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人教版2024
人教版八年级上册
第十六章 整式的乘法
16.2 整式的乘法
（第3课时 多项式乘多项式）
理解并掌握多项式与多项式相乘的法则，能运用多项式与多项式相乘的法则进行计算.
01
理解算理，发展学生的运算能力和几何直观，体会转化、数形结合和程序化思想.
02
学习目标
复习引入
问题1 你能说一说单项式与多项式的乘法法则吗？
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加
计算方法
数学思想
单项式与多项式相乘
转 化
单项式乘多项式
① 不能漏乘:
即单项式要乘遍多项式的每一项
② 去括号时注意符号的确定.
注意事项
分配律
③ 按“先算 ，再算 ，最后 ”的顺序运算.
乘方
乘法
加减
知识回顾
1.计算4x(3x2＋1)的结果是( )
A.7x3＋4x B.12x3＋1 C.12x3＋4x D.12x2＋4x
2.下列计算正确的是( )
A.(－4x)(2x2＋3x－1)＝－8x3－12x2－4x
B.(6xy2－4x2y)·3xy＝6xy2－12x3y2
C.(－x)(2x＋x2－1)＝－x3－2x2＋1
D.(－3x2y)(－2xy＋3yz＋1)＝6x3y2－9x2y2z－3x2y
C
D
课前小练
合作探究
问题3　如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m、宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？
方法1 扩大后的绿地可以看成
长为(a+b) m， 宽为(p+q) m的
长方形，所以这块绿地的面积
(单位：m2)为 (a+b)(p+q) . ①
合作探究
问题3　如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m、宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？
方法2 扩大后的绿地可以分割
成如图所示的两个长方形，所
以这块绿地的面积(单位：m2)
为 a(p+q)+b(p+q) ． ②
合作探究
问题3　如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m、宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？
方法3 扩大后的绿地还可以看
成由四个小长方形组成，所以
这块绿地的面积(单位：m2)为
ap+aq+bp+bq． ③
合作探究
由于①②③表示同一个数量，所以
(a+b) (p+q)
= a(p+q) + b(p+q)
= ap + aq + bp + bq .
乘法分配律
想一想如何计算多项式乘以多项式？
多×多
单×多
单×单
转化
转化
合作探究
多项式与多项式的乘法法则
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a + b)(p + q) = ap + bp + aq + bq
①注意符号：“每一项”包括其前面的符号；
②合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积.
典例分析
例3 计算：
(1) (a+3)(a 2) ； (2) (3x+1)(x+2) ；
(3) (x 8y)(x y) ； (4) (a+b)(a2 ab+b2) .
解 (1) 原式=a·a+a·( 2)+3·a+3×( 2)
=a2 2a+3a 6
=a2+a 6 ；
解 (2) 原式=(3x)·x+(3x)·2+1·x+1×2
=3x2+6x+x+2
=3x2+7x+2 ；
典例分析
例3 计算：
(1) (a+3)(a 2) ； (2) (3x+1)(x+2) ；
(3) (x 8y)(x y) ； (4) (a+b)(a2 ab+b2) .
解 (3) 原式=x2 xy 8xy+8y2
=x2 9xy+8y2 ；
解 (4) 原式=a3 a2b+ab2+a2b ab2+b3
=a3+b3 .
典例分析
方法总结
(1)把多项式与多项式相乘的问题转化为单项式与单项式相乘的问题．
(2)计算时不要漏乘.
(3)多项式每一项的系数都包含前面的符号.
(3)最后结果应化成最简形式.
(2)原式=3mn m2+6n2 2mn
= m2+mn+6n2.
巩固练习
1. 计算：
(1) (2x+1)(x+3) ； (2) (m+2n)(3n m) .
解 (1)原式=2x2+6x+x+3
=2x2+7x+3.
降幂排列
(3) 原式=(a 1)(a 1)
=a2 a a+1
=a2 2a+1 .
巩固练习
1. 计算：
(3) (a 1)2 ； (4) (a+3b)(a 3b) .
乘方的意义
(4) 原式=a2 3ab+3ab 9b2
=a2 9b2.
(5) 原式=2x3 8x2 x+4.
巩固练习
1. 计算：
(5) (2x2 1)(x 4) ； (6) (x2+2x+3)(2x 5) .
(6) 原式=2x3 5x2+4x2 10x+6x 15
=2x3 x2 4x 15.
计算：
由上面计算的结果找关系：
(1) (x+2)(x+3) = ； (2) (x 4)(x+1) = ；
(3) (x+4)(x 2) = ； (4) (x 5)(x 3) = .
x2+5x+6
x2 3x 4
x2+2x 8
x2 8x+15
1、同一字母的两个一次二项式相乘，且字母系数为1
2、结果是二次三项式
4、结果一次项系数是原两个常数项的和
5、结果常数项是原两个常数项的积
3、二次项是这个相同字母的平方(x2)
合作探究
你能很快说出与(x+a)(x+b)相等的多项式吗？先猜一猜，再用多项式相乘的运算法则验证。
(x+a)(x+b)= x2+（a+b)x +ab
解：(x+a)(x+b)
=x +ax+bx+ab
＝x2+(a+b)x+ab
x
x
a
b
x2
ab
（a+b)x
二次项
一次项
常数项
合作探究
根据(2)中结论口答：
(1) (x+1) (x+2)= (2) (x+1) (x-2)=
(3) (x-1) (x+2)= (4) (x-1) (x-2)=
x2+3x+2
x2-x-2
x2+x-2
x2-3x+2
(4)若(x+a)(x+b)中不含x的一次项,则a与b的关系是 ( )
(A)a=b=0 (B)a-b=0 (C)a=b≠0 (D)a+b=0
D
做一做
合作探究
（1）(x + 2)(x + 3)；
= x2 + 5x + 6
= x2 – 3x – 4
（2）(x – 4)(x + 1)；
（3）(x + 4)(x – 2)；
= x2 + 2x – 8
= x2 – 8x + 15
（4）(x – 5)(x – 3)；
由上面计算的结果找规律，观察右图，填空：
(x + p)(x + q) = ( )2 + ( )x + ( ).
x2
x
x
p
q
qx
px
pq
x
p+q
pq
教材P107练习 第2题
（5）计算
巩固练习
教材P107练习
１. 计算：
（1）(2x + 1)(x + 3)；
（2）(m + 2n)(3n – m)；
（3）(a – 1)2；
（4）(a + 3b)(a – 3b)；
（１）原式＝
解：
2x·x + 2x·3 + 1·x + 1×3
= 2x2 + 6x + x + 3
= 2x2 + 7x + 3
m·3n + m·(–m) +2n·3n + 2n·(–m)
= 3mn – m2 + 6n2 – 2mn
= – m2 + mn + 6n2
（２）原式＝
巩固练习
教材P107练习
１. 计算：
（1）(2x + 1)(x + 3)；
（2）(m + 2n)(3n – m)；
（3）(a – 1)2；
（4）(a + 3b)(a – 3b)；
（３）原式＝
解：
（４）原式＝
(a – 1)(a – 1)
= a·a + a·(–1) + (–1)·a + (–1)×(–1)
= a2 – a – a + 1
= a2 – 2a + 1
a·a + a·(–3b) + 3b·a + 3b·(–3b)
= a2 –3ab + 3ab – 9b2
= a2 – 9b2
巩固练习
巩固练习
此处要添括号.
教材P107练习
归纳总结
整式的乘法——多项式乘以多项式 法则 一般地，多项式与多项式相乘，先用 .乘 ，再把 相加.
联系 单项式与单项式相乘 多项式与多项式相乘
一个多项式的每一项
另一个多项式的每一项
所得的积
转化
感受中考
B
感受中考
2.（2024·湖北随州）设有边长分别为a和b(a>b)的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
C
感受中考
3.（2025福建泉州）先化简，再求值：(x 2)(x+2)+x2(x 1)，其中x= 1．
解 原式=x2 4+x3 x2
=x3 4，
当x= 1时，原式= 5．
小结梳理
多项式乘多项式
运算法则
注意
不要漏乘；正确确定各项符号；结果要最简
字母表示：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
文字表示：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
计算原理：乘法分配律转化为单项式×多项式的运算
(x+a)(x+b)= x2+（a+b)x +ab
人教版2024
感谢观看！
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