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华东师大版（2024）数学7年级上册
第3章 图形的初步认识
章末复习
知识结构
图形的初步认识
立体图形
平面图形
投影
中心投影
平行投影
表面展开图
两点之间线段最短
两点确定一条直线
视图
点和线
角
同角或等角的余角相等
同角或等角的补角相等
整合归纳
从不同方向看立体图形与立体图形的展开图都体现了立体图形与平面图形的相互转化，这需要一定的空间想象能力和动手操作能力，并熟悉立体图形与平面图形相互转化时的对应关系.
立体图形与平面图形的相互转化
# 幻灯片分页内容：第三章 图形的初步认识 章末复习
## 第1页：复习导入——梳理图形知识脉络
- 回顾提问：
1. 本章我们认识了哪些基本图形？（点、线、角、平面图形、立体图形）
2. 图形之间有哪些重要关系和性质？（对顶角相等、垂线性质、平行线判定等）
- 导入语：本章从生活中的立体图形入手，逐步探索平面图形、点线角的概念，以及相交线、平行线的相关性质，为几何学习打下基础。今天我们系统复习本章核心知识，巩固重点题型，提升图形分析和应用能力。
- 知识框架预览：展示“立体图形→平面图形→点、线、角→相交线与平行线→图形性质应用”的知识脉络图。
## 第2页：核心概念1——立体图形与平面图形
- 1. 立体图形：
- 定义：占有空间，具有长、宽、高三个维度的图形（如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球体）；
- 视图：主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）——由立体图形画视图，由视图还原立体图形。
- 2. 平面图形：
- 定义：所有点都在同一平面内，只有长、宽两个维度的图形（如三角形、四边形、圆形、多边形）；
- 联系：立体图形的每个面都是平面图形，将立体图形展开可得到平面展开图（如正方体展开图有11种基本形式）。
- 例题：
- 下列图形中，属于立体图形的是（ ）（给出选项：长方形、圆柱、三角形、圆形）；
- 画出正方体的主视图、左视图和俯视图（均为正方形）。
## 第3页：核心概念2——点、线、角的基础
- 1. 点与线：
- 点：构成图形的基本元素，无大小，表位置（用大写字母表示）；
- 线段：2个端点，有限长，可测量（表示：线段AB）；
- 射线：1个端点，无限长，单向延伸（表示：射线OA，端点在前）；
- 直线：无端点，无限长，双向延伸（表示：直线AB）；
- 直线公理：两点确定一条直线。
- 2. 角的定义与分类：
- 定义：由两条有公共顶点的射线组成（静态），或一条射线绕端点旋转形成（动态）；
- 分类：锐角（0°<α<90°）、直角（α=90°）、钝角（90°<α<180°）、平角（α=180°）、周角（α=360°）。
- 例题：
- 下列说法正确的是（ ）：
A. 直线比射线长（错误，均无限长）；
B. 射线OA与射线AO是同一条射线（错误，端点不同）；
C. 两点确定一条直线（正确）。
## 第4页：角的相关运算与性质
- 1. 角的度量与换算：
- 单位：度（°）、分（′）、秒（″），60进制（1°=60′，1′=60″）；
- 工具：量角器（中心点对齐顶点，0刻度线对齐一边，读另一边刻度）。
- 2. 角的运算：
- 和差：∠AOC=∠AOB+∠BOC（OB在∠AOC内部）；
- 角平分线：从顶点出发，将角分成两个相等角的射线（若OB平分∠AOC，则∠AOB=∠BOC=1/2∠AOC）。
- 3. 余角与补角：
- 余角：和为90°的两个角（同角/等角的余角相等）；
- 补角：和为180°的两个角（同角/等角的补角相等）。
- 例题：
- 计算：35°30′+25°40′=61°10′；90°-42°15′=47°45′；
- 若∠α=50°，则它的余角是40°，补角是130°。
## 第5页：相交线的性质
- 1. 对顶角：
- 定义：两条直线相交，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角；
- 性质：对顶角相等（如∠1=∠3，∠2=∠4）。
- 2. 垂线：
- 定义：两直线相交成直角（90°），则互相垂直（记作AB⊥CD），交点为垂足；
- 性质：① 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；② 垂线段最短（点到直线的距离是垂线段的长度）。
- 例题：
- 如图，直线AB与CD相交于O，∠AOC=60°，则∠BOD=60°（对顶角相等），∠BOC=120°（邻补角互补）；
- 过直线外一点P画已知直线l的垂线，能画1条。
## 第6页：平行线的判定与性质
- 1. 三线八角：
- 同位角（同旁同侧，F形）、内错角（两侧之间，Z形）、同旁内角（同旁之间，U形）。
- 2. 平行线的判定（角→线）：
- ① 同位角相等，两直线平行；② 内错角相等，两直线平行；③ 同旁内角互补，两直线平行。
- 3. 平行线的性质（线→角）：
- ① 两直线平行，同位角相等；② 两直线平行，内错角相等；③ 两直线平行，同旁内角互补。
- 例题：
- 如图，直线a、b被c所截，∠1=∠2（内错角），则a∥b（内错角相等，两直线平行）；
- 若a∥b，∠3=110°，则∠4=110°（两直线平行，同位角相等）。
## 第7页：图形的组合与应用
- 1. 平面图形的组合：
- 由基本平面图形（三角形、长方形、圆形等）组合成复杂图形（如国旗、交通标志）；
- 三角形的稳定性（如自行车车架）、四边形的不稳定性（如伸缩门）。
- 2. 实际应用场景：
- 建筑设计：利用垂线确保墙壁垂直地面，利用平行线设计平行的铁轨、门窗；
- 测量问题：利用垂线段最短测量跳远成绩，利用平行线性质测量不可直接到达的距离。
- 例题：
- 一个长方形窗框，为了防止变形，需要在对角线上加一根木条，利用的是三角形的稳定性；
- 测量从点P到直线l的距离，步骤是：① 过P作l的垂线，垂足为O；② 测量PO的长度，即为距离。
## 第8页：易错点辨析与纠正
- 易错点1：图形概念混淆
- 错误：认为平角是一条直线、周角是一条射线（忽略顶点和边）；
- 纠正：平角有顶点和两条反向边，周角有顶点和两条重合边，都是角。
- 易错点2：角的换算错误
- 错误：1°=100′（混淆十进制和60进制）；
- 纠正：牢记1°=60′，1′=60″，如1.5°=90′，2°30′=2.5°。
- 易错点3：平行线判定与性质颠倒
- 错误：已知a∥b，推出“内错角相等”（性质），误称为判定；
- 纠正：判定是“角→线”，性质是“线→角”，逻辑方向不可颠倒。
- 易错点4：垂线与垂线段混淆
- 错误：点到直线的距离是垂线段（图形）；
- 纠正：距离是垂线段的长度（数值），垂线段是图形。
## 第9页：课堂小结与巩固练习
- 核心知识回顾：
- 一个基础：点、线、角是构成图形的基本元素；
- 两个重点：相交线（对顶角、垂线）、平行线（判定与性质）；
- 三个关键：角的运算、图形的视图与还原、实际问题中的图形应用。
- 巩固练习：
1. 填空：
- 经过两点有且只有______条直线；
- 对顶角______，垂线段______；
- 两直线平行，______角相等，______角互补。
2. 计算：
- 58°45′+67°30′=______；180°-75°20′=______。
3. 解答：
- 如图，直线AB∥CD，EF交AB于E，交CD于F，∠1=50°，求∠2、∠3的度数。
4. 画图：
- 画出三棱柱的主视图、左视图和俯视图；
- 过点P作直线AB的垂线和平行线。
类型1 从不同方向看立体图形
1. 如图是某几何体从正面看，从左面看和从上面看得到的图形，则其侧面积为（ ）
A. 6 B. 4π
C. 6π D. 12π
直径为2
高为3
2π×3＝6π
C
类型2 几何图形的展开与折叠
2. 过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其展开图正确的为（ ）
B
线段、角的有关计算
在线段或角的计算问题中，要注意中点，等分点，角的平分线，等分线及和、差、倍、分关系，将要求的线段或角转化为已知线段或角的关系式，从而求解.
类型1 线段的和、差、倍、分
3. 已知线段AB＝4.8cm，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，点E在AB上，且CE＝ AC，请画出并计算线段DE的长.
解：因为AB＝4.8cm，C是AB的中点，
所以AC＝BC＝ AB＝2.4cm，
CE＝ AC＝0.8cm.
因为D是CB的中点，
所以CD＝ BC＝1.2cm.
类型1 线段的和、差、倍、分
3. 已知线段AB＝4.8cm，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，点E在AB上，且CE＝ AC，请画出并计算线段DE的长.
当点E在点C左侧时，如图①，则 DE＝CE＋CD＝2 cm.
当点E在点C右侧时，如图②，则 DE＝CD－CE＝0.4 cm.
类型2 角的和、差、倍、分
4. 如图，∠AOC和∠BOD都是直角，且∠AOB∶∠AOC＝2∶9，OE是∠AOD的平分线，求∠BOE的度数.
解：因为∠AOC和∠BOD都是直角，
所以∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC .
所以∠AOB＝∠COD.
类型2 角的和、差、倍、分
4. 如图，∠AOC和∠BOD都是直角，且∠AOB∶∠AOC＝2∶9，OE是∠AOD的平分线，求∠BOE的度数.
因为∠AOB∶∠AOC＝2∶9，
所以∠AOB＝ ∠AOC ＝ .
所以∠COD＝20°.
所以∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝90°＋20°＝110°.
类型2 角的和、差、倍、分
4. 如图，∠AOC和∠BOD都是直角，且∠AOB∶∠AOC＝2∶9，OE是∠AOD的平分线，求∠BOE的度数.
因为OE是∠AOD的平分线，
所以∠AOE＝ ∠AOD ＝ .
所以∠BOE＝∠AOE－∠AOB＝55°－20°＝35°.
类型3 余角和补角的有关计算
5. （1）若互余两角的差为20°，求这两个角中较小的角的补角的度数；
解：（1）设这两个角中较小的角的度数为x°，则较大的角的度数（90－x）°.
由题意，得（90－x）－x＝20.
解得x＝35，
所以补角为180°－35°＝145°.
即这两个角中较小的角的补角是145°.
（2）若一个角的余角比这个角的补角的一半还少4°，求这个角的余角的度数.
类型3 余角和补角的有关计算
解：（2）设这个角的度数为x°，则这个角的余角是（90－x）°，补角是（180－x）°.
由题意，得
90－x＝ （180－x）－4
解得x＝8，
所以余角为90°－8°＝82°.
即这个角的余角度数为82°.
核心知识巩固
一、基础考点演练
考点1 立体图形与平面图形
1.［2025信阳期末］下列几何体中，是棱柱的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.［2025长春期末］如图所示的图形中，属于多边形的有___个.
3
返回
考点2 投影与视图
3.下列选项中各投影是平行投影的是( )
C
A. B. C. D.
返回
4.如图，该几何体的左视图是( )
C
A. B. C. D.
返回
5.某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三
视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是___.
5
返回
考点3 立体图形的表面展开图
6.如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是( )
B
（第6题）
A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱柱 D.圆锥
返回
7.下列平面图形能围成正方体的是( )
D
A. B. C. D.
返回
（第8题）
8.［2024济宁中考］如图是一个正方体的展开图，把展开
图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是
( )
D
A.人 B.才 C.强 D.国
返回
考点4 点与线
9.下列几何图形与相应语言描述相符的是( )
D
A.图①，延长线段到点
B.图②，点在射线 上
C.图③，直线与的延长线相交于点
D.图④，射线和线段 没有交点
返回
10.（12分）［2025濮阳期末］如图，已知， ，
， 四点，请按下列要求画图（尺规作图，保留
作图痕迹）.
（1）画直线，画射线 ；
解：如图所示.
（2）连结并延长到点，使 ；
解：如图所示.
（3）在线段上取点，使 的值最小.
解：如图所示.
返回
考点5 线段的计算
11.如图，点为线段上一点，，为的中点， ，
则 的长为( )
A
A.4 B.4.5 C.5 D.5.5
返回
12.在线段的延长线上取一点，使，再在 的延长线
上截取，则线段的长是线段 的长的( )
B
A. B. C. D.
返回
13.（12分）如图，为线段上一点，，，,
分别是, 的中点.
（1）的长为___ ；
6
（2）求 的长；
解：因为， ，所以
，
又因为是 的中点，
所以 .
所以 .
（3）若点在直线上，且，求 的长.
解：当点在点的右侧时， ；
当点在点的左侧时， .
综上所述，的长为或 .
返回
课堂小结
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