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16.2 整式的乘法
第十六章 整式的乘法
第 4 课时 整式的除法
学习目标
1. 理解并掌握同底数幂的除法法则；（重点）
2. 探索整式除法的三个运算法则，能够运用其进行计算.（难点）
有理数
整数
分数
加
减
乘
除
用字母表示数
乘方
类比
数式通性
代数式
整式
···
加
减
乘
除
复习引入
讲授新课
同底数幂的除法
一
探究发现
1. 计算：
（1）25×23 = ？ （2）x6 · x4 =
（3）2m×2n = ？
28
x10
2m+n
2. 利用1中所填的结果填空。
(1) 28 ÷23 =
(2) x10÷x6 =
(3) 2m+n÷2n =
= 28 - 3
= x10 - 6
= 2(m + n) - n
观察2的计算过程，你能发现什么规律？
（1）都是同底数幂的除法；
（2）底数不变，指数相减。
4. 试猜想：am÷an =
(a ≠ 0，m，n 都是正整数，且 m > n)
am÷an = am-n.
验证：因为 am-n · an = am-n+n = am，所以 am÷an = am-n.
一般地，我们有
am÷an = am-n (a≠0，m，n 都是正整数，且 m > n).
即 同底数幂相除，底数不变，指数相减.
知识要点
同底数幂的除法
想一想：am÷am = (a≠0)
am÷am = 1，根据同底数幂的除法法则可得 am÷am = a0.
规定
a0 = 1 (a≠0).
这就是说，任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1.
典例精析
例1 计算：
（1）x8÷x2 ； (2) (ab)5÷(ab)2.
解：(1) x8÷x2 = x8-2 = x6.
(2) (ab)5÷(ab)2 = (ab)5-2 = (ab)3 = a3b3.
针对训练
1.计算：（课本109页练习）
方法总结：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算．
例2 已知 am＝12，an＝2，a＝3，求 am－n－1 的值．
方法总结：解此题的关键是逆用同底数幂的除法，对 am－n－1 进行变形，再整体代值计算．
解：∵ am＝12，an＝2，a＝3，
∴ am－n－1＝am÷an÷a＝12÷2÷3＝2.
单项式除以单项式
二
探究发现
（1）计算：4a2x3 · 3ab2 = ；
（2）计算：12a3b2x3 ÷ 3ab2 = .
12a3b2x3
4a2x3
解法2：原式 = 4a2x3 · 3ab2 ÷ 3ab2 = 4a2x3.
理解：上面的商式 4a2x3 的系数 4 = 12÷3；a 的指数 2 = 3 - 1，b 的指数 0 = 2 - 2，而 b0 = 1，x 的指数 3 = 3 - 0.
解法1：12a3b2x3÷3ab2 相当于求 ( ) · 3ab2 = 12a3b2x3，由 (1) 可知括号里应填 4a2x3.
单项式相除, 把系数、同底数的幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式.
知识要点
单项式除以单项式的法则
商式 ＝ 系数 同底数的幂 被除式里单独有的幂
底数不变，
指数相减
保留在商里作为因式
被除式的系数
除式的系数
典例精析
例2 计算：
(1) 28x4y2÷7x3y；
(2) -5a5b3c÷15a4b.
= 4xy.
(2) 原式 = (-5÷15)a5-4b3-1c
解：(1) 原式 = (28÷7)x4-3y2-1
= ab2c.
练一练
(1) 4a8÷2a2 = 2a4 ( )
(2) 10a3÷5a2 = 5a ( )
(3) (-9x5)÷(-3x) = -3x4 ( )
(4) 12a3b÷4a2 = 3a ( )
1. 下列计算是否正确？如果错了，应怎样改正？
×
×
×
×
系数相除
只在被除式里含有的一个字母，要连同它的指数写在商里，防止遗漏.
求系数的商，应注意符号
2a6
2a
3x4
3ab
同底数幂的除
法，底数不变，
指数相减
多项式除以单项式
三
问题1 一幅长方形油画的长为 a + b，宽为 m，求它的面积.
面积为 (a + b)m = ma + mb
问题2 若已知油画的面积为 ma + mb，宽为 m，如何求它的长？
(ma + mb)÷m
问题3 如何计算 (am + bm)÷m
计算 (am + bm)÷m 就相当于求 ( ) · m = am + bm，
又知 am÷m + bm÷m = a + b，
即 (am + bm)÷m = am÷m + bm÷m.
所以 (am + bm)÷m = a + b，
因此不难想到括里应填 a + b.
知识要点
多项式除以单项式的法则
多项式除以单项式，就是用多项式的 除以这个 ，再把所得的商 .
单项式
每一项
相加
关键：
应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.
典例精析
例3 计算 (12a3 - 6a2 + 3a)÷3a.
解：(12a3 - 6a2 + 3a)÷3a
= 12a3÷3a + (-6a2)÷3a + 3a÷3a
= 4a2 - 2a + 1.
方法总结：多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决．计算过程中，要注意符号问题.
针对训练
1.计算：（课本109页练习）
课堂小结
整式的除法
同底数幂的除法
单项式除以单项式
底数不变，指数相减
1. 系数相除；
2. 同底数的幂相除；
3. 只在被除式里的因式照搬作为商的一个因式
多项式除以单项式
转化为单项式除以单项式
课堂小结
拓展：多项式除以多项式

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