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人教版2026年八年级（下）第20章《勾股定理》单元检测卷
满分120分 时间120分钟
一、选择题（共30分）
1．在下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，1， B．6，8，12 C．7，40，41 D．5，12，13
2．在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作，使．以O为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
4．如图，在中，D为上一点，，，，记长为x，长为y，当x、y变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形中，，分别以四边形的四条边向外作正方形，这四个正方形的面积分别是为、、、，若，则的值是（ ）
A．5 B． C． D．
6．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（ ）
A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺
7．下列说法中正确的是（ ）
A．已知是三角形的三边长，则
B．在直角三角形中，任意两边的平方和等于第三边的平方
C．中，分别是、、的对边，若，则
D．中，分别是、、的对边，若，则
8．我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在长方形中，，．将此长方形沿所在的直线折叠，使点D与点B重合，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．5
10．设，A为上一点，D为上一点，，C为上任一点，B是上任一点，那么折线的长最小值是（　　）
A．12 B． C．8 D．
二、填空题（共18分）
11．在中，，如果，那么 ．
12．等边三角形的边长为5，那么它的面积是 ．
13．如图，在数轴上点所表示的数为，则的值为 ．
14．为了增强学生的环保意识和生态意识，阳明中学在植树节当天组织了植树活动．这次植树活动中，小洛所在班级一共植树12棵，按图中所示的方式进行分布，已知每相邻的两棵树之间的距离是，则小洛所在班级植树围成的区域（）的面积为 ．
15．如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边于点D．若，则的长为 ．
16．在平面直角坐标系中，点A坐标为，点P的坐标为，则AP最小值为 ．
三、解答题（共72分）
17．（8分）如图，在中，，垂足为点．若，， ，判断的形状，并说明理由．
18．（8分）如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积．
19．（8分）已知实数a，b，c满足．
(1)求实数a，b，c的值．
(2)以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．
20．（8分）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地垂直高一尺尺），将它水平向前推进两步尺），此时踏板垂直升高离地五尺尺），求秋千绳索或的长度．
21．（8分）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接，．
(1)证明：；
(2)若，，且，求的长．
22．（10分）如图，已知中，，，，请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图：（保留作图痕迹，不写作法）
(1)如图1，分别在边上找一点E和点F，使为等腰三角形且．
(2)在（1）的条件下，求的长度．
23．（10分）【问题背景】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
【探索求证】
（1）古今中外，勾股定理有很多证明方法，请你利用图3推导勾股定理；
（2）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_____个；
【拼图发现】
（3）学习了勾股定理的证明方法后，小明同学对拼图产生了浓厚兴趣，他用四个完全相同的长为，宽为的长方形纸片拼成如图所示正方形．若大正方形的面积为32，小正方形的面积为8，求每个小长方形纸片的对角线长．
24．（12分）如图，已知在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到点，速度为，设运动时间为秒．
(1)求边上的高；
(2)为何值时，为等腰三角形？
(3)另有一点，从点开始，按顺时针走一圈回到点，且速度为每秒，若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C B A C D B C A
二、解答题
11．
12．
13．
14．24
15．
16．
二、解答题
17．解：是直角三角形．
理由：
，
，
在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
，
，
在中，
，
，
，
是直角三角形．
18．解：连接，
，，，
．
由，可得，
，
是直角三角形，
，，
．
故这块地的面积为．
19．（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：以a，b，c为边能构成直角三角形，理由如下：
∵
∴，
∴，
∴以a，b，c为边能构成直角三角形．
20．解：设，
、
在中，由勾股定理得
解得
因此，秋千绳索的长度为尺．
21．（1）证明： ，
，
，
，，
（）；
（2）解：过点作交于，
，
，
，
，
，
，
，
．
22．（1）解：如图所示，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F，作线段的垂直平分线交于点E，连接，点E和点F即为所求；
在中，，，，
∴
∴，则
∵，
∴，
又∵
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
23．（1）证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即，
化简得：；
（2）三个图形中面积关系满足的有3个；
设直角三角形两直角边中，较短的边长为，较长的边长为，直角三角形的斜边的边长为；
根据题意得：，
如图4：
，，
∴；
如图5：
，，，
∵，
∴；
如图6：
，，，
∵，
∴；
∴三个图形中面积关系满足的有3个；
故答案为：3；
（3）解：大正方形的面积为32，小正方形的面积为8，
∴，，
∴，
，
每个小长方形纸片的对角线长．
24．（1）解：∵已知在中，，，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
如图1，
过C作于D，
∴
∴
∴
则边上的高是；
（2）解：①当点P在上，如图2，
当时，
∵
∴，
∵动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到点，速度为，设运动时间为秒．
则，
②当点P在上，如图3，时，过C作于D，
在中，
∵，为边上的高，
∴，
则，
解得，
当时，，
解得，
当时，
如图4，作于H，
则，，
∴
∵，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴，
解得，
故当秒或6秒或6.5秒或5.4秒时，为等腰三角形；
（3）解：如图5，当时，P在上，Q在上，
由题意得：，
则，
解得；
如图6，当时，P在上，Q在上，
由题意得：，，
则，
解得，不符合题意；
当时，P、Q在上，
直线与重合，直线不可能把的周长分成相等的两部分；
如图7，当时，P在上，Q在上，
由题意得：，
则，
，
解得，
综上，t的值为4秒或12秒．

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