认真分析题意,看能否把问题归结为排列问题,即是否满足排列定义中的三个条件(备取对象互不相同;取出对象没有重复;按一定顺序排成一列),特别是有顺序.
2.解排列应用题时,要学会常见条件的应用,根据条件从对象和位置两个方面入手,正确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理.分类时,要注意各类之间不重复、不遗漏.分步时,要注意依次做完各个步骤后,事情才能完成.当不符合条件的情况较少时,也可以采用间接法.
3.记住一些常见条件的处理方式,对提高解题能力有很大的帮助.
◆ 探究点一　无限制条件的排列问题
例1 (1)[2023·山西晋中高二期末] 小明所在的高校开设了篮球、足球、太极拳等12门体育选修课,每名学生需在大一和大二年级分别选择不重复的一门选修课学习,则小明的体育选修课不同的选择有 (　 )
A.66种 B.96种
C.132种 D.144种
(2)[2023·江苏扬州高二期末] 8名学生排成两排,每排4人,则不同的排法种数为 (　 )
A.+ B.
C. D.
变式 (1)[2023·武汉高二期中] 为贯彻文明校园,某中学有5名学生志愿者参加文明监督岗工作,若每周值3天班,每班1人,每人每周最多值1天班,则不同的排班种数为(　 )
A.12 B.45
C.60 D.90
(2)[2023·河北唐山高二期中] 一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后四位数字(两两不同),则不同的拨号方法的种数为 (　 )
A.24 B.20
C.18 D.12
[素养小结]
没有限制条件的排列问题关键在于顺序而不是位置,比如站排问题,无论多少排,都满足全排列.分类加法计数原理和分步乘法计数原理贯穿于所有的排列问题中,具体问题中要能够准确应用.
◆ 探究点二　排队问题
例2 有7名学生,其中3名男生、4名女生,求在下列不同条件下的排法种数.
(1)选5人排成一排;
(2)全体站成一排,女生互不相邻;
(3)全体站成一排,其中甲不站在最左边,也不站在最右边;
(4)全体站成一排,其中甲不站在最左边,乙不站在最右边;
(5)男生甲、乙、丙三人从左往右依次站好,女生顺序不定;
(6)站成三排,前排2名学生,中间排3名学生,后排2名学生,其中甲站在中间排的中间位置;
(7)7名学生坐圆桌吃饭,其中甲、乙相邻.
变式 (1)[2023·成都树德中学高二月考] A,B,C,D,E五人站成一排拍照,B,C不相邻,则不同的排列方式共有 (　 )
A.24种 B.48种
C.72种 D.96种
(2)[2023·贵阳一中高二月考] 高三年级某班组织元旦晚会,共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目,出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”(可以不相邻),则这样的出场排序有 (　 )
A.24种 B.40种
C.60种 D.84种
[素养小结]
(1)对于特殊限制条件的排列问题,要记住其特殊的解决方法,如捆绑法、插空法、除序法等.
(2)限制条件分析时有位置分析法、对象分析法,先特殊(对象或位置)后一般,有多个条件时,先肯定(在某位置)后否定(不在某位置),两条件有影响时,可根据影响先分类再分步进行求解,对于分类过多的问题可以采用间接法.
拓展 (1)某学校筹备元旦晚会节目单时,准备在前五个节目里排三个歌唱节目,一个小品节目以及一个相声节目,若三个歌唱节目最多有两个相邻,则不同的排法总数为(　 )
A.75 B.80
C.84 D.96
(2)某同学有7本不同的书,其中语文书2本、英语书2本、数学书3本.现在该同学把这7本书放到书架上排成一排,要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻,则不同的排法种数为 (　 )
A.12 B.24
C.48 D.720
◆ 探究点三　排数问题
例3 [2023·山西晋中高二期末] 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的:
(1)六位奇数
(2)个位数字不是5的六位数
(3)比400 000大的六位数
变式 用0,1,2,3,4组成没有重复数字的四位偶数,其中比1000大的共有 (　 )
A.56个 B.60个
C.66个 D.72个
[素养小结]
解数字排列问题常见的解题方法:
(1)“两优先排法”:特殊元素优先排列;特殊位置优先填充.如“0”不排“首位”.
(2)“分类讨论法”:按照某一标准将排列分成几类,然后按照分类加法计数原理进行求解.要注意以下两点:一是分类标准必须恰当;二是分类过程要做到不重不漏.
(3)“排除法”:全排列数减去不符合条件的排列数.
(4)“位置分析法”:按位置逐步讨论,把要求数字的每个数位排好.
◆ 探究点四　排列的综合应用
例4 某次训练活动中,海军舰长要求队员们依次完成六项任务,并对任务的顺序提出了如下要求:重点任务A必须排在前三位,且任务E,F必须相邻,则这六项任务的不同安排方案共有 (　 )
A.240种 B.188种
C.156种 D.120种
变式 [2024·辽宁丹东高二期末] 某中学进行数学竞赛考试,A,B,C,D,E共5名学生参加比赛,决出第一名到第五名的名次(没有并列名次).A和B向教练询问比赛结果,教练对A说:“你和B都没有得到第一名.”对B说:“你不是最后一名.”从这两个回答分析,5人的名次排列方式共有 (　 )
A.54种 B.72种
C.96种 D.120种
[素养小结]
实际问题中,既要能观察出是排列问题,又要能搞清哪些是特殊对象,还要根据问题进行合理分类、分步,选择合适的解法.因此需做一定量的排列应用题,逐渐掌握解决问题的基本思路.
1.[2023·河南驻马店高二期末] A,B,C,D,E五人站成一排,如果A,B必须相邻,那么排法种数为 (　 )
A.24 B.120 C.48 D.60
2.[2023·重庆一中高二月考] 现有4男3女共7个人排成一排照相,其中三个女生不全相邻的排法种数为 (　 )
A. B.-
C. D.-
3.[2023·浙江长兴中学高二期中] 某场比赛的三个地点需要志愿者服务,现有甲、乙、丙、丁四人报名参加,每个地点仅需一名志愿者,每人至多在一个地点服务,若甲不能到第一个地点服务,则不同的安排方法共有 (　 )
A.18种 B.24种
C.32种 D.64种
4.甲、乙、丙、丁4名学生站成一排参加文艺汇演,若甲、乙不能同时站在两端,则不同的排列方式共有 (　 )
A.4种 B.8种
C.16种 D.20种
5.身高互不相同的7名运动员站成一排,其中甲、乙、丙3人自左向右从高到矮排列的不同排法共有　　　　种.(用数字作答) 第2课时　排列数的应用
1.D　[解析] 把A,B视为一个整体,且B排在A的右边,则本题相当于4人的全排列,故共有=24(种)不同的排法.
2.B　[解析] 先排2,4,形成三个空位,然后将1,3排入前两个空位或者后两个空位,则符合题意的四位数的个数为(+)=8.故选B.
3.B　[解析] 先把3家特色小吃店捆绑全排列共有=6(种)排法,再把3家特色小吃店当成一个整体与新奇玩具店全排列,共有=2(种)排法,然后把2家文创产品店插到特色小吃店与新奇玩具店形成的空中,共有=6(种)排法,所以共有6×2×6=72(种)排法.故选B.
4.D　[解析] 当甲站在每一排的两端时,有4种站法,此时乙的位置确定,剩下的人随便排,有4=480(种)站法;当甲不站在每一排的两端时,有3种站法,此时乙和甲相邻有两个位置可选,丙和甲不相邻有四个位置可选,剩下的人随便站,有3×2×4×=576(种)站法.综上,共有480+576=1056(种)站法.故选D.
5.B　[解析] 将7盆花全排列共有种摆放方法,其中3盆兰花摆在一条直线上的摆放方法有5种,故符合题意的摆放方法共有-5=4320(种).
6.B　[解析] 四种颜色设为1,2,3,4,正面相邻区域不能同色必定用三种颜色,则有种不同的方法.若正面用1,2,3三色,则反面颜色也可选1,2,3,但与正面不能同色,故对应为2,3,1或3,1,2两种.反面颜色也能选1,2,4,与正面1,2,3对应的分别为2,1,4或2,4,1或4,1,2三种.同理反面颜色选1,3,4也为三种,反面选2,3,4也为三种.则正面用1,2,3三色,反面颜色对应有11种,所以双面绣不同色彩设计方法共有×11=264(种).故选B.
7.B　[解析] 2次向右飞行一个单位,1次向右飞行两个单位,1次向左飞行一个单位可停在数轴上实数3的位置,此时不同的飞行方式有=12(种);2次向右飞行两个单位,1次向右飞行一个单位,1次向左飞行两个单位可停在数轴上实数3的位置,此时不同的飞行方式有=12(种).综上,小蜜蜂不同的飞行方式有12+12=24(种).故选B.
8.ACD　[解析] 对于A,若A,B不相邻,则有=72(种)站法,故A正确;对于B,若A不站在最左边,B不站在最右边,则有-2+=78(种)站法,故B错误;对于C,若A在B右边,则有=60(种)站法,故C正确;对于D,若A,B两人站在一起,则有=48(种)站法,故D正确.故选ACD.
9.ABD　[解析] 对于A,首位不能排0,有种排法,后面三位从剩下的6个数字中任选3个进行排列,所以共有·=720(种)排法,即可以组成720个无重复数字的四位数,故A正确;对于B,个位从1,3,5选择一个,有3种选法,千位数字不可选0,从剩下的5个中选一个,有5种选法,在剩下的5个数字中选出2个,安排在百位、十位,有种选法,则可以组成3×5×=300(个)无重复数字的四位奇数,故B正确;对于C,比3400大的四位数分三类,第一类是千位是比3大的数,其他三位任意排,有=360(个),第二类是千位是3,百位是比4大的数,其他两位任意排,有·=40(个),第三类是千位是3,百位是4,其他两位任意排,有=20(个),则比3400大的四位数共有360+40+20=420(个),故C不正确;对于D,能被25整除的四位数分两类,第一类形如□□25,共有=16(个),第二类形如□□50,共有=20(个),则能被25整除的四位数共有16+20=36(个),故D正确.故选ABD.
10.72　[解析] A参加时,参赛方案有2=48(种);A不参加时,参赛方案有=24(种).所以不同的参赛方案的种数为48+24=72.
11.1296　[解析] 将每家人看作一个整体,安排座位,有种情况,3个家庭所有成员内部的座位排法共有··种情况,所以不同的坐法种数为()4=1296.
12.420　[解析] 当选择3种月季种植时,先种植①④⑤区域,有种种植方法,再种植②区域,必和④区域相同,有1种种植方法,最后种植③区域,必和①区域相同,有1种种植方法,故选择3种月季种植时,有×1×1=60(种)种植方法.当选择4种月季种植时,先种植①④⑤区域,有种种植方法,再把还没有用过的2种月季选1种种植下去,有②③两个区域可供种植,有2×2=4(种)种植方法,最后种植最后一个区域,有1种种植方法,故选择4种月季种植时,有×4×1=240(种)种植方法.当选择5种月季种植时,有=120(种)种植方法.综上,共有60+240+120=420(种)种植方法.
13.解:(1)可以分为两类:第一类,首位为奇数.第一步,把1,3,5三个数字排在奇数位上,有种方法;第二步,把0,2,4三个数字排在偶数位上,有种方法.故首位为奇数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数有=36(个).
第二类,首位为偶数.第一步,把1,3,5三个数字排在偶数位上,有种方法;第二步,把0,2,4三个数字排在奇数位上,有2种方法.
故首位为偶数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数有×2=24(个).
根据分类加法计数原理,满足条件的六位数共有36+24=60(个).
(2)可以分为两类:第一类,当数字1排在首位上时,其他数字全排列,满足条件的六位数共有=120(个);第二类,当数字1不排在首位上时,根据数字1只能排在奇数位上,得数字1有2种选择,数字0不能排在首位上,有4种选择,其他数字不受条件限制,排列方法有种,所以满足条件的六位数共有2×4×=192(个).
根据分类加法计数原理,满足条件的六位数共有120+192=312(个).
14.解:(1)4个歌舞类节目全排列形成5个空,因为语言类节目不能排在第一,且不相邻,所以有=288(种)排法.
(2)若前4个节目中没有语言类节目,则有种排法,
所以前4个节目中有语言类节目的排法有-=672(种).
15.48　[解析] 将6个数分三组(1,6),(2,5),(3,4),每组中的两个数填入一对相对面上,共有×2×2×2=48(种)不同的填法.
16.解:(1)若5对夫妇都相邻,A,B相邻,则可将每对夫妇划分为1组,将A,B划分为1组,再将这6组围坐成一圈,共有种坐法.
因为每一组的2人有2种坐法,所以共有×26=7680(种)坐法.
(2)分成三步:第一步,排甲、乙二人的太太的座位,有2种坐法,甲、乙二人的座位也随之确定;
第二步,排其余3对夫妇的座位,有23种坐法;
第三步,排A,B二人的座位,有种坐法.根据分步乘法计数原理可知,共有2×23×=1152(种)坐法.第2课时　排列数的应用
一、选择题
1.A,B,C,D,E共5人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法共有 (　 )
A.60种 B.48种
C.36种 D.24种
2.[2023·重庆十八中高二期中] 用数字1,2,3,4组成没有重复数字的四位数,其中奇数不相邻且偶数不相邻的个数为 (　 )
A.6 B.8
C.12 D.24
3.[2023·石家庄高二期末] 现有6家商户预租赁某夜市的6个相邻的摊位,其中3家商户开特色小吃店,2家商户开文创产品店,1家商户开新奇玩具店,夜市管理部门要求特色小吃店必须都相邻,且文创产品店不相邻,则不同的排法总数为 (　 )
A.48 B.72
C.144 D.96
4.[2024·黑龙江牡丹江二中高二期末] 7个人站成两排,前排3人,后排4人,其中甲、乙两人必须挨着,甲、丙必须分开站,则不同的站法种数为 (　 )
A.672 B.864
C.936 D.1056
5.现要把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图所示的1,2,3,4,5,6,7的位置上,其中3盆兰花不能摆在一条直线上,则不同的摆放方法共有 (　 )
A.2680种 B.4320种
C.4920种 D.5140种
6.中国刺绣是我国民族传统工艺之一,始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝,它是在同一块底料上,在同一绣制过程中,绣出正反两面图案对称而色彩不一样的绣技.某中学为弘扬中国传统文化开设了刺绣课,并要求为图中三片花瓣图案做一幅双面绣作品,现有四种不同颜色绣线可选,且双面绣每面三片花瓣相邻区域不能同色,则双面绣作品不同色彩设计方法的种数为 (　 )
A.144 B.264
C.288 D.432
7.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处,小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力,且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过4次飞行后,停在位于数轴上实数3的位置,则小蜜蜂不同的飞行方式有 (　 )
A.22种 B.24种
C.26种 D.28种
8.(多选题)已知A,B,C,D,E五个人并排站在一起,则下列说法正确的有 (　 )
A.若A,B不相邻,则有72种站法
B.若A不站在最左边,B不站在最右边,则有72种站法
C.若A在B右边,则有60种站法
D.若A,B两人站在一起,则有48种站法
9.(多选题)[2023·江苏连云港高二期末] 从0,1,2,3,4,5,6这7个数字中取出4个数字,则(　 )
A.可以组成720个无重复数字的四位数
B.可以组成300个无重复数字且为奇数的四位数
C.可以组成270个无重复数字且比3400大的四位数
D.可以组成36个无重复数字且能被25整除的四位数
二、填空题
10.从A,B,C,D,E这5名学生中选出4名参加数学、物理、化学、外语竞赛,每人参加一种竞赛,且A不参加物理、化学竞赛,则不同的参赛方案的种数为　　　　.
11.[2023·合肥衡安中学高二月考] 一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法的种数为　　　　.
12.南阳素有“月季花城”的美誉,是“中国月季之乡”和世界月季名城.某社区对一个街心公园进行改造,在公园中央有一个正方形区域如图所示,它由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成.现对该区域种植月季,有5种不同的月季可供选择,要求相邻区域种植的月季不同,则所有的种植方法种数为　　　　.
三、解答题
13.由数字0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字的六位数中:
(1)奇偶数字相间的六位数共有多少个
(2)数字1排在奇数位上的六位数共有多少个
(注:本题中提到的“奇数位”按从最高位开始从左到右依次为奇数位、偶数位理解)
14.某班准备举办迎新晚会,有4个歌舞类节目和2个语言类节目,要求排出一个节目单.
(1)若2个语言类节目不排在第一且不能相邻,有多少种排法
(2)若前4个节目中要有语言类节目,有多少种排法
15.如图是一个正方体纸盒的展开图,若把1,2,3,4,5,6分别填入小正方形后,按虚线折成正方体,若所得到的正方体相对面上的两个数的和都相等,则不同的填法有　　　　种.
16.有5对夫妇和A,B共12人参加一场婚宴,他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐(旋转之后算相同坐法).
(1)若5对夫妇都相邻而坐,A,B相邻而坐,共有多少种坐法
(2)5对夫妇都相邻而坐,其中甲、乙二人的太太是好朋友需相邻而坐,A,B不相邻,共有多少种坐法

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