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华东师大版（2024）数学7年级上册
第4章 相交线和平行线
章末复习
相交线和平行线
相交线
对顶角相等
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
平行线
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
平行线的判定
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
平行线的性质
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
# 幻灯片分页内容：第四章 相交线和平行线 章末复习
## 第1页：复习导入——构建几何逻辑体系
- 回顾提问：
1. 本章的核心是研究哪两种直线关系？（相交线、平行线）
2. 围绕这两种关系，我们学习了哪些重要角和性质？（对顶角、同位角、内错角、同旁内角；对顶角相等、平行线的判定与性质等）
- 导入语：本章是几何入门的核心章节，从两条直线的位置关系出发，探索了角的特征、直线的性质及实际应用，为后续几何证明和计算奠定基础。今天我们系统梳理本章知识，强化逻辑推理，解决典型题型。
- 知识框架预览：展示“相交线（对顶角、垂线）→ 三线八角（同位角、内错角、同旁内角）→ 平行线（判定→性质）→ 实际应用”的逻辑脉络图。
## 第2页：核心模块1——相交线的性质与应用
- 1. 对顶角：
- 定义：两条直线相交，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角；
- 性质：对顶角相等（几何计算的基础依据）；
- 例题：直线AB、CD相交于O，∠AOC=70°，则∠BOD=70°（对顶角相等），∠BOC=110°（邻补角互补）。
- 2. 垂线：
- 定义：两直线相交成90°（直角），则互相垂直（记作AB⊥CD），交点为垂足；
- 核心性质：① 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；② 垂线段最短（点到直线的距离是垂线段的长度）；
- 应用：测量跳远成绩、建筑中确定垂直方向。
- 易错提醒：区分“垂线”（直线）和“垂线段”（线段），距离是长度而非图形。
## 第3页：核心模块2——三线八角的识别（判定与性质的前提）
- 1. 基本构成：
- 被截线（两条直线）、截线（第三条直线），共形成8个角（三线八角）。
- 2. 三种角的识别技巧（位置特征+形状口诀）：
- 同位角：同旁同侧（截线同一侧，被截线同一方向）→ 像“F”形；
- 内错角：两侧之间（截线两侧，被截线之间）→ 像“Z”形；
- 同旁内角：同旁之间（截线同一侧，被截线之间）→ 像“U”形。
- 例题：如图，直线a、b被c所截，找出图中的同位角（∠1与∠5）、内错角（∠3与∠5）、同旁内角（∠3与∠6）。
- 关键提醒：先确定“三线”（谁是被截线、谁是截线），再按位置特征判断，避免因混淆截线和被截线导致误判。
## 第4页：核心模块3——平行线的判定（角→线的逻辑）
- 1. 三种核心判定方法：
- ① 同位角相等，两直线平行；
- ② 内错角相等，两直线平行；
- ③ 同旁内角互补，两直线平行。
- 2. 判定思路：通过角的数量关系（相等或互补），推导直线的位置关系（平行）。
- 例题：如图，∠1=∠2（内错角），求证a∥b。
- 证明：∵ ∠1=∠2（已知），∴ a∥b（内错角相等，两直线平行）。
- 拓展应用：结合对顶角、邻补角转化角的关系，再判定平行（如∠1=∠3，∠3=∠2，∴ ∠1=∠2，进而判定平行）。
## 第5页：核心模块4——平行线的性质（线→角的逻辑）
- 1. 三种核心性质：
- ① 两直线平行，同位角相等；
- ② 两直线平行，内错角相等；
- ③ 两直线平行，同旁内角互补。
- 2. 性质思路：已知直线平行（位置关系），推导角的数量关系（相等或互补）。
- 例题：如图，a∥b，∠1=110°，求∠2的度数。
- 解：∵ a∥b（已知），∴ ∠1=∠3（两直线平行，同位角相等），又∵ ∠3=∠2（对顶角相等），∴ ∠2=110°。
- 关键提醒：性质是判定的逆用，逻辑方向不可颠倒。
## 第6页：重点题型——平行线的判定与性质综合应用
- 1. 综合解题步骤：
- 第一步：找“三线八角”，明确角的类型；
- 第二步：根据已知条件，判断是“判定”（角→线）还是“性质”（线→角）；
- 第三步：结合对顶角、邻补角等知识，转化角的关系，逐步推导。
- 例题：如图，AB∥CD，EF交AB于E，交CD于F，∠AEF=60°，求∠DFE的度数。
- 解：∵ AB∥CD（已知），∴ ∠AEF + ∠DFE=180°（两直线平行，同旁内角互补），又∵ ∠AEF=60°，∴ ∠DFE=120°。
- 变式例题：如图，∠1=∠2，∠3=100°，求∠4的度数。
- 解：① 判定平行：∵ ∠1=∠2（已知），∠1=∠5（对顶角相等），∴ ∠2=∠5，∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；② 应用性质：∵ AB∥CD，∴ ∠3 + ∠4=180°（同旁内角互补），∴ ∠4=80°。
## 第7页：易错点辨析与纠正（高频错题突破）
- 易错点1：混淆“判定”与“性质”（逻辑方向颠倒）
- 错误：已知a∥b，推出“内错角相等”，误称为“判定”；
- 纠正：判定是“角→线”（由角的关系推平行），性质是“线→角”（由平行推角的关系）。
- 易错点2：三线八角识别错误（截线与被截线混淆）
- 错误：将截线当成被截线，导致角的类型判断错误；
- 纠正：先看哪两条直线被第三条直线交叉连接，交叉的是截线，被连接的是被截线。
- 易错点3：同旁内角判定时忽略“互补”
- 错误：认为同旁内角相等时两直线平行；
- 纠正：同旁内角必须满足“和为180°（互补）”，才能判定平行。
- 易错点4：垂线性质应用错误
- 错误：认为“过一点可以画多条直线与已知直线垂直”；
- 纠正：过一点（直线上或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直。
## 第8页：实际应用与拓展
- 1. 生活中的平行关系应用：
- 建筑：平行的铁轨、门窗的对边，利用平行线确保结构整齐；
- 测量：利用平行线性质测量河流宽度、建筑物高度（通过同位角或内错角转化）；
- 稳定性与灵活性：三角形稳定性（自行车车架）、四边形不稳定性（伸缩门）。
- 2. 拓展题型：折叠问题中的平行关系
- 例题：将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若AB∥CD，∠1=50°，求∠2的度数（提示：折叠前后角相等，结合平行线性质推导）。
## 第9页：课堂小结与巩固练习
- 核心知识回顾：
- 两个核心关系：相交线（对顶角相等、垂线性质）、平行线（判定与性质）；
- 一个关键桥梁：三线八角（识别是判定和性质的前提）；
- 一个核心逻辑：角的关系→直线平行（判定）；直线平行→角的关系（性质）。
- 巩固练习：
1. 填空：
- 对顶角______；过一点有且只有______条直线与已知直线垂直；
- 两直线平行，______角相等，______角互补；
- 若∠1与∠2是同旁内角，∠1=60°，则∠2=______（提示：需结合平行关系）。
2. 解答题：
- 如图，AB∥CD，∠B=70°，∠D=30°，求∠BED的度数（提示：过E作EF∥AB）。
3. 证明题：
- 如图，∠1=∠2，∠A=∠D，求证：AB∥CD（提示：先证AD∥BC，再证AB∥CD）。
本章回顾
1.对顶角：有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向
延长线，这样的两个角互为对顶角.（如图中∠1和∠2）
对顶角的性质：对顶角相等.
注意：
（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角.
2.邻补角：两条直线相交所形成的4个角中，有公共点且有一条公共边的两个角是邻补角（如图中∠1和∠2）
邻补角的性质：同角的补角相等.
1
2
4
3
∠1和∠2互补， ∠1和∠4互补
所以∠2= ∠4（同角的补角相等）
3.垂线性质：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短.
（1）垂线与垂线段
区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度.
联系：具有垂直于已知直线的共同特征 (垂直的性质).
（2）两点间距离与点到直线的距离
区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间.
联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离.
4.平行线的概念
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线 a 与直线 b 互相平行，记作 a∥ b.
在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种：
①相交；②平行.
（2）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）.
5.平行公理的推论
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
注意：
（1）平行公理中的“有且只有”包含两层意思：一是存在性；二是唯一性.
（2）平行具有传递性，即如果 a∥ b，b∥ c，则 a∥ c.
6.如何判别同位角、内错角、同旁内角
方法：判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全.
如图，判断下列各对角的位置关系：
(1)∠1与∠2；
(2)∠1与∠7；
(3)∠1与∠BAD；
(4)∠2与∠6；
(5)∠5与∠8.
∠5与∠8对顶角.
∠1与∠2是同旁内角；
∠1与∠7是同位角；
∠1与∠BAD是同旁内角；
∠2与∠6是内错角；
（1）同位角相等，两直线平行（在同一平面内）；
（2）内错角相等，两直线平行（在同一平面内）；
（3）同旁内角互补，两直线平行（在同一平面内）；
（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
补充：
（5）在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行.
7.平行线的判定
（1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内）；
（2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内）；
（3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内）.
8.平行线的性质
如图，点A 、B、C在同一条直线上，∠1 = 53°，∠2 = 37°，则 CD 与 CE 垂直吗？
CD与CE垂直
如图，直线 AB、CD 相交于点 E，∠BEF = 40°，∠CEF = 85°，则 ∠AED =_______°.
125
第1题图
第2题图
A 组
如图，直线 AB、CD 相交于点 E，EF 平分 ∠AED，∠DEF = 55°，则 ∠BEC =________°
如图，某地为了加快乡村振兴，要从村庄 Р 修一条村道，使村民自村庄 Р 出发到公路的距离最短，试画出这条村道，并说明理由.
垂线段最短
110
第3题图
第4题图
如图，经过直线 a 外一点 P 的 4 条直线中，与直线 a 平行的直线是________.
PB
如图，如果 AB // CD，那么 ∠A 与∠C________.
互补
第5题图
第6题图
如图，如果∠1 =∠3，那么直线 a 与 b 平行吗？当∠2与∠3 满足什么关系时，直线 a 与 b 平行？
直线 a 与 b平行
满足互补关系时直线 a 与 b 平行
8.如图，a、b、c、d均为直线. 如果希望a∥b，那么需要∠1至∠5中哪两个角相等？如果希望c∥d，那么需要∠1至∠5中哪两个角互补？
b
a
c
d
5
4
1
2
3
如果a∥ b则∠3=∠4
如果c∥ d则∠1与∠4互补
B 组
9.如图，已知平行直线 a、b 被直线 l 所截. 如果∠1 = 75°，那么∠2=_____°，∠3 =_____°，∠4 =_____°，∠5 =______°，∠6=______°，∠7=____°，∠8=____°.
105
75
105
75
105
75
105
l
10.如图，直线 a // b，∠3 = 85°，求 ∠1、∠2 的度数，阅读下面的解答过程，并填空 (理由或数学式).
解 : ∵a // b （ ），
∴∠1 = ∠4（ ）.
∴∠4 = ∠3（ ），
∠3 = 85°（ ）
∴ ∠1=（ ）（等量代换）.
又∵∠2 +∠3 = 180°，
∴∠2 =（ ）（等式的性质）.
已知
两直线平行，同位角相等
对顶角相等
已知
85°
95°
11.如图，已知 AC⊥AE，BD⊥BF，∠1 = 35°，∠2 = 35°，则 AC 与BD 平行吗？AE 与 BF 平行吗？阅读下面的解答过程，并填空(理由或数学式).
解 ∵∠1 = 35°（ ），∠2 = 35°（ ） ，
∴ ∠1 = ∠2（ ），
∴（ ）//（ ）（ ）.
又∵ AC⊥ AE（ ），
∴∠EAC = 90°，
∴∠EAB = ∠EAC+∠1 =（ ）（等式的性质）.
同理可得 ∠FBG = ∠FBD +∠2 =（ ）.
∴∠EAB =（ ）（等量代换），
∴（ ）//（ ）（ ）.
已知
等量代换
AC
BD
同位角相等，两直线平行
已知
125°
125°
∠FBG
AE
BF
同位角相等，两直线平行
已知
12.如图，如果 AB // CD，∠B = 37°，∠D = 37°，那么 BC 与 DE 平行吗？阅读下面的解答过程，并填空(理由或数学式).
解: ∵AB // CD（ ） ，
∴∠B = （ ）（ ）.
∵∠B =∠D = 37°（ ），
∴（ ） = ∠D（ ） ，
∴BC // DE（ ）.
已知
∠C
两直线平行，内错角相等
已知
∠C
等量代换
内错角相等，两直线平行
13.如图，我们知道，2 条直线相交只有 1 个交点，3 条直线两两相交最多能有 3 个交点，4 条直线两两相交最多能有 6 个交点，5 条直线两两相交最多能有 10 个交点，6 条直线两两相交最多能有 15 个交点……n 条直线两两相交呢？
n(n-1)个交点
C 组
14.潜望镜中，两面镜子互相平行放置. 你知道为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线平行吗？
1
2
3
4
5
6
所以两条光线平行（内错角相等，两直线平行）
解： ∵∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2，∠3=∠4
∴∠1=∠2=∠3=∠4
∵∠5=180°-∠1-∠2
∠6=180°-∠3-∠4
∴∠5=∠6
15.如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角的大小有什么关系呢
此时，小红首先想到如图所示的图形．她发现这两个角应该相等.
你知道其中的原因吗 你是否还能发现其他图形呢 画出所有可能的情况，探究归纳你所得到的结论.
A
B
C
D
E
F
G
(1)
∴ ∠B=∠E
A
B
C
P
M
N
O
(2)
∴ ∠B + ∠PMN=180°
（1）
∵ AB∥ DE
∴ ∠B = ∠DGC
∵ BC∥ EF
∴ ∠DGC = ∠E
（2）
∵ AB∥ PM
∴ ∠B + ∠BOP=180°
∵ BC∥ MN
∴∠PMN = ∠BOP
相等
互补
（3）相等
结论:如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行,那么这两个角相等或互补.
（4）互补
（3）
（4）
核心知识巩固
一、基础考点演练
考点1 对顶角的概念及性质
1.如图，对顶角共有( )
A
（第1题）
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对
返回
2.如图，直线，相交于点，已知 ，把 分
成两部分，且，则 _____.
（第2题）
返回
考点2 垂线的概念及性质
3.如图，直线，相交于点，于 ，
， 的度数是( )
D
A. B. C. D.
返回
4.下列选项中，过点作直线 的垂线，三角板放置正确的是( )
B
A. B. C. D.
返回
5.如图，在一张透明的纸上画一条直线，在外任取一点 ，并折出过点
且与 垂直的直线，能折出这样的直线的条数为___.
1
返回
6.（4分）如图，直线、交于点，平分， ，
，求 的度数.
解：平分， ，
.
， ，
.
返回
考点3 垂线段及点与直线的距离
7.如图，某村庄要在河岸上建一个水泵房引水到 处.他们的做法是：过
点作于点，将水泵房建在了 处，这样做最节省水管长度，其
依据是____________.
垂线段最短
（第7题）
返回
8.如图，于，于，， ，
，， .
（第8题）
（1）点到直线的距离为_____ ；
（2）点到直线的距离为____ ；
（3）点到直线的距离为___ .
4.8
6
返回
考点4 同位角、内错角、同旁内角
9.［2025南阳期末］下列判断错误的是( )
C
A.与是同旁内角 B.与 是内错角
C.与是同旁内角 D.与 是同位角
返回
考点5 平行线的概念、性质与画法
10.如图，在方格纸中，找出互相平行的线段，并用符号表示出来：
__________________.
,
返回
11.如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子 所在
的直线与地面 ______，理由是_________________________________
_____________.
相交
过直线外一点有且只有一条直线与
这条直线平行
返回
12.已知同一平面内的三条直线，， ，下列错误的是( )
D
A.，， B.，，
C.，， D.，，
返回
13.（4分）［2025太原月考］如图，直线与相交于点 ，直线外
有一点，过点画，过点画，垂足为 .
解：如图所示.
返回
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