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华东师大版（2024）数学7年级上册
第1章 有理数
章末复习
知识结构
有理数的运算
正数
负数
相反意义的量
0
有理数
数轴
有理数的大小比较
相反数
绝对值
加减法
乘除法
乘方
法则
运算律
交换律
结合律
分配律
有理数
相关概念
有理数
数轴
相反数
绝对值
倒数
概念：整数和分数统称为有理数
分类
整数
分数
正整数
0
负整数
正分数
负分数
规定了原点、正方向、单位长度的直线
只有正负号不同的两个数称互为相反数.
规定 0 的相反数是 0 .
乘积是 1 的两个数互为倒数
一个正数的绝对值是它本身
0 的绝对值是 0
一个负数的绝对值是它的相反数
# 幻灯片分页内容：第一章 有理数 章末复习
## 第1页：复习导入——梳理知识脉络
- 回顾提问：
1. 本章我们学习了哪些核心概念？（正数、负数、有理数、数轴、相反数、绝对值等）
2. 有理数的运算包括哪些类型？（加、减、乘、除、乘方）
- 导入语：本章我们从生活中的相反意义的量出发，认识了有理数的相关概念，掌握了有理数的各种运算。今天我们进行章末复习，系统梳理知识，巩固重点题型，提升应用能力。
- 知识框架预览：展示有理数章节知识结构图（概念→运算→应用），明确复习主线。
## 第2页：核心概念1——有理数的分类与相关定义
- 1. 有理数的定义：
- 整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称为有理数。
- 2. 分类方法：
- 按定义分：有理数 = 整数 + 分数；
- 按性质分：有理数 = 正数 + 0 + 负数（正数包括正整数、正分数；负数包括负整数、负分数）。
- 3. 关键概念辨析：
- 0既不是正数，也不是负数；
- 有限小数和无限循环小数都可以化为分数，属于有理数；无限不循环小数不是有理数（如π）。
- 例题：把下列各数填入相应的集合：-3、0.5、0、-3.14、12、-1/2、π
- 整数集合：{-3, 0, 12…}；
- 分数集合：{0.5, -3.14, -1/2…}；
- 负数集合：{-3, -3.14, -1/2…}。
## 第3页：核心概念2——数轴、相反数与绝对值
- 1. 数轴：
- 定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴；
- 作用：直观表示有理数，比较有理数大小（数轴上右边的数总比左边的大）。
- 2. 相反数：
- 定义：只有符号不同的两个数互为相反数（0的相反数是0）；
- 性质：a的相反数是-a，互为相反数的两数和为0（a + (-a) = 0）。
- 3. 绝对值：
- 定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|；
- 性质：|a|≥0（非负性）；当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a。
- 例题：
- 求-5的相反数和绝对值：相反数是5，绝对值是5；
- 若|x|=3，则x=±3（绝对值的逆向应用）。
## 第4页：有理数的大小比较
- 1. 比较方法：
- 数轴比较法：在数轴上，右边的数比左边的数大；
- 法则比较法：正数>0>负数；两个正数，绝对值大的大；两个负数，绝对值大的反而小。
- 2. 步骤总结：
- 先判断数的正负（正数大于一切负数）；
- 同号两数再比较绝对值（正数看绝对值大小，负数看绝对值反向）。
- 例题：比较下列各组数的大小：
- -3和-5：∵|-3|=3，|-5|=5，3<5，∴-3>-5；
- 0和-2.5：0>-2.5；
- 1/2和2/3：∵|1/2|=1/2=3/6，|2/3|=2/3=4/6，3/6<4/6，∴1/2<2/3。
## 第5页：有理数的运算（一）——加减运算
- 1. 加法法则：
- 同号两数相加：取相同符号，绝对值相加；
- 异号两数相加：取绝对值较大的符号，用较大绝对值减较小绝对值；
- 互为相反数的两数相加得0；一个数加0仍得原数。
- 2. 减法法则：
- 减去一个数，等于加上这个数的相反数（a - b = a + (-b)）。
- 3. 运算技巧：
- 同号结合法：将正数、负数分别结合相加；
- 相反数结合法：将互为相反数的数结合相加；
- 凑整法：将能凑成整数的数结合相加。
- 例题：计算：(-12) + 5 - (-18) - 10
- 解：原式 = (-12) + 5 + 18 + (-10) = [(-12) + (-10)] + (5 + 18) = (-22) + 23 = 1。
## 第6页：有理数的运算（二）——乘除与乘方运算
- 1. 乘法法则：
- 同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘0得0；
- 多个有理数相乘：负因数的个数为偶数时，积为正；奇数时，积为负。
- 2. 除法法则：
- 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数（a ÷ b = a × 1/b，b≠0）；
- 同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以任何不为0的数得0。
- 3. 乘方定义：
- 求n个相同因数a的积的运算，记作a （a叫底数，n叫指数）；
- 注意：(-a) 与-a 的区别（如(-2) =4，-2 =-4）。
- 例题：计算：(-3)×(-2) ÷ (-1/2)
- 解：原式 = (-3)×4 × (-2) = (-12)×(-2) = 24（先算乘方，再算乘除，从左到右）。
## 第7页：有理数的混合运算与科学记数法
- 1. 混合运算顺序：
- 先算乘方，再算乘除，最后算加减；
- 有括号的先算括号里的（小括号→中括号→大括号）；
- 同级运算从左到右进行。
- 2. 科学记数法：
- 定义：把一个大于10的数表示成a×10 的形式（其中1≤a<10，n是正整数）；
- 例题：将360000用科学记数法表示为3.6×10 ；将2.05×10 还原为原数是20500。
- 例题：计算：(-2) + 3×[5 - (-3) ]
- 解：原式 = -8 + 3×(5 - 9) = -8 + 3×(-4) = -8 - 12 = -20。
## 第8页：易错点辨析与纠正
- 易错点1：概念混淆
- 错误：认为0是正数/负数；把无限循环小数归为无理数；
- 纠正：0既非正也非负，无限循环小数是有理数。
- 易错点2：绝对值运算错误
- 错误：|a|=a（忽略a为负数的情况）；若|x|=|y|，则x=y（遗漏x=-y的情况）；
- 纠正：绝对值的非负性和逆向应用需全面考虑。
- 易错点3：运算符号错误
- 错误：异号两数相加直接减绝对值（忽略符号）；减法忘记变号（a - b = a + b）；
- 纠正：牢记运算法则，先定符号再算绝对值。
- 易错点4：乘方意义误解
- 错误：(-3) = -9；2 = 6；
- 纠正：乘方是相同因数的积，(-3) 是两个-3相乘，2 是三个2相乘。
## 第9页：课堂小结与巩固练习
- 核心知识回顾：
- 一个核心：有理数的概念与运算；
- 两个重点：绝对值的性质、混合运算顺序；
- 三个关键：符号判断、法则应用、技巧运用。
- 巩固练习：
1. 填空：
- -(-2.5)的相反数是______；| -3/4 |的倒数是______；
- 用科学记数法表示1350000是______。
2. 计算：
- (-1) + (-2) × 5 - (-36) ÷ 4；
- | -5 | - ( -1 ) + (-2) 。
3. 解答：
- 已知|a|=4，|b|=3，且a怎样比较有理数的大小？
利用数轴比较
利用法则比较
利用绝对值比较
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大
正数都大于0；负数都小于0；正数都大于负数
两个负数，绝对值大的反而小
符号 计算绝对值
加法 同号取
异号取
减法 减去一个数等于 乘法 同号取
异号取 除法 同号取
异号取 除以一个不等于 0 的数等于 相同的符号
绝对值相加
负
绝对值相乘
绝对值大的符号
绝对值相减
正
正
绝对值相除
加上这个数的相反数
乘以这个数的倒数
负
填写以下运算法则：
交换律：a+b＝b+a
结合律：(a+b)+c＝a+(b+c)
加法
乘法
运算律
交换律：ab＝ba
结合律：(ab)c＝a(bc)
分配律：a(b+c)＝ab+ac
有理数的运算律有哪些？
有理数的混合运算应按照怎样的顺序进行？
1．先做乘方，再做乘除，最后做加减；
2．同级运算，按照从左至右的顺序进行；
3．如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的．
计算：
20+(-2)×10 +1 =
(20-1)×0 ÷(2+8) =
(20-1)× +20+(-2)×10 =
1÷( -33÷9) =
做一做
1
0
科学记数法是什么？
取近似数的方法有哪些？
一个绝对值大于 10 的数可以记成 的形式，其中
n 是正整数．像这样的记数法叫做科学记数法．
四舍五入法、进一法、去尾法
释疑解惑
1．为什么要引入负数？举出实例说明正数和负数在表示相反意义的量时的作用．
现实生活中存在很多个有相反意义的量，如：向东5米与向西5米，零上2℃与零下2℃，收入100元与支出100元，低于海平面150米与高出海平面800米……用正数表示其中一种量，负数表示和它相反意义的量，这样既简单又明白．例如吐鲁番盆地的海拔高度为-154.31m，表示吐鲁番盆地的海拔高度是低于海平面154.31m．
2．数的范围从正整数、0和正分数扩充到有理数后，增加了哪些数？减法中哪些原来不能进行的运算可以进行了？
增加了负整数、负分数，解决了原来“小数不能减去大数”的问题，现在任何有理数都可以进行减法运算．
3．怎样用数轴表示有理数？数轴与普通直线有什么不同？怎样用数轴解释绝对值和相反数？
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的点不是都表示有理数，这一点，以后我们将要学习．数轴是一条特殊的直线，是规定了正方向、原点和单位长度的直线．原点、正方向、单位长度也称数轴的三要素，缺一不可．
数轴上与原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数．
4．有理数的加法与减法有什么关系？乘法与除法呢？
有理数的减法可以转化为加法，转化的桥梁是相反数，减去一个数等于加上这个数的相反数，同样，除法可以转化为乘法，转化的桥梁是倒数，除以一个数（不为0），等于乘这个数的倒数．有理数的混合运算都可以转化为加法与乘法．
随堂练习
例1 填空：
（1）在知识竞赛中，如果 +10分表示加10分，那么扣20分可表示成_______；
（2）某人转动转盘，如果沿逆时针转5圈记作 +5圈，那么沿顺时针转12圈可表示成_______；
（3）某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准0.02g记作 +0.02g，那么 -0.03g表示_______________ .
-20分
-12圈
低于标准0.03g
例2 填空：
（1）若m，n互为相反数，则m+n ＝______；
（2）-2006的倒数是________；
（3）-（-3）= ______；
（4）-|-2|的倒数是_______.
0
3
例3 如图，数轴上两点所表示的两数（ ）
A.和为正数 B.和为负数
C.积为正数 D.积为负数
D
例4 下列四个运算中，结果最小的是（ ）
A.1＋（-2） B.1-（-2）
C.1×（-2） D.1÷（-2）
C
例5 如果a<0,b>0,a+b<0，那么下列关系式中正确的是（ ）
A.a>b>-b>-a B.a>-a>b>-b
C.b>a>-b>-a D.-a>b>-b>a
D
-1
3
-2
-a>b
例7 神舟六号飞船，在平安飞行115小时23分后重返神州. 用科学记数法表示神舟六号飞船飞行的时间是______________秒 （精确到千位）.
分析：a×10x中a的取值范围是1≤a<10，底数10的指数n等于所表示的整数位数减去1.
4.15×105
115×60×60+23×60=415380≈415000（秒）
例8 (-8)2014+(-8)2013能被下列数整除的是（ ）
A.3 B.5 C.7 D.9
C
=(-8)2013×[(-8)+1]
=(-8)2013×(-7)
核心知识巩固
一、基础考点演练
考点1 有理数及其分类
1.［2025安阳模拟］小东在妈妈的微信零钱明细中看到，收入2 000元
被记作元，则 元表示_____________.
支出1 600元
返回
2.有下列说法：①有理数的个数是无限的；②整数包括正整数和负整数；
③正有理数和负有理数统称有理数；④负分数是有理数.其中正确说法
的序号是______.
①④
返回
3.把下列各数填入相应的大括号内：
，，，，， ，
，0.
正分数集：{__________________…}；
整数集：{________________…}；
负有理数集：{_____________________…}；
非负数集：{_____________________________…}.
，，
，，0
，，
，，，，0
返回
考点2 数轴、相反数、绝对值、倒数
4.下列说法中，正确的序号为______.
的相反数是；一定是负数； 既没有倒数也没有相反
数；④绝对值大于它本身的数是负数.
①④
返回
5.有理数，， 在数轴上的对应点的位置如图所示，这三个数中绝对
值最大的是___.
返回
6.填空：
（1） ___；
（2） ____；
（3） 的倒数是__；
（4） ____.
2
7.5
返回
7.已知是数轴上的一点，且点到原点的距离为1，把点 沿数轴向右
移动3个单位长度得到点，则点 表示的数是______.
4或2
返回
考点3 有理数的大小比较
8.下列四个数中，比 小的数是( )
D
A.0 B. C. D.
返回
9.［2025忻州期末］如果，， ，那么下列比较大小
中正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
10.比较大小（填“ ”“”或“ ”）
（1）___ ；
（2）___ .
返回
11.（4分）某校举行一场文艺汇演，汇演中途设置了一个有奖问答环节，
题目在背景屏幕上显示如图，请回答图中的问题.
解：，，最小的正整数是1， 的最小
值是，0的相反数是0，比大的数是 .将这些数在数轴上表示出来，
如图.
所以 .
返回
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