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直线与双曲线的位置关系
2026年高考数学一轮复习专题课件★★　
1．直线与双曲线的位置关系(代数法)
(2)当b2－a2k2≠0时，①相切：Δ＝0；②相交：Δ>0；③相离：Δ<0.
2．直线与双曲线的位置关系(几何法)
可以根据渐近线的斜率判断直线与双曲线的位置关系．例如：设此双曲线的渐近线斜率为±k，(1)当直线过点P且斜率等于±k时，直线与双曲线相交于一点，如图，直线①③均与双曲线右支交于一点；(2)当直线过点P且斜率在(－k，k)上时，直线与双曲线左、右两支各交于一点，如直线②；(3)当直线过点P且斜率在(－∞，－k)
∪(k，＋∞)上时，直线可能与双曲线的右支交于两点，如直线⑥，也可能与双曲线右支相切，如直线④，还可能与双曲线相离，如直线⑤.
题型一　 直线与双曲线的位置关系
一个公共点的直线有(　　)
A．1条　　　　　　　　 B．2条
C．3条 D．4条
√
(2)如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个公共点，则k
的取值范围是____________．
【解析】　由题意知k≠±1，联立消去y得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，
由题意此方程有两个不等的正根，
状元笔记
直线与双曲线位置关系的判断方法
将直线方程与双曲线方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，以ax2＋bx＋c＝0为例：
(1)若a≠0且Δ>0，则直线与双曲线相交，有两个公共点；
(2)若a≠0且Δ＝0，则直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；
(3)若a≠0且Δ<0，则直线与双曲线相离，没有公共点；
(4)若a＝0且b≠0，则直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点；
(5)若a＝0且b＝0，则直线为双曲线的渐近线，与双曲线相离，没有公共点．
思考题1　(1)直线l：y＝2x和双曲线x2－y2＝4的交点个数为________．
0
【解析】　(几何法)双曲线的渐近线为x2－y2＝0，即y＝±x.
∵双曲线焦点在x轴上，l过原点，且l的斜率大于渐近线斜率，∴直线l与双曲线相离，交点个数为0.
题型二　 弦长问题
【解析】　(2)由(1)知，F1(－2，0)，F2(2，0)，
由题意得直线AB的方程为y＝－(x－2)，
即x＋y－2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
状元笔记
题型三　 中点弦问题
【答案】　不能，理由见解析
状元笔记
直线与双曲线相交所得弦的中点问题常用点差法，但是点差法只是代数运算，所以还需验证直线与双曲线是否相交．
√
思考题3　已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(－12，－15)，则E的方程为(　　)
题型四　 直线与双曲线的综合问题
(1)求双曲线C的标准方程；
a2＋b2＝c2，③
由①②③可得a2＝5，b2＝4，
(2)直线l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|＝|AQ|，求实数m的取值范围．
【解析】　(2)由题意知直线l不过点A.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为D(x0，y0)，连接AD(图略)．
整理得(4－5k2)x2－10kmx－5m2－20＝0，
由4－5k2≠0且Δ>0，
由|AP|＝|AQ|知，AD⊥PQ，
又A(0，2)，且易知AD的斜率存在，
(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，过点F的直线l与C的右支相交于A，B两点．
(1)当直线l与x轴垂直时，OA⊥OB，求C的离心率；
(2)当C的焦距为2时，∠AOB恒为锐角，求C的实轴长的取值范围．
【解析】　(2)若C的焦距为2，则c＝1，即F(1，0)．
由于直线l不为水平直线，可设其方程为x＝my＋1.
结合b2＝1－a2(0得[a2(m2＋1)－m2]y2＋2m(a2－1)y－(a2－1)2＝0，则a2(m2＋1)－m2≠0，Δ>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
一、圆锥曲线第三定义及其应用
【人教A版选修一P108例3，P109练习T4】
圆锥曲线的第三定义：平面内与两定点A1(－a，0)，A2(a，0)连线的斜率的乘积等于常数e2－1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(除去A1，A2两点)，其中两个定点为椭圆或双曲线的两个顶点．当e2－1＞0时，轨迹为双曲线(除去A1，A2两点)，当－1√
二、重温高考
√
2．【多选题】(2022·全国乙卷，理)双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且
√
√
0)，F2(c，0)．当两个交点M，N在双曲线两支上时，如图1所示，设过F1的直线与圆D切于点P，连接OP，由题意知|OP|＝a，又|OF1|＝c，所以|F1P|＝b.过点F2作F2Q⊥F1N，交F1N于点Q.由中位线的性质，可得|F2Q|
3．(2021·全国甲卷，理)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
√
√
A．4 B．8
C．16 D．32
√
√
4
2

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