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相似多边形
相似多边形
经历相似多边形概念的形成过程，了解相似多边形的含义
知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例
在探索相似多边形的过程中，进一步发展自身类比，反思、交流等方面的能力，提高数学思维水平，体会公例的作用.
知识点框架
问题:用同一张底片洗出不同尺寸的照片，两张图片相似吗？
复习旧课
A
B
C
D
E
F
A1
B1
C1
D1
E1
F1
观察以下两个多边形，并回答如下问题:
(1)在下图中两个多边形中，是否有相等的内角？设法验证.
(2)在下图中两个多边形中，相等内角的两边是否成比例？
新课进行
下列每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？
(1)正三角形ABC与正三角形DEF；
解:∵正三角形每个角都等于60 ° ，
∴∠A =∠D = 60°，∠B =∠E = 60 ° ，
∠C =∠F = 60 ° ，∴这两个正三角形的对应角相等
又∵正三角形三边相等
∴AB/DE = BC/EF = CA/FD
∴这两个正三角形的对应边的比相等(即对应边成比例)
A
B
C
D
E
F
新知讲解
(2)正方形ABCD与正方EFGH它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？
解:∵正方形每个角都等于90°，
∴∠A =∠E = 90 ° ， ∠B =∠F = 90 ° ，
∠C =∠G = 90 ° ， ∠D =∠H = 90 °
∴这两个正方形的对应角相等
又∵正方形的四边相等
∴AB/EF = BC/FG = CD/GH = DA/HE
∴这两个正方形的对应边的比相等(即对应边成比例)
A
B
C
D
E
F
G
H
重要问题学法指导
问题 相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形的对应边的比叫做相似比.
证明两个多边形相似的条件:
1 对应角相等
2 对应边成比例
若四边形ABCD与四边形EFGH相似，可记作:
四边形ABCD∽四边形EFGH
{
例1 如图，四边形ABCD和A'B'C'D'相似，求线段a，b的长度和∠α大小.
4
7
83°
C'
A'
B'
D'
α
117°
77°
6
D
A
B
C
77°
83°
18
a
b
例题解析
4
7
83°
C'
A'
B'
D'
α
117°
77°
6
D
A
B
C
77°
83°
18
a
b
解：四边形ABCD和A'B'C'D'相似，它们的对应边的比相等．由此可得
解得 a=31.5，b=27.
在四边形ABCD中，
∠α＝360°－（77°＋83°＋117°）＝83°.
∠ C' ＝∠C＝83°，∠A＝∠ A' ＝118°
四边形ABCD和A'B'C'D'相似，它们的对应角相等．由此可得
在相似多边形中，最简单的是相似三角形.
如图，在△ABC和△ A'B'C'中，如果有∠A=∠ A' ，∠B=∠ B' ，∠C=∠ C' ，那么△ABC和△相似，记作“△ABC∽ △A'B'C'”.
A
B
C
A'
B'
C'
例2、已知：如图，△ADE与△ACB相似，指出他们的对应顶点、对应边和对应角.
A
D
E
C
B
解：对应顶点：A和A，D和C，E和B.
对应边：AD和AC，AE和AB，DE和CB.
对应角：∠A和∠A，∠ADE和∠C，∠AED和∠B.
例3、已知：如图，△ADE与△ACB相似，AE=50cm， EC=30cm， BC=70cm，∠ A=45°，
∠ C=45°.求:
(1) ∠ AED和∠ ADE的度数.
(2)DE的长.
A
E
D
C
B
解:(1)因为 △ABC∽ △A'B'C' ，
所以∠AED= ∠C=40°.
在△ADE中，
因为∠AED+ ∠ADE+ ∠A=180°，
即40°+ ∠ ADE+45°=180°.
所以∠ ADE=95°.
(2)因为 △ABC∽ △A'B'C' ，
即
cm
解题方法 技巧 策略
题型1 判断两个多边形相似
1 判断下列每组图形是否相似，为什么？
5
正方形
5
5
正方形
5
6
6
6
10
菱形
长方形
(1)
(2)
解:(1)∵正方形，菱形的四条边都相等
∴它们的对应边一定成比例
(如上图对边应的比是 5／6)
∵正方形的四个 内角均为直角，而菱形的内角有钝角有锐角
∴它们的对应角不相等
∴这一组图形不相似
(2) ∵正方形和矩形的四个内角都是直角
∴它们的对应角相等
∵对应边 5/6≠5/10
∴对应边不成比例
∴这一组图形也不相似
2 一块长3m，宽1.5m的矩形黑板如图，镶其外围的木质边宽7.5cm.边框内外边缘所组成的矩形相似吗？为什么？
3m
1.5m
D
G
(300+2×7.5)cm
(150+2×7.5)cm
E
F
B
A
C
H
解: ∵矩形的每个内角都等于90° ∴∠A=∠E=90 ° ， ∠B=∠F=90o， ∠H=90 ° ，∠D=∠G=90 ° ∴它们的对应角相等∵AB/EF=300/(300+2×7.5)=20/21
BC/FH=150/(150+2×7.5)=10/11
∴AB/EF≠BC/FH
∴ 矩形ABCD和矩形EFGH不相似
题型2 求相似多边形的对应角或对应边
已知，如图，五边形ABCDE∽五边形FGHIJ，且AB=2cm，CD=3cm，DE=2.2cm，GH=6cm，HI =5cm，FJ=4cm， ∠A=120°，∠H=90 °
求:(1)相似比等于多少？
(2)FG，IJ，BC，AE， ∠F， ∠C
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
解:(1)相似比=CD/HI=3/5
(2) ∵五边形ABCDE∽五边形FGHIJ
∴ ∠F =∠A=120°， ∠C= ∠H=90 ° ，
∴AB/FG=BC/GH=CD/HI=DE/IJ=EA/JF
即2/FG=BC/6=3/5=2.2/IJ=AE/4
解得FG=10/3cm，BC=18/5cm，IJ=11/3cm，AE=12/5cm
1.相似多边形定义：
对应角相等，且对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
2.相似多边形的对应边的比k叫作相似比.
3.相似多边形的性质：
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
再 见

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