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(共30张PPT)
第八章 平面解析几何
第十节 直线与双曲线位置
职教高考一轮复习
直击高考
考点 考点解读 山东省近五年春季高考统计(题号) 常考题型
2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 位置关系 能灵活运用直线和双曲线的位置解决有关问题 (25) (30) (20) (19) (30) (19) 选择题
填空题
解答题
本节为解答题类型，直线与双曲线的位置关系，难度为中等偏难．
离心率
+椭圆
+渐近线
离心率
实轴长
+圆
+渐近线
离心率
知识梳理
当直线与双曲线的渐近线不平行时，联立二者方程得 化为关于x或y的一元二次方程，根据判别式Δ进行判断：
相交
相切
相离
①Δ＞0 直线与双曲线相交；②Δ＝0 直线与双曲线相切；
③Δ＜0 直线与双曲线相离．
当直线与双曲线的渐近线平行时，联立方程化为关于x或y的一元一次方程，尽管此时只有一个解，但直线与双曲线是相交而不是相切．
1．直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系有：________、________和________．
2．椭圆的标准方程和几何性质
直线l交双曲线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|叫作弦长．
求弦长的方法仍然设而不求，而是联立方程组消元得到关于x或y的一元二次方程，运用韦达定理求出x1＋x2和x1·x2或y1＋y2和y1·y2，通过下列公式求出弦长．
|AB|
【知识要点1】 双曲线中的弦长问题
【例1】　过双曲线x2－ ＝1的左焦点F1，作倾斜角为 的弦AB，求弦AB的长．
典例分析
【变式训练1】
已知直线斜率为1，被双曲线 － ＝1截得弦长为4，求直线在y轴的截距．
解：设直线l的方程为y＝x＋m，直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由 得x2＋6mx＋3(m2＋2)＝0，
Δ＝36m2－12(m2＋2)>0，得m2>1.
由韦达定理得x1＋x2＝－6m，x1x2＝3(m2＋2).
又y1＝x1＋m，y2＝x2＋m，∴y1－y2＝x1－x2，
∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝2(x1－x2)2
＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2[36m2－4×3(m2＋2)].
∵|AB|＝4，∴36m2－12(m2＋2)＝8.
∴3m2＝4，解得m＝± ，满足题意．
∴直线l在y轴上的截距为± .
【知识要点2】 双曲线中的弦中点问题
【例2】　已知双曲线C：x2－ ＝1，经过点M(1，1)能否作直线 与双曲线C交A，B两点，且点M是线段AB的中点？若存在直线l，求出它的方程；若不存在，说明理由．
②－①得 － ＝ ，化简得2＝ · ，
即2＝ ·k，解得k＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，
由 消去y得2x2－4x＋3＝0，
由此可得Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，这说明这样的直线不存在．
关于是否存在的问题，注意利用相关条件检验说明理由
【变式训练2】已知直线l与双曲线x2－ ＝1交于A，B两点，且弦AB的中点为点M(2，1)，求直线l的方程．
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵点M为AB的中点，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
由点A，B在双曲线上，得
由②－①，得9( － )＝ － ，
化简得9＝ · ，
∴kAB＝ ＝9× ＝9× ＝18，
由点斜式可得直线l的方程为y－1＝18(x－2)，即18x－y－35＝0.
注意点差法应用！
【知识要点3】 双曲线中的垂直问题
【例3】已知双曲线的右焦点为F ，渐近线方程为y＝± x.
(1)求双曲线的标准方程；(2)设直线l：y＝kx＋1与双曲线交于A，B两点，则当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？
【解析】　(1)设双曲线的方程为 － ＝1.
因为右焦点为F ，所以c＝ .
因为渐近线方程为y＝± x，所以 ＝ .
又因为c2＝a2＋b2，解得a2＝ ，b2＝1，
所以双曲线的标准方程为 －y2＝1.
2)设直线l：y＝kx＋1与双曲线交于A，B两点，则当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？
【变式训练3】已知直线l的斜率为－1，在y轴上的截距为1，且与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点，求证： ⊥ .(O为坐标原点)
由 消去y得x2＋x－1＝0，
证明：由题意得直线l的方程为y＝－x＋1.
设直线l与双曲线的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－1，x1x2＝－1，
y1y2＝(－x1＋1)(－x2＋1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝1，
由此可得 · ＝x1x2＋y1y2＝－1＋1＝0，
【知识要点4】 双曲线中的向量问题
【例4】　已知双曲线的渐近线方程为y＝± x，且点(2 ，2)在双曲线上．
(1)求双曲线的标准方程；(2)过点P(－ ，0)的直线l与双曲线相交于A，B两点，
若 ＝2 ，求此时直线l的方程．
解：(1)因为渐近线为y＝± x，
可设双曲线为y2－ x2＝λ(λ≠0).
又点(2 ，2)在双曲线上，
所以4－ ＝－2＝λ，
所以双曲线为 － ＝1.
(2)过点P(－ ，0)的直线与双曲线相交于A，B两点，
若 ＝2 ，求此时直线l的方程．
【变式训练4】已知双曲线C：y2－ ＝1的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的同一支交于A，B两点，且|BF1|＝2|AF1|，则线段AB的长度为(　　)
A． B．9 C． D．6
C
设AF1=m，则BF1=2m，AB=3m
数形结合利用定义，结合余弦定理分析
解题思路
A、B 满足定义
两个三角形中分别表示以为顶点的两个内角余弦
表示A，B
找二者关系列方程
【变式训练4】已知双曲线C：y2－ ＝1的两个
焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的
同一支交于A，B两点，且|BF1|＝2|AF1|，则线
段AB的长度为(　　)
A． B．9 C． D．6
C
一、选择题
1．过双曲线C： －y2＝1左、右焦点F1，F2分别作倾斜角为45°的直线，与双曲线C相交于x轴上方的P1，P2两点，
则|P1F1|＋|P2F2|＝(　　)
A． B．2
C．2 D．4
C
随堂检测
2．已知直线l：y＝kx＋m(m<0)过双曲线C： － ＝1的左焦点F1(－2，0)，且与双曲线C的渐近线平行，则直线l的倾斜角为(　　)
A． B． C． D．
D
活动设计：限时12分钟，精选完成1-8题一半题目检测
提示：计算易得m=2k,m<0得k<0
a2=2得等轴双曲线k=-1
3．已知直线l与双曲线 －y2＝1相交于A，B两点，若点P(8，1)恰好是AB的中点，则直线l的斜率为(　　)
A．1 B．2 C．－1 D．－2
B
4．直线x－2＝0与双曲线x2－ ＝1交于A，B两点，则线段AB的长为(　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
B
中点弦问题
（容易）
5．已知直线y＝x＋m与双曲线x2－ ＝1交于A，B两点，且OA⊥OB，则实数m的值为(　　)
A．－2 B．2 C．±2 D．±1
C
二、填空题
6．已知直线y＝ x与双曲线 － ＝1(a>0)相交于A，B两点，
且A，B两点的横坐标之积为－9，则离心率e＝________．
垂直问题
提示：对称应用先定x再定y，最后定出a，进而分析出离心率
7．已知双曲线 － ＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
8．已知双曲线 － ＝1的右焦点为F，过点F，且倾斜角为45°的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点， · 的值为________．
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提示：需要消元x定高|y|
三、解答题
9．已知双曲线 － ＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 ，过右焦点F2的直线l交双曲线于A，B两点，F1为左焦点．
(1)求双曲线的标准方程；(2)若△F1AB的面积等于6 ，求直线l的方程．
解：(1)焦点(c，0)到一条渐近线bx＋ay＝0的距离为
＝ ＝ ，
又∵ ＝2，∴a＝1，c＝2，
∴双曲线的标准方程为x2－ ＝1.
∴b＝ ，∴c2－a2＝3，
(2)由(1)知F2(2，0).当直线l的斜率不存在时，不满足题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝k(x－2)，点A(x1，y1)，B(x2，y2).
B班选做
由 消去y，得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，k≠± .
又∵y1－y2＝k(x1－x2)，
∴△F1AB的面积S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|
由韦达定理，得x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
整理，得k4＋8k2－9＝0，解得k＝±1.
∴直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0.
10．已知双曲线与椭圆 ＋ ＝1有共同的焦点，直线y＝ x为双曲线的一条渐近线．(1)求双曲线的标准方程；(2)若过点P(0，4)和双曲线右焦点的直线l交双曲线于A，B两点，求线段AB的中点Q的坐标．
∴双曲线的标准方程为 － ＝1.
∵直线y＝ x为双曲线的一条渐近线，∴ ＝ ，
又∵c＝2 ，c2＝a2＋b2，解得a2＝3，b2＝9，
则可设双曲线的标准方程为 － ＝1，
解：(1)由题意可知椭圆的焦点坐标为(±2 ，0)，
一、选择题
1．已知双曲线C：x2－y2＝1，过其右焦点F的直线l只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线l的斜率等于(　　)
A．1 B．－1 C．0 D．±1
D
分层选做
2．已知直线y＝2x－4与双曲线x2－y2＝2交于A，B两点，则△AOB的面积为(　　)
A． B． C． D．
A
3．若斜率为k(k>0)的直线l过双曲线C：y2－ ＝1的上焦点F，与
双曲线C的上支交于A，B两点，且 ＋3 ＝0，则k等于(　　)
A． B． C． D．
D
二、填空题
4．已知双曲线C：x2－ ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，过
点F2作x轴的垂线，与双曲线C在x轴上方交于点P，则|AP|＝________．
5．已知双曲线的一个焦点坐标为( ，0)，直线y＝x－1与双曲线交于M，N两点，
MN的中点的横坐标为－ ，则双曲线的标准方程为_____ _ __．
－ ＝1
三、解答题
6．已知双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的离心率为 ， ＝ .
(1)求双曲线的标准方程；(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线交于不同的两点A，B，
线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求实数m的值．
由 得x2－2mx－m2－2＝0.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0).
∴x0＝ ＝m，y0＝x0＋m＝2m.
∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，
∴m2＋(2m)2＝5，解得m＝±1.
即实数m的值为±1.
∴双曲线的标准方程为x2－ ＝1.
简单
课堂小结
直线与双曲线
相交
弦长
中点弦问题
方法
垂直问题
方法
焦点三角形
面积
周长
布置作业
1.书面必做作业：完成复习资料相关题目；
2.拓展提升作业：依据考点根据自身掌握情况，利用复习书拓展练习进一步训练巩固相关内容
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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