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(共33张PPT)
直线与平面垂直的判定
生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？
实例引入
旗杆与底面垂直
桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象.
思考1.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系.
A
B
α
1.旗杆所在的直线始终与
影子所在的直线垂直.
请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所
示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，
将翻折后的纸片竖起放置在桌上（BD、DC与桌面接触）.
A
B
C
D
思考3 (1)折痕AD与桌面垂直吗？
(2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？
当折痕AD⊥BC时,折痕AD与桌面所在平面垂直.
B
D
C
A
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D，AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的直线与桌面垂直
m
n
P
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直，
记作 ．
平面 的垂线
直线 l 的垂面
垂足
定义
直线与平面垂直
对定义的认识
①“任何”表示所有.
②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足.
③ 等价于对任意的直线 ，都有
利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.
问题
直线与平面垂直
除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？
判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
作用：
判定直线与平面垂直．
直线与平面垂直判定定理
简记为：线线垂直 线面垂直
“平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
V
A
B
C
.
D
练习：
提示：找AC中点D,连接VD,BD
如图，在三棱锥V-ABC,VA=VC,AB=BC求证: VB⊥AC.
外
线面垂直判定定理的应用
例 1：已知：如图 ，空间四边形 ABCD 中，
DB＝DC，取 BC 中点 E，连接 AE、DE，
求证：BC⊥平面 AED.
证明：∵AB＝AC，DB＝DC，E 为BC 中点，
∴AE⊥BC，DE⊥BC.
又∵AE 与DE 交于E，∴BC⊥平面AED.
由判定定理可知要证明直
线垂直平面，只需证明直线与平面内的任意两
条相交直线垂直即可．
例2:如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC与BD的交点，且PA =PC ,PB =PD .
求证：PO⊥平面ABCD
C
A
B
D
O
P
=
ABCD
PO
O
BD
AC
平面
又
^
\
I
Q
BD
PO
BD
O
PD
PB
的中点
是
点
又
^
\
=
Q
,
AC
PO
AC
O
PC
PA
的中点
是
点
证明
^
\
=
Q
,
P
A
B
C
O
3.如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O 的直径，C 在圆周上, 且PA AC, PA AB,
求证：（1）PA BC
（2）BC 平面PAC
证明：∵PA ⊥⊙O 所在平面，
BC ⊙O 所在平面，∴PA ⊥BC，
∵AB 为⊙O 直径， ∴AC⊥BC，
又 PA ∩AC＝A， ∴BC⊥平面 PAC，
又 AE 平面 PAC，∴BC⊥AE，
∵AE⊥PC, PC∩BC＝C，
∴AE⊥平面 PBC.
例 3：如图 6，已知 PA ⊥⊙O 所在平面，
AB 为⊙O 直径，C 是圆周上任一点，
过 A 作 AE⊥PC 于 E，求证：AE⊥平面 PBC.
o
P
A
α
一条直线PA和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫斜足(A)，斜线上一点和斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段．
平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段有无数条
斜线与斜线段
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫斜线在这个平面内的射影．垂足和斜足间的线段叫这点到平面的斜线段在这个平面上的射影
斜线在平面内的射影
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的夹角，叫做斜线和平面所成的角 (或斜线和平面的夹角). 简称线面角
斜线和平面所成的角
斜线和平面所成的角
1、直线和平面垂直<＝>直线和平面所成的角是直角 直线和平面平行或在平面内<＝>直线和平面所成的角是0°
2、直线与平面所成的角θ的取值范围是：
斜线与平面所成的角θ的取值范围是：
O
P
A
α
斜线PA
斜足A
线面所成角
（锐角∠PAO）
射影AO
关键：过斜线上一点作平面的垂线
线面所成的角
1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
D1
C1
B1
A
D
C
B
典型例题
例2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角
O
例2：如图 4，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，
求 A1B 与平
面 A1B1CD 所成的角．
图 4
解：连接 BC1 交 B1C 于 O，连接 A1O，在正方体 ABCD－
A1B1C1D1 中各个面为正方形，设其棱长为 a.
A1O 为 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影
∠BA1O 为 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角．
A1B 与平面 A1B1CD 所成的角为 30°.
求直线和平面所成的角时，应注意的问题
是：(1)先判断直线和平面的位置关系．(2)当直线和平面斜交时，
常有以下步骤：①作——作出或找到斜线与射影所成的角；②
证——论证所作或找到的角为所求的角；③算——常用解三角
形的方法求角；④结论——说明斜线和平面所成的角值．
图 5
2－1.如图 5，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， AB＝BC＝2，
AA1＝1，则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为( )
A
2－2.若斜线段 AB 是它在平面α内的射影长的 2 倍，则 AB
与α所成的角为(
)
A．60°
B．45°
C．30°
D．120°
答案：D
解析：如图22 ，连接 A1C1 ，则∠AC1A1 为 AC1 与平面
A1B1C1D1 所成角．
图 22
1．直线与平面垂直的概念
（1）利用定义；
（2）利用判定定理．
3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
知识小结
2．直线与平面垂直的判定
线线垂直
线面垂直
垂直与平面内任意一条直线
（3）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面
4．直线与平面所成的角.
四.知识小结：
直线与平面
垂直的判定
定义法
间接法
直接法
如果两条
平行直线中的
一条垂直于一
个平面，那么
另一条也垂直
于同一个平面。
如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线
此直线垂直于这个平面
判定定理
如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。
（1）
（2）数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题

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