资源简介

《等差数列》 第1 课时 教学设计
内容分析
等差数列是现实生活中一类重要的数学模型，通过现实生活中的一些数列归纳出等差数列的定义，进一步推导出等差数列的通项公式。理解等差数列的两个基本量首项和公差。初步了解的函数关系，并能了解等差数列任意两项间的关系。
二、教学目的
1.通过现实生活中的实例认识等差数列的概念
2.理解等差数列通项公式的含义
3.掌握等差数列通项公式的推导过程及应用
4.会用等差数列的概念、性质和通项公式解决一些简单问题
三、重点难点
重点：理解等差数列通项公式的含义
难点：掌握等差数列通项公式的推导过程及应用
四、核心素养
○直观想象、●数学运算、●数据分析、●数学抽象、●逻辑推理、●数学建模．
五、教学准备
课件；联网演示电脑.
六、教学流程
问题导入 ->新知探究 ->典例剖析 ->练习巩固 ->归纳小结
七、教学过程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 时间分配
（一） 问题导入 问题1：在现实生活中，我们会遇到下面的特殊数列，它们有什么共同特征？（1）全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码（单位： cm）由大至小可组成数列25，24.5，24，23.5，23，22．5，22，21.5，21． ①（2）某住宅小区 2013—2017 年的绿化建设有如下数据：2013—2017 年各年的绿化覆盖率组成数列 15.8%，17.8%，19.8%，21.8%，23.8%． ②（3）黄白两种颜色的正六边形按如图1．2-1的规律拼成一系列图案．图案中白色正六边形的个数依次构成数列 6，10，14，……． ③ 1. 观察三个数列，归纳它们的共同特征。 在实际问题中发现等差数列的基本特征 5分钟
（二） 新知探究 1.研究这些数列的特征及变化规律，我们可以发现： 对于数列①25，24.5，24，23.5，23，22．5，22，21.5，21．从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 -0.5；对于数列②15.8%，17.8%，19.8%，21.8%，23.8%．从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于2%；对于数列③ 6，10，14，……．从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 4． 问题2：总结这三个数列的共同特征，这些数列的共同特征可以一般性的如何表述？从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数．一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母 表示。数列①、②、③均为等差数列，公差分别为-0.5，2%，4．显然，若数列为等差数列，那么它的递推关系为： 问题3：数列的通项公式决定了数列的每一项，也就决定了数列的全部性质，那么我们能否找到等差数列的通项公式呢？若等差数列的首项，公差为 ，那么根据等差数列的定义可得： 法一：进而移项可得： ……猜想： 法二：将上述个式子相加得到，所以 总结三个实例中的数列的特征，总结出等差数列的定义，及递推式。2.分别通过归纳猜想和累加法得到等差数列的通项公式 1渗透从特殊到一般的数学思想2.合情推理是我们发现新知识的重要方法；从特殊到一般到特殊。初步了解累加法，严谨的推理是数学的生命 15分钟
（三） 典例剖析 例1 已知数列是等差数列．（1）如果，，求公差 和 ；（2）如果，，求公差 和a10 ．例2 证明：三数成等差数列的充要条件是 ．在两个数之间插入数，使成等差数列，则 称为与的等差中项． 称为与的等差中项 ．例3 已知等差数列{an} 的前4项分别为8，5，2，-1. （1）求该数列的第20项（2）试问-121 是不是该等差数列的项 如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由．该数列共有多少项位于区间[-200，0]内 学生动手演练后，利用授课助手，展示学生练习，并点评小结解法。 1.例1通过对等差数列通项公式的简单应用，帮助学生理解几个基本量，之间的基本关系，知道三个可以求另外一个。2.例2以例题的形式给出等差数列的一个重要性质：等差中项，可以作为等差数列的判定方法。3.例3对等差数列通项公式的综合应用 10分钟
（四）练习巩固 1.已知数列是等差数列（1）如果，求公差及。（2）如果，求公差和。2.等差数列中，，求公差和 利用授课助手，展示学生练习。通过练习进一步巩固等差数列中的基本量的计算，并揭示等差数列的重要性质。 通过练习，巩固所学知识，发现学生错误并及时总结升华。 5分钟
（五）归纳小结 本节课学习了一些？ 使用展示本节课的主要内容. 系统梳理整节课所学内容. 3分钟
八、板书设计
大致板书如下：
等差数列的定义2.累加法推导等差数列的通公式 3.等差中项4.等差数列的性质（讲课草稿演算区）
PAGE(共16张PPT)
等差数列
第1课时
情景与问题
等差数列及其通项公式
年份 2020 2021 2022 2023 2024
15.8 17.8 19.8 21.8 23.8
(1)全国统一鞋号中,成年女鞋的各种尺码(单位:)由大至小可组成数列
25，24.5，24，23.5，23，22.5，22，21.5，21 ①
(2)某住宅小区2020至2024年的绿化建设有如下数据:
2020至2024年各年的绿化覆盖率组成数列:
15.8，17.8，19.8，21.8，23.8 ②
等差数列及其通项公式
(3)黄白两种颜色的正六边形按如图的规律拼成一系列图案,图案中白色正六边形的个数依次构成数列:
6，10，14,... ③
等差数列及其通项公式
这些数列①、②、③有什么共同特点呢
25，24.5，24，23.5，23，22.5，22，21.5，21 ①
15.8，17.8，19.8，21.8，23.8 ②
6，10，14，... ③
等差数列及其通项公式
对于数列①式,从第2项起,每一项与前一项的差都等于-0.5
25，24.5，24，23.5，23，22.5，22，21.5，21 ①
15.8，17.8，19.8，21.8，23.8 ②
6，10，14，... ③
对于数列②式,从第2项起,每一项与前一项的差都等于
对于数列③式,从第2项起,每一项与前一项的差都等于
25 24.5 24 23.5 23,22.5,22,21.5,21 ①
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
15.8 17.8,19.8 21.8,23.8
4
6 10,14,...
②
③
观察这些数列的变化规律，通过计算，我们可以发现:
等差数列及其通项公式
以上3个数列的共同特点:
从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数.
25，24.5，24，23.5，23，22.5，22，21.5，21 ①
15.8，17.8，19.8，21.8，23.8 ②
6，10，14，... ③
知识讲解
等差数列及其通项公式
那么等差数列是什么呢
因此通项公式是研究数列的重要依据
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数,那么这个数列称为等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母表示
25，24.5，24，23.5，23，22.5，22，21.5，21①
15.8，17.8，19.8，21.8，23.8②
6，10，14，... ③
%
等差数列及其通项公式
思考：如何根据等差数列的定义推导它的通项公式
25,24.5,24,23.5,23,22.5,22,21.5,21 ①
15.8,17.8,19.8,21.8,23.8
6,10,14,... ③
②
一般地,如果数列的首项为,公差为
那么根据等差数列的定义,可以得到:
,
,
,
...,
这个等式相加得
由此得到
等差数列及其通项公式
当时,该等式的两边均是,这表明该等式对任意
都成立,因而它就是等差数列的通项公式
问题解决
等差数列及其通项公式
已知数列{an}是公差为d的等差数列.
(1)若a3=2，a6=-4，求公差d和a1，a8.
(2)若a =3，d=6，an=57，求n.
解:
(1)由等差数列的通项公式，得a3= a +2d=2， a6 = a +5d=-4,
将它们联立组成方程组，解得.因此a8 = a +7d=-8.
(2) 由等差数列的通项公式，得an = a +(n-1)d=3+(n-1)×6=57.
解得n=10.
例1
等差数列及其通项公式
证明:a，b，c三个数成等差数列的充要条件是2b=a+c.
证明:
如果a，b，c成等差数列，由等差数列的定义得b-a=c一b，
那么 2b=a+c.
反过来，如果 2b=a+c，那么b-a=c-b，由等差数列的定义知，a，b，c成等差数列.
因此，a，b，c三个数成等差数列的充要条件是2b=a+c.
在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，则M称为a与b的等差中项.
例2
等差数列及其通项公式
已知等差数列{an}的通项公式为an =一3n+11.
(1)试问-121是不是该数列的项 如果是，指明是第几项;如果不是，试说明理由.
(2) 计算a1+a20，a2+a19的值.
(3)若k+l=m+n(k，l，m，n∈N+)，求证:ak+al=am+an.
(1)若-121是等差数列{an}的某一项，则方程-3n+11=-121有正整数解.解这个方程，得n=44，故-121是该等差数列的第44项.
(2) 由通项公式得a=-3×1+11=8，a2=-3×2+11=5， a19 =-3×19+11=-46，
a20 =-3×20+11=-49.因此a1 + a20 =-41， a2 +a19 =-41.
(3)由通项公式得ak =-3k+11， al =-3l+11， am =-3m+11， an =-3n+11，
于是ak + al =-3(k+l)+22，am+an=-3(m+n)+22.
又k+l=m+n,因此， ak+ al=am+an.
例3
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