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2025-2026学年第一学期华二高三月考数学试卷
2025.09
考生注意:
1、本试卷共4页,21道试题,满分150分,考试时间120分钟.
2、本考试分设试卷和答题纸,试卷包括试题与答题要求,作答必涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.
3、答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.
一、填空题(本大题共有12题,满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,第1题至第6题每个空格填对得4分,第7题至第12题每个空格填对得5分,否则一律得零分.
1.已知全集,集合,则_____.
2.不等式的解集为_____.
3.已知等比数列的首项,公比,则该数列的前6项和为_____.
4.在二项式的展开式中,的系数为_____.
5.函数在区间上的值域为_____.
6.样本数据20,24,6,15,18,10,42,57,2,7的极差为,中位数为,则_____.
7.如图,在正四棱柱中,,该正四棱柱的体积为48,则直线与底面所成角的大小为_____.(用反三角函数表示)
8.已知、是正数,且,则的最小值为_____.
9.从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有_____种不同的选法.(用数字作答)
10.已知为虚数单位,若复数满足,复数满足,则的最小值为_____.
11.网络购物行业日益发达,各销售平台通常会配备送货上门服务.小金正在配送客户购买的电冰箱,并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图.
为避免冰箱内部制冷液逆流,要求运送过程中发生倾斜时,外包装的底面与地面的倾斜角不能超过,且底面至少有两个顶点与地面接触.外包装看作长方体,如图所示,记长方体的纵截面为矩形,,而客户家门高度为2.3米,其他过道高度足够.则小金将冰箱运送入客户家中时,倾斜角的度数至少为_____.(精确到0.01)
12.已知非零平面向量满足:的夹角为与的夹角为,则的取值范围是_____.
二、选择题(本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得满分,否则一律得零分.
13.已知事件和事件满足,则下列说法正确的是( )
A.事件和事件独立 B.事件和事件互斥
C.事件和事件对立 D.事件和事件互斥
14.已知,则下列各项中,能推出的一项是( )
A.,且 B.,且
C.,且 D.,且
15.已知点,点在曲线上,则的面积( )
A.有最大值,但没有最小值B.没有最大值,但有最小值
C.既有最大值,也有最小值D.既没有最大值,也没有最小值
16.已知数列满足,有如下两个命题:
则下列说法中正确的是( )
A.是真命题,是假命题 B.是假命题,是真命题
C.和都是真命题 D.和都是假命题【答案】B
三、解答题(本大题共有5题,满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一,针对这个问题,许多人都会打电话进行投诉.某市火车站为了解每年火车的正点率对每年顾客投诉次数(单位:次)的影响,对近8年(2015年~2022年)每年火车正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理,得到下面的一些统计量的值.
600 592 43837.2 93.8
(1)求关于的经验回归方程；若预计2024年火车的正点率为84%,试估算2024年顾客对火车站投诉的次数;
(2)根据顾客对火车站投诉的次数等标准,该火车站这8年中有6年被评为“优秀”,2年为“良好”,若从这8年中随机抽取3年,记其中评价“良好”的年数为,求的分布和数学期望.
附:经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图,为圆锥的顶点,是圆锥底面的圆心,是底面半径,为劣弧的中点.
(1)证明:平面；
(2)若圆锥底面半径为1,高为2,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知.
(1)讨论的单调性；
(2)当有最大值,且最大值大于时,求的取值范围.
20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
在平面直角坐标系中,已知椭圆的左右焦点分别为是第一象限上一点,直线与轴交于点,设点的坐标为(0,t).
(1)求椭圆的离心率；
(2)设.若点在直线上,且与的面积相等,求到直线的距离；
(3)设直线与的另一个交点为.若使得的直线恰有2条,求的取值范围.
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
如果对任意,使得都有,则称函数是关联.
(1)判断并证明是否是关联 是否是关联？
(2)已知函数是关联,且在上有,试解不等式；
(3)证明:“函数是关联,且是关联”当且仅当“函数是关联”.
2025-2026学年第一学期华二高三月考数学试卷
2025.09
考生注意:
1、本试卷共4页,21道试题,满分150分,考试时间120分钟.
2、本考试分设试卷和答题纸,试卷包括试题与答题要求,作答必涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.
3、答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.
一、填空题(本大题共有12题,满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,第1题至第6题每个空格填对得4分,第7题至第12题每个空格填对得5分,否则一律得零分.
1.已知全集,集合,则_____.
【答案】
2.不等式的解集为_____.
【答案】
3.已知等比数列的首项,公比,则该数列的前6项和为_____.
【答案】
4.在二项式的展开式中,的系数为_____.
【答案】
5.函数在区间上的值域为_____.
【答案】
6.样本数据20,24,6,15,18,10,42,57,2,7的极差为,中位数为,则_____.
【答案】
7.如图,在正四棱柱中,,该正四棱柱的体积为48,则直线与底面所成角的大小为_____.(用反三角函数表示)
【答案】
8.已知、是正数,且,则的最小值为_____.
【答案】9
9.从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有_____种不同的选法.(用数字作答)
【答案】660
【解析】
分两步,第一步,选出4人,由于至少1名女生,故有种不同的选法;第二步,从4人中选出队长、副队长各一人,有种不同的选法,根据乘法计数原理共有种不同的选法.
10.已知为虚数单位,若复数满足,复数满足,则的最小值为_____.
【答案】
11.网络购物行业日益发达,各销售平台通常会配备送货上门服务.小金正在配送客户购买的电冰箱,并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图.
为避免冰箱内部制冷液逆流,要求运送过程中发生倾斜时,外包装的底面与地面的倾斜角不能超过,且底面至少有两个顶点与地面接触.外包装看作长方体,如图所示,记长方体的纵截面为矩形,,而客户家门高度为2.3米,其他过道高度足够.则小金将冰箱运送入客户家中时,倾斜角的度数至少为_____.(精确到0.01)
【答案】
当倾斜角时,冰箱倾斜后实际高度(即冰箱最高点到地面的距离)时才能按要求运送入客户家中.
12.已知非零平面向量满足:的夹角为与的夹角为,则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
如图:
以点为起点作向量,
则,
由的夹角为与的夹角为可知:四点共圆,
由得,
在中:,即,
所以,所以,
由同弧所对的圆周角相等,可得,
设,则,
在中:,
所以,
,
,
,
,
则的取值范围是.
二、选择题(本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得满分,否则一律得零分.
13.已知事件和事件满足,则下列说法正确的是( )
A.事件和事件独立 B.事件和事件互斥
C.事件和事件对立 D.事件和事件互斥
【答案】B
14.已知,则下列各项中,能推出的一项是( )
A.,且 B.,且
C.,且 D.,且
【答案】
15.已知点,点在曲线上,则的面积( )
A.有最大值,但没有最小值B.没有最大值,但有最小值
C.既有最大值,也有最小值D.既没有最大值,也没有最小值
【答案】D
16.已知数列满足,有如下两个命题:
则下列说法中正确的是( )
A.是真命题,是假命题 B.是假命题,是真命题
C.和都是真命题 D.和都是假命题【答案】B
【解析】因为数列满足,所以,
设函数,
所以当单调递增;当单调递减;
单调递增;单调递减;,
所以是函数的切线;由迭代思想可知是假命题,是真命题;
所以时,是严格增数列,存在使得对任意,都有
所时,是严格减数列的充要条件不是存在使得对任意,都有;
三、解答题(本大题共有5题,满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一,针对这个问题,许多人都会打电话进行投诉.某市火车站为了解每年火车的正点率对每年顾客投诉次数(单位:次)的影响,对近8年(2015年~2022年)每年火车正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理,得到下面的一些统计量的值.
600 592 43837.2 93.8
(1)求关于的经验回归方程；若预计2024年火车的正点率为84%,试估算2024年顾客对火车站投诉的次数;
(2)根据顾客对火车站投诉的次数等标准,该火车站这8年中有6年被评为“优秀”,2年为“良好”,若从这8年中随机抽取3年,记其中评价“良好”的年数为,求的分布和数学期望.
附:经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
【解析】
(1)由题设,则,
所以,所以;
当时,代入,得到,
所以2024年顾客对该市火车站投诉的次数约为20次.
(2)由题意,服从超几何分布,可取0,1,2,
0 1 2
所以.
18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图,为圆锥的顶点,是圆锥底面的圆心,是底面半径,为劣弧的中点.
(1)证明:平面；
(2)若圆锥底面半径为1,高为2,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【解析】
(1)证明:连接,因为,为的中点,
则,
因为,则和均为等边三角形,
所以,,
故四边形为菱形,所以,,
因为平面平面,
所以,平面.
(2)以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴,平面内过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则,
设平面的一个法向量为,
则,
取,则,
设平面的一个法向量为,
则,
取,可得,则,
所以,,
因此,平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知.
(1)讨论的单调性；
(2)当有最大值,且最大值大于时,求的取值范围.
【解析】
(1)的定义域为,
若,则在是单调递增;
若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.
(2)由(1)知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为.因此,令,则在是增函数,,于是,当时,;当时,因此的取值范围是(0,1).
20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
在平面直角坐标系中,已知椭圆的左右焦点分别为是第一象限上一点,直线与轴交于点,设点的坐标为(0,t).
(1)求椭圆的离心率；
(2)设.若点在直线上,且与的面积相等,求到直线的距离；
(3)设直线与的另一个交点为.若使得的直线恰有2条,求的取值范围.
【解析】
(1)根据题意:,故.
离心率.
(2)由与面积相等,可知与面积相等,即,根据比例可知是的中点.
而,故在椭圆上,代入解得.
故直线的方程为,
因此到直线的距离为.
(3)设直线的表达式为、,
由于在第一象限,故.
联立,得.
故.
取的中点,即,
故只需.
同时,
代入化简得,
即在上有两个不相等的零点,
有
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
如果对任意,使得都有,则称函数是关联.
(1)判断并证明是否是关联 是否是关联？
(2)已知函数是关联,且在上有,试解不等式；
(3)证明:“函数是关联,且是关联”当且仅当“函数是关联”.
【解析】
(1)因为可能是负数,例如,
所以不是关联;
因为,
所以是关联.
(2)因为是关联,所以当任意的时,,
又时,,则函数图像如下图:
当时,有,解得,
当时,有,解得,
当时,有,解得,
结合函数图像可知,原不等式的解集为.
(3)充分性:因为函数是关联,且是关联,所以,且是增函数,所以对于,有,则成立,所以,即“函数是关联”.
必要性:(i)因为函数是关联,
所以①,②,③,
不等式①②相加可得④,由③④可得,
所以“函数是关联”;
(ii)对于任意,则,于是利用“函数是关联”的条件可以得到,于是,此时“函数是关联”;
(iii)对于任意正整数,若,则,
由可知也成立,此时“函数是关联”;
综上可知“函数是关联,且是关联”.
证明二:①若函数是关联,可知对任意的,有,
函数是关联,可知对任意的,有为增函数;
设函数,
当时,,
当时,,
因为当确定时,是关于的增函数,所以
所以有函数是关联.
②若函数是关联,
设,当时,则,
当时,
假设,有,
又,矛盾.
故只有,同理可得.
利用,可得是关联,
依次可得,即当,有,当在时,,
,可得也是关联.

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