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3.1 排列与组合
3.1.3 组合与组合数
第1课时 组合与组合数及其性质应用
探究点一 对组合概念的理解
探究点二 组合数公式的应用
探究点三 组合数性质的应用
探究点四 组合数的应用
◆课前预习
◆课中探究
◆课堂评价
◆备课素材
【学习目标】
1.通过实例，理解组合的概念；
2.能利用计数原理推导组合数公式；
3.能利用组合数公式进行简单计算和证明；
4.会用组合数公式解决一些简单的组合问题．
知识点一 组合
定义:一般地,从___个不同对象中取出个对象__________,称为从 个不
同对象中取出 个对象的一个组合.
并成一组
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）“”与“ ”是相同的排列.( )
×
（2）“”与“ ”是相同的组合.( )
√
知识点二 组合数与组合数公式
（1）从个不同对象中取出个对象的所有组合的个数，称为从 个不同对象
中取出 个对象的组合数，用符号____表示.
（2） .
（3）规定： ___.
1
注意：
（1）在符号中，，且， ；
（2）组合数公式的展开式分子是从开始个正整数相乘，分母是 的阶乘．
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）两个组合相同的充要条件是组成组合的对象完全相同.( )
√
（2）从，， 三个不同对象中任取两个对象组成一个组合，所有组合的个
数为 .( )
√
（3）从1，3，5，7中任取两个数相乘可得 个积．( )
√
（4）从1，3，5，7中任取两个数相除可得 个商．( )
×
2.组合数公式的推导方法对我们解题有何启发
解：组合数公式的推导方法是一种非常重要的解题方法,特别是在以后解决排列、
组合的综合问题时,一般都是按照“先取后排”（先组合后排列）的思路解决的.
知识点三 组合数的性质
1. ______.
2. ______.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若，则 .( )
×
[解析] 由题可知或，解得或 .
（2） .( )
√
[解析] .
探究点一 对组合概念的理解
例1 给出下列问题:
（1）,,, 四支足球队之间进行单循环赛（任意两支足球队之间均比赛一次）,
共需比赛多少场
解：单循环赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题.
（2）,,, 四支足球队争夺冠、亚军,有多少种不同的结果
解：冠、亚军是有顺序的,是排列问题.
（3）从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少
种不同的选法
解：3人分别担任三个不同的职务,有顺序,是排列问题.
（4）从全班40人中选出3人参加某项活动,有多少种不同的选法
解：3人参加某项相同的活动,没有顺序,是组合问题.
（5）平面内有，，，， 共5个不同的点，以其中2个点为端点的线段共
有多少条？
在上述问题中,哪些是组合问题 哪些是排列问题
解：以平面内，，，， 中的2个点为端点的线段，没有顺序,是组合问题.
变式 判断下列问题是排列问题，还是组合问题．
（1）10个人相互各写一封信，共写了多少封信？
解：10个人相互各写一封信，有顺序，是排列问题.
（2）从1，2，3， ，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数
共有多少个？
解：选出的3个数的顺序不同，则组成的三位数不同，是排列问题.
（3）从1，2，3， ，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个
和，这样的和共有多少个？
解：选出的三个数字相加求和，与三个数的顺序无关，是组合问题.
［素养小结］
（1）组合概念的两个要点：①取出的对象是不同的；②“只取不排”，即取出的
个对象与顺序无关，无序性是组合的特征性质.
（2）根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是
什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的
是组合.
（3）区分有无顺序的方法:把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果
中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，
是排列问题，若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.
探究点二 组合数公式的应用
例2（1） [2023·辽宁盘锦辽东湾高中高二月考] 计算： .
解：由组合数的定义知解得，又 ，所以
或 .
当时, ；
当时, .
（2）[2023·乌鲁木齐六十八中高二期中] 证明： .
证明：因为 ，
，所以 .
变式（1） [2024·沈阳高二期末] 解方程： .
解：由 ，
得 ，
即，解得或 .
由，知,，所以 .
（2）已知,,，，证明： .
证明：因为 ，
，所以 .
［素养小结］
关于组合数公式的选择：
（1）涉及具体数字和计算问题的可以直接用公式 计算.
（2）涉及字母或证明、化简问题可以用阶乘式 计算.
探究点三 组合数性质的应用
例3（1） （多选题）若 ,则下列结论正确的是( )
AC
A. B. C. D.
[解析] 根据题意得解得,又,所以 ,所以
.故选 .
（2）[2023·山东德州高二期末] 求满足等式 的正整
数 .
解：由性质和，得 ，
.
所以原等式可化为 ，
又由性质，得 ，
所以，则 .
所以，即，解得或（舍去），故 的
值为4.
变式 解关于正整数 的方程：
（1） ；
解：由，可得或 ，即
或，解得或或或
（舍去），
又,均为整数，且,，所以 或
.
（2） .
解：由组合数的性质可得,， .
由，可得 ，
即，即 ，
解得或 （舍去）.
当时，满足题意，故 .
［素养小结］
（1）性质 体现了对称性，具体应用中容易被忽略.
（2）性质 常常用于化简、求值，具体应用时要能够构造等
式成立的条件.
探究点四 组合数的应用
例4 [2023·山东滨州高二期中] 高二（1）班共有35名学生，其中男生20名，女
生15名，今从中选出3名学生参加活动.
（1）其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？
解：从除指定女生外的34名学生中任选3名学生，有 （种）选法，
所以某一女生不能在内，不同的选法有5984种.
（2）恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？
解：从20名男生中选1名，从15名女生中选2名，有
（种）选法，
所以恰有2名女生在内，不同的选法有2100种.
（3）至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？
解：选取2名女生有种选法，选取3名女生有 种选法，所以至少有2名
女生在内，不同的选法有 （种）.
（4）至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？
解：从35名学生中任选3名有种选法，选取3名女生有 种选法，所以至多
有2名女生在内，不同的选法有 （种）.
变式（1） [2023·江西抚州一中高二月考]在某城市中，， 两地有如图所示
的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从地出发去往 地，途
经 地，则不同的路线有( )
B
A.90 种 B.105 种 C.260种 D.315 种
[解析] 由题可知，不同的路线有 （种）.故选B.
（2）[2024·沈阳高二期末]某冰淇淋店至少需要准备 种不同口味的冰
淇淋，才能满足其广告所称“任选2种不同口味的冰淇淋的组合数超过100”.若来
店里的顾客从这 种冰淇淋中任选1种或2种不同口味的冰淇淋，则不同的选择
方法有( )
C
A.110种 B.115种 C.120种 D.125种
[解析] 从 种不同口味的冰淇淋中任选2种不同口味的冰淇淋的组合数
为，令，可得，所以 .若来店里的顾客从
这15种冰淇淋中任选1种或2种不同口味的冰淇淋，则不同的选择方法共有
（种）.故选C.
［素养小结］
1.求解组合数的应用题的策略:
（1）解简单的组合应用题时,首先要判断它是不是组合问题,组合问题与排列问
题的根本区别在于排列问题与取出对象之间的顺序有关,而组合问题与取出对象
之间的顺序无关.
（2）求解“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”
的可把所指元素去掉再取，分步计数.
2.“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分
类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.
1.下列四个问题中属于组合问题的是( )
C
A.从4名志愿者中选出2名分别参加导游和翻译的工作
B.从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字组成一个三位数
C.从某班40名学生中选5名组成学习小组
D.老师在排座位时，将甲、乙两人安排为同桌
[解析] A，B，D选项均为排列问题，只有C选项是组合问题.
2. ( )
B
A.15 B.30 C.35 D.42
[解析] .故选B.
3.[2023·黑龙江大兴安岭实验中学高二月考] 若，则 ___.
8
[解析] 因为， ，所以
,因为，且，所以 ，解得
.
4.将10人分成甲、乙两组，其中甲组4人，乙组6人，则不同的分组方法的种数
为_____.（用数字作答）
210
[解析] 从10人中任选4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，故共有
（种）不同的分组方法．
1.注意辨识排列与组合的区别：排列强调有顺序，组合没有顺序.
2.关于组合数公式的选取技巧：
（1）涉及具体数字的可以直接用 进行计算；
（2）涉及字母的可以用阶乘式 计算.
3.性质“ ”的意义及作用
4.性质 的注意点：
（1）公式特点：等式左端组合数的下标都为，右端组合数的下标为 .
（2）组合数的性质 的顺用、逆用及变形使用：顺用是“合二
为一”，逆用是将一个组合数拆成两个，变形 的使用为某些
项前后相互抵消提供了方便，学生在解题时要注意灵活运用.
5. 的证明：
因为 ,
，
所以 .
1.关于组合数计算公式
注意阶乘式公式和乘积公式 的取舍，
选用恰当的公式简化计算过程.
例1 解不等式: .
解：因为 ,所以 ，
整理得,即 .
由得,所以 ,
又,所以 或2或3.故原不等式的解集为 .
2.合理运用组合数的性质求值.
例2 已知，则 _______.
11 440
[解析] 因为，所以 ，所以
.
3. 的运用.
例3 计算： ( )
B
A.180 B.186 C.188 D.192
[解析] ，
.故选B.
4.利用组合数的性质证明.
例4 求证： 为偶数.
证明：由组合数性质，可得 ，
又，所以 为偶数.
5.利用树形图解决组合问题
例5 （1）有，，， 四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合；
解：方法一（顺序后移法）：可按 的顺序写出，即
每次取出2个元素的所有组合为，，，，， .
方法二（树形图法）：画出树形图，即
每次取出2个元素的所有组合为，，，，， .
解： 方法一（顺序后移法）：可按 的顺序写
出，即
每次取出3个元素的所有组合为，，，，，， ，
，， .
（2）有，，，， 五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．
方法二（树形图法）：画出树形图，即
每次取出3个元素的所有组合为，，，，，， ，
，， .3.1.3　组合与组合数
第1课时　组合与组合数及其性质应用
【课前预习】
知识点一
n　并成一组
诊断分析
(1)×　(2)√
知识点二
(1)　(3)1
诊断分析
1.(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2.解:组合数公式的推导方法是一种非常重要的解题方法,特别是在以后解决排列、组合的综合问题时,一般都是按照“先取后排”(先组合后排列)的思路解决的.
知识点三
1.　2.
诊断分析
(1)×　(2)√　[解析] (1)由题可知m=2m-1或m+2m-1=8,解得m=1或m=3.
(2)++=+=.
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)单循环赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题.
(2)冠、亚军是有顺序的,是排列问题.
(3)3人分别担任三个不同的职务,有顺序,是排列问题.
(4)3人参加某项相同的活动,没有顺序,是组合问题.
(5)以平面内A,B,C,D,E中的2个点为端点的线段,没有顺序,是组合问题.
变式　解:(1)10个人相互各写一封信,有顺序,是排列问题.
(2)选出的3个数的顺序不同,则组成的三位数不同,是排列问题.
(3)选出的三个数字相加求和,与三个数的顺序无关,是组合问题.
探究点二
例2　解:(1)由组合数的定义知解得4≤n≤5,又n∈N*,所以n=4或n=5.
当n=4时,+=+=5;
当n=5时,+=+=16.
(2)证明:因为·=·=,·=·=,所以·=·.
变式　解:(1)由3=5,
得3·=5(x-4)(x-5),
即x2-9x-22=0,解得x=11或x=-2.
由3=5,知x≥7,x∈N*,所以x=11.
(2)证明:因为=·=,=·=,所以=.
探究点三
例3　(1)AC　[解析] 根据题意得解得≤n≤,又n∈N*,所以n=10,所以a=+=+=466.故选AC.
(2)解:由性质=和=+,得=,++=++=+.
所以原等式可化为=+,
又由性质=+,得=+,
所以+=+,则=.
所以n+2=,即n2-3n-4=0,解得n=4或n=-1(舍去),故n的值为4.
变式　解:(1)由=,可得x2-x=5x-5或x2-x+5x-5=16,即x2-6x+5=0或x2+4x-21=0,解得x=1或x=5或x=3或x=-7(舍去),
又x2-x,5x-5均为整数,且0≤x2-x≤16,0≤5x-5≤16,所以x=1或x=3.
(2)由组合数的性质可得=,=,+=.
由+=,可得=,
即=,即x(x-1)=30,
解得x=6或x=-5(舍去).
当x=6时,满足题意,故x=6.
探究点四
例4　解:(1)从除指定女生外的34名学生中任选3名学生,有=5984(种)选法,
所以某一女生不能在内,不同的选法有5984种.
(2)从20名男生中选1名,从15名女生中选2名,有=20×105=2100(种)选法,
所以恰有2名女生在内,不同的选法有2100种.
(3)选取2名女生有种选法,选取3名女生有种选法,所以至少有2名女生在内,不同的选法有+=2100+455=2555(种).
(4)从35名学生中任选3名有种选法,选取3名女生有种选法,所以至多有2名女生在内,不同的选法有-=6545-455=6090(种).
变式　(1)B　(2)C　[解析] (1)由题可知,不同的路线有=105(种).故选B.
(2)从n(n∈N*)种不同口味的冰淇淋中任选2种不同口味的冰淇淋的组合数为=,令>100,可得n≥15,所以m=15.若来店里的顾客从这15种冰淇淋中任选1种或2种不同口味的冰淇淋,则不同的选择方法共有+=15+105=120(种).故选C.
【课堂评价】
1.C　[解析] A,B,D选项均为排列问题,只有C选项是组合问题.
2.B　[解析] ==30.故选B.
3.8　[解析] 因为=n(n-1)(n-2),=n(n-1),所以n(n-1)(n-2)=12×n(n-1),因为n∈N*,且n≥3,所以n-2=6,解得n=8.
4.210　[解析] 从10人中任选4人作为甲组,则剩下的人即为乙组,故共有=210(种)不同的分组方法.3.1.3　组合与组合数
第1课时　组合与组合数及其性质应用
【学习目标】
1.通过实例,理解组合的概念;
2.能利用计数原理推导组合数公式;
3.能利用组合数公式进行简单计算和证明;
4.会用组合数公式解决一些简单的组合问题.
◆ 知识点一　组合
定义:一般地,从　　　　个不同对象中取出m(m≤n)个对象　　　　,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“abc”与“bca”是相同的排列. (　 )
(2)“abc”与“bca”是相同的组合. (　 )
◆ 知识点二　组合数与组合数公式
(1)从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数,称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数,用符号　　　　表示.
(2)===.
(3) 规定:=　　　　.
注意:
(1)在符号中,m≤n,且 m∈N,n∈N*;
(2)组合数公式的展开式分子是从n开始m个正整数相乘,分母是m的阶乘.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个组合相同的充要条件是组成组合的对象完全相同. (　 )
(2)从a1,a2,a3三个不同对象中任取两个对象组成一个组合,所有组合的个数为. (　 )
(3)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得个积. (　 )
(4)从1,3,5,7中任取两个数相除可得个商. (　 )
2.组合数公式的推导方法对我们解题有何启发
◆ 知识点三　组合数的性质
1.=　　　　.
2.+=　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若=,则m=1. (　 )
(2)=++. (　 )
◆ 探究点一　对组合概念的理解
例1 给出下列问题:
(1)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环赛(任意两支足球队之间均比赛一次),共需比赛多少场
(2)a,b,c,d四支足球队争夺冠、亚军,有多少种不同的结果
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选法
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动,有多少种不同的选法
(5)平面内有A,B,C,D,E共5个不同的点,以其中2个点为端点的线段共有多少条
在上述问题中,哪些是组合问题 哪些是排列问题
变式 判断下列问题是排列问题,还是组合问题.
(1)10个人相互各写一封信,共写了多少封信
(2)从1,2,3,…,9九个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位数共有多少个
(3)从1,2,3,…,9九个数字中任取3个,然后把这三个数字相加得到一个和,这样的和共有多少个
[素养小结]
(1)组合概念的两个要点:①取出的对象是不同的;②“只取不排”,即取出的m个对象与顺序无关,无序性是组合的特征性质.
(2)根据排列与组合的定义进行判断,区分排列与组合问题,先确定完成的是什么事件,然后看问题是否与顺序有关,与顺序有关的是排列,与顺序无关的是组合.
(3)区分有无顺序的方法:把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,看是否会产生新的变化,若有新变化,即说明有顺序,是排列问题,若无新变化,即说明无顺序,是组合问题.
◆ 探究点二　组合数公式的应用
例2 (1)[2023·辽宁盘锦辽东湾高中高二月考] 计算:+.
(2)[2023·乌鲁木齐六十八中高二期中] 证明:·=·.
变式 (1)[2024·沈阳高二期末] 解方程:3=5.
(2)已知m,n,k∈N*,m≥k≥n,证明:=.
[素养小结]
关于组合数公式的选择:
(1)涉及具体数字和计算问题的可以直接用公式==计算.
(2)涉及字母或证明、化简问题可以用阶乘式=计算.
◆ 探究点三　组合数性质的应用
例3 (1)(多选题)若a=+,则下列结论正确的是 (　 )
A.n=10 B.n=11
C.a=466 D.a=233
(2)[2023·山东德州高二期末] 求满足等式=++的正整数n.
变式 解关于正整数x的方程:
(1)=;
(2)+=.
[素养小结]
(1)性质=体现了对称性,具体应用中容易被忽略.
(2)性质+=常常用于化简、求值,具体应用时要能够构造等式成立的条件.
◆ 探究点四　组合数的应用
例4 [2023·山东滨州高二期中] 高二(1)班共有35名学生,其中男生20名,女生15名,今从中选出3名学生参加活动.
(1)其中某一女生不能在内,不同的选法有多少种
(2)恰有2名女生在内,不同的选法有多少种
(3)至少有2名女生在内,不同的选法有多少种
(4)至多有2名女生在内,不同的选法有多少种
变式 (1)[2023·江西抚州一中高二月考] 在某城市中,A,B两地有如图所示的方格型道路网,甲随机沿道路网选择一条最短路径,从A地出发去往B地,途经C地,则不同的路线有 (　 )
A.90 种 B.105 种
C.260种 D.315 种
(2)[2024·沈阳高二期末] 某冰淇淋店至少需要准备m(m∈N*)种不同口味的冰淇淋,才能满足其广告所称“任选2种不同口味的冰淇淋的组合数超过100”.若来店里的顾客从这m种冰淇淋中任选1种或2种不同口味的冰淇淋,则不同的选择方法有 (　 )
A.110种 B.115种
C.120种 D.125种
[素养小结]
1.求解组合数的应用题的策略:
(1)解简单的组合应用题时,首先要判断它是不是组合问题,组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出对象之间的顺序有关,而组合问题与取出对象之间的顺序无关.
(2)求解“含”与“不含”问题,其解法常用直接分步法,即“含”的先取出,“不含”的可把所指元素去掉再取,分步计数.
2.“至多”“至少”问题,其解法常有两种解决思路:一是直接分类法,但要注意分类要不重不漏;二是间接法,注意找准对立面,确保不重不漏.
1.下列四个问题中属于组合问题的是 (　 )
A.从4名志愿者中选出2名分别参加导游和翻译的工作
B.从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字组成一个三位数
C.从某班40名学生中选5名组成学习小组
D.老师在排座位时,将甲、乙两人安排为同桌
2.= (　 )
A.15 B.30
C.35 D.42
3.[2023·黑龙江大兴安岭实验中学高二月考] 若=12,则n=　　　　.
4. 将10人分成甲、乙两组,其中甲组4人,乙组6人,则不同的分组方法的种数为　　　　.(用数字作答) 3.1.3　组合与组合数
第1课时　组合与组合数及其性质应用
1.D　[解析] ===.故选D.
2.B　[解析] 从8人中选出6人进行组合即可,则有种分法.故选B.
3.C　[解析] 利用间接法可得,男、女学生都要有的选法种数为--=70.故选C.
4.D　[解析] ====6.故选D.
5.C　[解析] ∵>,∴>,∴(n-4)(n-5)<30,即n2-9n-10<0,解得-16.A　[解析] 至少有2个黑球的取法种数是++=90+24+1=115.故选A.
7.B　[解析] 因为+=,所以++…+=+++…+-1=++…+-1=…=-1=119.故选B.
8.ABD　[解析] 对于A,(n+1)=(n+1)·==,故A正确;对于B,===(n-2)!,故B正确;对于C,=,而m!与n!不一定相等,所以与不一定相等,故C不正确;对于D,=·==,故D正确.故选ABD.
9.BC　[解析] 根据题意可知,抽取的4件产品中至少有1件是不合格品包括以下三种情况:①1件不合格品和3件合格品,共有种抽法;②2件不合格品和2件合格品,共有种抽法;③3件不合格品和1件合格品,共有种抽法.则至少有一件是不合格品的抽法有(++)种,故B正确.还可以采用正难则反的思想,即间接法,“至少有1件是不合格品”与“全都是合格品”是对立事件,总的抽法共有种,全都是合格品的抽法共有种,所以至少有1件是不合格品的抽法有(-)种,故C正确.故选BC.
10.48　[解析] 甲去完成A项工作,有=24(种)不同的安排方式;甲不去完成A项工作,有=24(种)不同的安排方式.故共有24+24=48(种)不同的安排方式.
11.3或4　[解析] 由题意得解得2≤x≤6,x∈N.∵=++,∴=+,∴-=,∴=,∴x=2x-3或x+2x-3=9,解得x=3或x=4.
12.4　[解析] 由题知x2+x(x-1)(x-2)=,可得x2-6x+8=0,解得x=2或x=4,又x≥3,所以x=4.
13.解:(1)至少有1名队长含有两种情况,有一名队长和有两名队长,故共有+=825(种)选法.
(2)至多有2名女生含有三种情况,有2名女生、有1名女生、没有女生,故共有++=966(种)选法.
14.解:(1)==15.
(2)由题意得∴n≥3且n∈N*.∵3-6=4,∴3n(n-1)(n-2)-6n(n-1)=4×,
即3(n-1)(n-2)-6(n-1)=2n+2,解得n=5或n=(舍去),故n=5.
(3)由题意得∴n≥6且n∈N*.
∵≥24,∴n(n-1)(n-2)(n-3)≥24,
∴≤1,整理得n2-9n-10≤0,
解得-1≤n≤10,又n≥6且n∈N*,∴不等式的解集为{6,7,8,9,10}.
15.252　[解析] 构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法需10步完成(从上一个字到下一个字为一步),其中5步是从上往左下角方向读,余下5步是从上往右下角方向读,故共有不同读法=252(种).
16.解:(1)由题意可得==1365.
(2)==,因为x>0,所以当=,即x=时,取得最小值.
(3)性质①不能推广,例如当x=时,有定义,但无意义.
性质②能推广,它的推广形式是+=,x∈R,m是正整数,事实上,当m=1时,+=x+1=;当m≥2时,+=+
===.
综上,+=,x∈R,m是正整数.3.1.3　组合与组合数
第1课时　组合与组合数及其性质应用
一、选择题
1.可表示为 (　 )
A. B. C. D.
2.将6本相同的书分给8名学生,每人至多分1本,而且书必须分完,则不同的分法种数是(　 )
A. B. C.68 D.86
3.从4名男学生、5名女学生中选出3名学生,男、女学生都有的选法有 (　 )
A.140种 B.44种
C.70种 D.252种
4.计算:= (　 )
A. B.101 C. D.6
5.满足条件>的正整数n的个数是 (　 )
A.10 B.9 C.4 D.3
6.现有6个不同的白球,4个不同的黑球,从中任取4个,则至少有2个黑球的取法种数是(　 )
A.115 B.90
C.210 D.385
7.[2024·沈阳高二期末] ++…+= (　 )
A.120 B.119
C.110 D.109
8.(多选题)下列等式一定正确的是 (　 )
A.(n+1)=
B.=(n-2)!
C.=
D.=
9.(多选题)[2024·江苏镇江扬中中学高二月考] 在50件产品中,有47件合格品,3件不合格品,从这50件产品中任意抽取4件,则下列结论正确的有 (　 )
A.抽取的4件产品中至少有1件是不合格品的抽法有(+)种
B.抽取的4件产品中至少有1件是不合格品的抽法有(++)种
C.抽取的4件产品中至少有1件是不合格品的抽法有(-)种
D.抽取的4件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种
二、填空题
10.[2024·甘肃白银高二期末] 安排5名志愿者完成A,B,C,D四项工作,其中A项工作需2人,B项工作不安排5人中的甲完成,5名志愿者均分配了工作,且每项工作均有人完成,则不同的安排方法共有　　　　种.
11.已知=++,则x的值为　　　　.
12.若x+=4,则x的值为　　　　.
三、解答题
13.[2024·辽宁营口高二期末] 课外活动小组共有13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各有1名队长,现从中选5人参加某项活动,依下列条件各有多少种选法
(1)至少有1名队长参加该活动;
(2)至多有2名女生参加该活动.
14.(1)计算:.
(2)解方程:3-6=4.
(3)解关于n的不等式≥24.
15.[2023·上海市西中学高二月考] 按图从上往下读(不能跳读,即念完标号为②的国字后只能念下一行标号为③或④的荣字,又如标号为⑤的校字只能接在标号为④的荣字后念),构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法总数为　　　　.
16.规定=,其中x∈R,m是正整数,且=1,这是组合数(n,m是正整数,且m≤n)的一种推广.
(1)求的值.
(2)设x>0,当x为何值时,取得最小值
(3)组合数的两个性质:①=;②+=是否都能推广到(x∈R,m是正整数)的情形 若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能,则说明理由.

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