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广西柳州市柳南区2024-2025学年上学期九年级期末考试数学试题
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）
1．（2025九上·柳南期末）如图，数轴上点P表示的数是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：根据题意可知点P表示的数为，
故答案为：A．
【分析】根据数轴的定义“规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴”并结合点P所在的位置即可求解．
2．（2025九上·柳南期末）中国“二十四节气”已被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“大雪”、“芒种”、“立春”、“白露”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、 绕着某一个点旋转后能够与原来的图形重合， 是中心对称图形，故A正确.
B、绕着某一个点旋转后不能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，故B错误.
C、绕着某一个点旋转后不能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，故C错误.
D、绕着某一个点旋转后不能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，故D错误.
故答案为：A．
【分析】根据把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，分别对A、B、C、D各选项进行判断即可得答案.
3．（2025九上·柳南期末）据统计，2024年上半年，柳州市新能源汽车销量达到238000辆，同比增长，数据238000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据科学记数法的方法得：，
故答案为：D．
【分析】根据科学记数法的表示形式为的形式，找到原数左边第一个不为0的数点上小数点，解可得a，小数点后有几位，n即为几，最后写成即可.
4．（2025九上·柳南期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵，
∴1处为空心，且折线向左，
故答案为：C．
【分析】根据大于朝右，小于朝左，有等号实心，无等号空心即可得不等式的解集在数轴上表示图形.
5．（2025九上·柳南期末）如图，一条公路的两侧铺设了，两条平行管道，并有纵向管道连通，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，
，
，
.
故答案为：B．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，结合得，再根据，得.
6．（2025九上·柳南期末）已知的半径为3，，则点与的位置关系是（　　）
A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不能确定
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为3，，
∴，
∴点在圆内，
故答案为：C．
【分析】根据的半径为，知点到圆心的距离小于半径，即可得答案.
7．（2025九上·柳南期末）水果是广西农业农村的支柱产业，是广西的特色名片之一，2021年水果产量约为3121万吨，2023年水果产量约为3389万吨，求2021年至2023年广西水果产量的年平均增长率．设年平均增长率为，依据题意可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得，，
故答案为：C．
【分析】根据列即可方程.
8．（2025九上·柳南期末）抛物线的图象如图所示，则下列选项中正确的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵抛物线的开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴，
∵，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在负半轴上，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据抛物线的开口向上，得，再根据抛物线的对称轴在y轴右侧，得，进一步得，根据抛物线与y轴的交点在负半轴上，得即可得出答案．
9．（2025九上·柳南期末）二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴点落在黑色阴影的概率为，
∴黑色阴影的面积占整个面积的，
∴黑色阴影的面积为．
故答案为：A．
【分析】 大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此得到点落在黑色阴影的概率为0.6，即黑色阴影的面积占整个面积的0.6，据此求解即可．
10．（2025九上·柳南期末）已知一元二次方程的两根分别为和，则的值等于（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根分别为和，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求解即可．
11．（2025九上·柳南期末）如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①②两部分，将①展开后，得到的四边形一定是（　　）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【知识点】菱形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由第三个图可以看出：
最后从两次折叠的交点处剪去一个直角三角形，由于是两次折叠得到的图形，那么所得到图形的 4 条边都是所剪直角三角形的斜边，故得到的四边形是菱形．
故答案为：B．
【分析】亲自动手操作，即可得答案.
12．（2025九上·柳南期末）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为，该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇面所在圆的半径为，根据题意得：
，
∴，
∵与之间为反比例关系，
∴与关系的图象是双曲线中位于第一象限的一支，
∴B正确.
故答案为：B．
【分析】设扇面所在圆的半径为，根据扇形面积公式分别得，进一步得，根据反比例函数性质即可得答案.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.）
13．（2025九上·柳南期末）计算： ＝　 　．
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】 ＝2.
故答案为：2.
【分析】有根号先算根号，所以的值为2。
14．（2025九上·柳南期末）学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是　 　．（单位：分）
【答案】90
【知识点】条形统计图；中位数
【解析】【解答】解：根据条形统计图，把数据按小到大排序，有12个数，排在中间位置的是第6和7个数，分别是90和90，
∴中位数是.
故答案为：90．
【分析】根据条形统计图，把数据按小到大排序，有12个数，排在中间位置的是第6和7个数，分别是90和90，即可得中位数.
15．（2025九上·柳南期末）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度　 　．
【答案】4
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】设反比例函数解析式为，
机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，
，
反比例函数解析式为，
当时，，
当其载重后总质量时，它的最快移动速度．
故答案为：4．
【分析】首先设反比例函数解析式为，然后根据已知对应值时，，即可求得系数k的值，得出函数关系式，再把代入解析式，即可得出答案。
16．（2025九上·柳南期末）如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
在绕点旋转的过程中，当三点共线时，的值最小，
∵，
，
∵为的中点，
，
，
，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】在绕点旋转的过程中，当三点共线时，的值最小，根据圆的性质得，根据中点性质得，根据已知条件得出是等边三角形，由勾股定理求出，即可得.
三、解答题（本大题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（2025九上·柳南期末）（1）解方程：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：（1），
，
或，
∴.
（2）原式
，
当时，原式．
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；平方差公式及应用；因式分解法解一元二次方程；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1） 把因式分解得，进一步得或，
解出即可.
（2）根据单项式乘以多项式运算法则和平方差公式化简得，把的值
代入求值即可．
18．（2025九上·柳南期末）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年月学校举行健美操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下表：
单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分
团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，名次按团体最终成绩由高到低排序
现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下：
．甲、乙两班五个单项得分折线图：
．丙班五个单项得分表：
项目 一 二 三 四 五
得分
根据以上信息，回答下列问题：
（1）已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为，，，，，求丙班第二个单项的得分；
（2）若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是_______班；（填“甲”“乙”或“丙”）
（3）获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有，，三种图书可供选择，请用列表或画树状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率
【答案】（1）解：由题意得去掉一个最高分分，去掉一个最低分分，
则；
（2）乙；
（3）解：列表如下．
第二名
第一名
由列表可以看出，所有等可能出现的结果共有种，
∴（选择同一套图书）．
【知识点】折线统计图；用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；方差
【解析】【解答】（2）解：甲班平均分：，
则，
乙班平均分：，
则，
丙班平均分：，
则，
∵
∴乙整体发挥稳定性最好，
故答案为：乙；
【分析】（）根据平均数公式计算解答即可；
（）利用方差公式计算解题；
（）用列表法得到所有等可能的结果，然后找出符合要求的结果数，再根据概率的计算方法即可求解．
（1）解：由题意得去掉一个最高分分，去掉一个最低分分，
则；
（2）解：甲班平均分：，
则，
乙班平均分：，
则，
丙班平均分：，
则，
∵
∴乙整体发挥稳定性最好，
故答案为：乙；
（3）列表如下．
第二名 第一名
由列表可以看出，所有等可能出现的结果共有种，
∴（选择同一套图书）．
19．（2025九上·柳南期末）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，销售单价为25元时，日销售量是50个；当单价为35元时，销售量是30个．已知日销售量（个）与销售单价（元）之间是一次函数关系．
（1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）设该玩具日销售利润为元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设一次函数的关系式为，根据题意得：
，解得：，
∴一次函数的关系式为.
（2）解：根据题意得：
，
整理得：，
，
∴当时，有最大值，最大值为800，
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大，最大利润是800元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设一次函数的关系式为，根据题意得，解出即可.
（2）根据题意得，整理得：，根据二次函数最值性质即可得当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大，最大利润是800元．
（1）解：设一次函数的关系式为，
由题意可知，函数图象过点和点，
把这两点的坐标代入一次函数，
得，
解得：，
∴一次函数的关系式为；
（2）解：根据题意得：，
整理得：；
，
∴当时，有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
20．（2025九上·柳南期末）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：如图，
连接，
∵，
，
，
，
，
∴，
，
于点，
，
∴，
是的半径，，
是的切线.
（2）解：如图，
连接，
是的直径，
，
，，
，，
，
，
，
∴，解得：.
，
∴的半径为2．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接，则，得，根据，得，进一步得，可证明，根据平行线性质得，即可证明是的切线.
（2）连接，根据是的直径，得，即可得，根据，，得，根据勾股定理得，即可得的半径为2．
（1）证明：连接，
∵，
，
，
，
，
∴，
，
于点，
，
∴，
是的半径，，
是的切线；
（2）解：连接，
是的直径，
，
，，
，，
，
，
，
∴，
解得（负值舍去），
，
即的半径为2．
21．（2025九上·柳南期末）【综合与探究】
【研究背景】在学习一次函数、二次函数及反比例函数的图象与性质过程中，同学们学会了探究函数图象与性质的路径和方法．数学兴趣小组的同学运用学习过的知识，类比反比例函数图象与性质的研究路径，对函数的图象与性质进行探究．
【探究过程】
（1）确定函数自变量的取值范围；
（2）绘制函数图象：
①列表：列出与的几组对应值；
．．． 0 1 2 ．．．
．．． 3 2 ．．．
②描点：根据表中的数值在坐标系中描点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点得到函数图象．
（3）结合图象探究函数的性质．
【请完成以下任务】
任务一：函数自变量的取值范围是_____；
任务二：表格中的值是_____；
任务三：把函数图象补充完整；
任务四：观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值随的增大而_____（填“增大”或“减小”）；
任务五：若一次函数与函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围．
【答案】解：任务一：.
任务二： 1 .
任务三：根据表格数据，把函数图象补充完整如图所示：
任务四：减小.
任务五：或.
【知识点】函数自变量的取值范围；反比例函数与一次函数的交点问题；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：任务一：根据分式有意义的条件得：，解得.
∴函数自变量的取值范围是，
故答案为：.
任务二：根据表格得：当时，，
∴，
故答案为： 1 .
任务四：如图，
观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值随的增大而减小.
故答案为：减小.
任务五：如图所示，
由图象得，不等式成立的的取值范围为或，
故答案为：或．
【分析】任务一：根据分式有意义的条件得，求解表达式即可.
任务二：根据表格得：当时，，即可.
任务三：根据表格数据，把函数图象补充完整.
任务四：观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值随的增大而减小即可.
任务五：由图象得，不等式成立的的取值范围为或，即可.
22．（2025九上·柳南期末）雨伞是生活中的常见物品，撑开后的雨伞（如图1）是我们熟悉的数学模型-抛物线．在如图2所示的直角坐标系中，伞柄在轴上，伞骨，的交点为坐标原点，点为抛物线的顶点，，点A，B在抛物线上，且，关于轴对称，点到轴的距离是两点之间的距离为4．设抛物线解析式为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）分别延长，，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
（3）将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，新抛物线与轴的正半轴相交于点，且，求的值．
【答案】（1）解：如图，
∵关于轴对称，，点到轴的距离是 0.6 ，
∴点，
∵，
∴，
根据点，点在图像上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式.
（2）解：由（1）得抛物线解析式为：，
设直线的表达式为：，
∵点在直线上，
∴即：，
∴直线的表达式为：，
把和联合得：．解得：（舍去）或 ，
，
∴点的坐标为，
∴.
（3）解：将抛物线向右平移个单位后的抛物线表达式为：，
令，则，此时抛物线与轴的交点为，
，即，解得：或．
，
或4．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用；正比例函数的图象
【解析】【分析】（1）根据题目情境和已知条件得，，根据待定系数法得，解出即可得抛物线的解析式.
（2）由（1）得抛物线解析式为：，再根据待定系数法求出直线的表达式为：，联合表达式求出点的坐标，即可求解.
（3）将抛物线向右平移个单位后的抛物线表达式为：，进而得出与轴的交点，由得，解出得或，根据得或4．
（1）解：∵关于轴对称，，点到轴的距离是 0.6 ，
则点，
∵，
∴，
将点，点代入得，
解得：，
即；
（2）解：由（1）得抛物线解析式为：，由点的坐标得直线的表达式为：，
联立抛物线与直线得：．
解得：（舍去）或 ，
，
∴点的坐标为，
则根据对称性可得；
（3）解：将抛物线向右平移个单位后的抛物线表达式为：，
令，则，
此时抛物线与轴的交点为，
，
即，
解得：或．
，
或4．
23．（2025九上·柳南期末）【综合与实践】
【实践背景】在学习几何变换旋转知识的过程中，同学们对于由几何变换引起几何图形的变化有了更深入的了解，并对此产生浓厚的兴趣．兴趣小组同学决定利用手中的三角板进行各种变换操作，通过操作观察分析，发现并提出系列有趣的数学问题．
【实践过程】如图1，是等腰直角三角形，且，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
【猜想证明】经过观察分析，大家猜想与是全等的关系，请你说明理由．（1）求证：；
【拓展应用】
（2）继续探究，作点关于的对称点，连接，（如图2），若．
①求四边形面积的最小值；
②请在图2中连接，当时，直接写出的长度．
【答案】（1）证明：如图1，
∵是等腰直角三角形，且，
，
，
由旋转的性质得：，
，
，
∵，
.
（2）解：①，如图2，
过点作于点，连接，
∵是等腰直角三角形，且，
由勾股定理得：，
∵，
，
∵点关于的对称点为，
∴是的垂直平分线，
，
∵，
，
∴四边形是菱形，
又 ∵，
∴菱形是正方形，
∴四边形面积的为，
根据“垂线段最短”得：，
∴当点与点重合时，为最小，此时四边形面积的为最小，
∴四边形面积的最小值为 16 .
②的长度.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（2）②如图3，
作的外接圆，过点作交的延长线于点，过点作于点，
设，
，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理得：，
由（1）可知：，
，
由（2）①可知：四边形是正方形，为对角线，
，
∴是外接圆的直径，
，
，
∴点在的外接圆上，
根据圆周角定理得：，
，
∴是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
，
，
在中，，
由勾股定理得：，
在中，，
由勾股定理得：，
，
，解得：，
．
【分析】（1）根据是等腰直角三角形，且，得，进一步得，根据旋转的性质得，进而得
即可证明.
（2）①过点作于点，连接，先求出，则，证明四边形形是正方形，得四边形面积的为，得当点与点重合时，为最小，此时四边形面积的为最小，由此即可得出四边形面积的最小值为 16 .
②作的外接圆，过点作交的延长线于，过点作于点，设，则是等腰直角三角形，则，由（1）的结论得，得，进而得点在的外接圆上，，继而得，则是等腰直角三角形，，在和中，由勾股定理求出，进而可得的长度.
1 / 1广西柳州市柳南区2024-2025学年上学期九年级期末考试数学试题
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）
1．（2025九上·柳南期末）如图，数轴上点P表示的数是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2025九上·柳南期末）中国“二十四节气”已被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“大雪”、“芒种”、“立春”、“白露”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·柳南期末）据统计，2024年上半年，柳州市新能源汽车销量达到238000辆，同比增长，数据238000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·柳南期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025九上·柳南期末）如图，一条公路的两侧铺设了，两条平行管道，并有纵向管道连通，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·柳南期末）已知的半径为3，，则点与的位置关系是（　　）
A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不能确定
7．（2025九上·柳南期末）水果是广西农业农村的支柱产业，是广西的特色名片之一，2021年水果产量约为3121万吨，2023年水果产量约为3389万吨，求2021年至2023年广西水果产量的年平均增长率．设年平均增长率为，依据题意可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025九上·柳南期末）抛物线的图象如图所示，则下列选项中正确的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
9．（2025九上·柳南期末）二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九上·柳南期末）已知一元二次方程的两根分别为和，则的值等于（　　）
A．2 B． C． D．
11．（2025九上·柳南期末）如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①②两部分，将①展开后，得到的四边形一定是（　　）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
12．（2025九上·柳南期末）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为，该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.）
13．（2025九上·柳南期末）计算： ＝　 　．
14．（2025九上·柳南期末）学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是　 　．（单位：分）
15．（2025九上·柳南期末）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度　 　．
16．（2025九上·柳南期末）如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（2025九上·柳南期末）（1）解方程：；
（2）先化简，再求值：，其中．
18．（2025九上·柳南期末）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年月学校举行健美操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下表：
单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分
团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，名次按团体最终成绩由高到低排序
现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下：
．甲、乙两班五个单项得分折线图：
．丙班五个单项得分表：
项目 一 二 三 四 五
得分
根据以上信息，回答下列问题：
（1）已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为，，，，，求丙班第二个单项的得分；
（2）若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是_______班；（填“甲”“乙”或“丙”）
（3）获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有，，三种图书可供选择，请用列表或画树状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率
19．（2025九上·柳南期末）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，销售单价为25元时，日销售量是50个；当单价为35元时，销售量是30个．已知日销售量（个）与销售单价（元）之间是一次函数关系．
（1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）设该玩具日销售利润为元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
20．（2025九上·柳南期末）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
21．（2025九上·柳南期末）【综合与探究】
【研究背景】在学习一次函数、二次函数及反比例函数的图象与性质过程中，同学们学会了探究函数图象与性质的路径和方法．数学兴趣小组的同学运用学习过的知识，类比反比例函数图象与性质的研究路径，对函数的图象与性质进行探究．
【探究过程】
（1）确定函数自变量的取值范围；
（2）绘制函数图象：
①列表：列出与的几组对应值；
．．． 0 1 2 ．．．
．．． 3 2 ．．．
②描点：根据表中的数值在坐标系中描点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点得到函数图象．
（3）结合图象探究函数的性质．
【请完成以下任务】
任务一：函数自变量的取值范围是_____；
任务二：表格中的值是_____；
任务三：把函数图象补充完整；
任务四：观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值随的增大而_____（填“增大”或“减小”）；
任务五：若一次函数与函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围．
22．（2025九上·柳南期末）雨伞是生活中的常见物品，撑开后的雨伞（如图1）是我们熟悉的数学模型-抛物线．在如图2所示的直角坐标系中，伞柄在轴上，伞骨，的交点为坐标原点，点为抛物线的顶点，，点A，B在抛物线上，且，关于轴对称，点到轴的距离是两点之间的距离为4．设抛物线解析式为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）分别延长，，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
（3）将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，新抛物线与轴的正半轴相交于点，且，求的值．
23．（2025九上·柳南期末）【综合与实践】
【实践背景】在学习几何变换旋转知识的过程中，同学们对于由几何变换引起几何图形的变化有了更深入的了解，并对此产生浓厚的兴趣．兴趣小组同学决定利用手中的三角板进行各种变换操作，通过操作观察分析，发现并提出系列有趣的数学问题．
【实践过程】如图1，是等腰直角三角形，且，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
【猜想证明】经过观察分析，大家猜想与是全等的关系，请你说明理由．（1）求证：；
【拓展应用】
（2）继续探究，作点关于的对称点，连接，（如图2），若．
①求四边形面积的最小值；
②请在图2中连接，当时，直接写出的长度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：根据题意可知点P表示的数为，
故答案为：A．
【分析】根据数轴的定义“规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴”并结合点P所在的位置即可求解．
2．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、 绕着某一个点旋转后能够与原来的图形重合， 是中心对称图形，故A正确.
B、绕着某一个点旋转后不能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，故B错误.
C、绕着某一个点旋转后不能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，故C错误.
D、绕着某一个点旋转后不能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，故D错误.
故答案为：A．
【分析】根据把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，分别对A、B、C、D各选项进行判断即可得答案.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据科学记数法的方法得：，
故答案为：D．
【分析】根据科学记数法的表示形式为的形式，找到原数左边第一个不为0的数点上小数点，解可得a，小数点后有几位，n即为几，最后写成即可.
4．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵，
∴1处为空心，且折线向左，
故答案为：C．
【分析】根据大于朝右，小于朝左，有等号实心，无等号空心即可得不等式的解集在数轴上表示图形.
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，
，
，
.
故答案为：B．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，结合得，再根据，得.
6．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为3，，
∴，
∴点在圆内，
故答案为：C．
【分析】根据的半径为，知点到圆心的距离小于半径，即可得答案.
7．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得，，
故答案为：C．
【分析】根据列即可方程.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵抛物线的开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴，
∵，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在负半轴上，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据抛物线的开口向上，得，再根据抛物线的对称轴在y轴右侧，得，进一步得，根据抛物线与y轴的交点在负半轴上，得即可得出答案．
9．【答案】A
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴点落在黑色阴影的概率为，
∴黑色阴影的面积占整个面积的，
∴黑色阴影的面积为．
故答案为：A．
【分析】 大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此得到点落在黑色阴影的概率为0.6，即黑色阴影的面积占整个面积的0.6，据此求解即可．
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根分别为和，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求解即可．
11．【答案】B
【知识点】菱形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由第三个图可以看出：
最后从两次折叠的交点处剪去一个直角三角形，由于是两次折叠得到的图形，那么所得到图形的 4 条边都是所剪直角三角形的斜边，故得到的四边形是菱形．
故答案为：B．
【分析】亲自动手操作，即可得答案.
12．【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇面所在圆的半径为，根据题意得：
，
∴，
∵与之间为反比例关系，
∴与关系的图象是双曲线中位于第一象限的一支，
∴B正确.
故答案为：B．
【分析】设扇面所在圆的半径为，根据扇形面积公式分别得，进一步得，根据反比例函数性质即可得答案.
13．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】 ＝2.
故答案为：2.
【分析】有根号先算根号，所以的值为2。
14．【答案】90
【知识点】条形统计图；中位数
【解析】【解答】解：根据条形统计图，把数据按小到大排序，有12个数，排在中间位置的是第6和7个数，分别是90和90，
∴中位数是.
故答案为：90．
【分析】根据条形统计图，把数据按小到大排序，有12个数，排在中间位置的是第6和7个数，分别是90和90，即可得中位数.
15．【答案】4
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】设反比例函数解析式为，
机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，
，
反比例函数解析式为，
当时，，
当其载重后总质量时，它的最快移动速度．
故答案为：4．
【分析】首先设反比例函数解析式为，然后根据已知对应值时，，即可求得系数k的值，得出函数关系式，再把代入解析式，即可得出答案。
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
在绕点旋转的过程中，当三点共线时，的值最小，
∵，
，
∵为的中点，
，
，
，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】在绕点旋转的过程中，当三点共线时，的值最小，根据圆的性质得，根据中点性质得，根据已知条件得出是等边三角形，由勾股定理求出，即可得.
17．【答案】解：（1），
，
或，
∴.
（2）原式
，
当时，原式．
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；平方差公式及应用；因式分解法解一元二次方程；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1） 把因式分解得，进一步得或，
解出即可.
（2）根据单项式乘以多项式运算法则和平方差公式化简得，把的值
代入求值即可．
18．【答案】（1）解：由题意得去掉一个最高分分，去掉一个最低分分，
则；
（2）乙；
（3）解：列表如下．
第二名
第一名
由列表可以看出，所有等可能出现的结果共有种，
∴（选择同一套图书）．
【知识点】折线统计图；用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；方差
【解析】【解答】（2）解：甲班平均分：，
则，
乙班平均分：，
则，
丙班平均分：，
则，
∵
∴乙整体发挥稳定性最好，
故答案为：乙；
【分析】（）根据平均数公式计算解答即可；
（）利用方差公式计算解题；
（）用列表法得到所有等可能的结果，然后找出符合要求的结果数，再根据概率的计算方法即可求解．
（1）解：由题意得去掉一个最高分分，去掉一个最低分分，
则；
（2）解：甲班平均分：，
则，
乙班平均分：，
则，
丙班平均分：，
则，
∵
∴乙整体发挥稳定性最好，
故答案为：乙；
（3）列表如下．
第二名 第一名
由列表可以看出，所有等可能出现的结果共有种，
∴（选择同一套图书）．
19．【答案】（1）解：设一次函数的关系式为，根据题意得：
，解得：，
∴一次函数的关系式为.
（2）解：根据题意得：
，
整理得：，
，
∴当时，有最大值，最大值为800，
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大，最大利润是800元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设一次函数的关系式为，根据题意得，解出即可.
（2）根据题意得，整理得：，根据二次函数最值性质即可得当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大，最大利润是800元．
（1）解：设一次函数的关系式为，
由题意可知，函数图象过点和点，
把这两点的坐标代入一次函数，
得，
解得：，
∴一次函数的关系式为；
（2）解：根据题意得：，
整理得：；
，
∴当时，有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
20．【答案】（1）证明：如图，
连接，
∵，
，
，
，
，
∴，
，
于点，
，
∴，
是的半径，，
是的切线.
（2）解：如图，
连接，
是的直径，
，
，，
，，
，
，
，
∴，解得：.
，
∴的半径为2．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接，则，得，根据，得，进一步得，可证明，根据平行线性质得，即可证明是的切线.
（2）连接，根据是的直径，得，即可得，根据，，得，根据勾股定理得，即可得的半径为2．
（1）证明：连接，
∵，
，
，
，
，
∴，
，
于点，
，
∴，
是的半径，，
是的切线；
（2）解：连接，
是的直径，
，
，，
，，
，
，
，
∴，
解得（负值舍去），
，
即的半径为2．
21．【答案】解：任务一：.
任务二： 1 .
任务三：根据表格数据，把函数图象补充完整如图所示：
任务四：减小.
任务五：或.
【知识点】函数自变量的取值范围；反比例函数与一次函数的交点问题；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：任务一：根据分式有意义的条件得：，解得.
∴函数自变量的取值范围是，
故答案为：.
任务二：根据表格得：当时，，
∴，
故答案为： 1 .
任务四：如图，
观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值随的增大而减小.
故答案为：减小.
任务五：如图所示，
由图象得，不等式成立的的取值范围为或，
故答案为：或．
【分析】任务一：根据分式有意义的条件得，求解表达式即可.
任务二：根据表格得：当时，，即可.
任务三：根据表格数据，把函数图象补充完整.
任务四：观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值随的增大而减小即可.
任务五：由图象得，不等式成立的的取值范围为或，即可.
22．【答案】（1）解：如图，
∵关于轴对称，，点到轴的距离是 0.6 ，
∴点，
∵，
∴，
根据点，点在图像上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式.
（2）解：由（1）得抛物线解析式为：，
设直线的表达式为：，
∵点在直线上，
∴即：，
∴直线的表达式为：，
把和联合得：．解得：（舍去）或 ，
，
∴点的坐标为，
∴.
（3）解：将抛物线向右平移个单位后的抛物线表达式为：，
令，则，此时抛物线与轴的交点为，
，即，解得：或．
，
或4．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用；正比例函数的图象
【解析】【分析】（1）根据题目情境和已知条件得，，根据待定系数法得，解出即可得抛物线的解析式.
（2）由（1）得抛物线解析式为：，再根据待定系数法求出直线的表达式为：，联合表达式求出点的坐标，即可求解.
（3）将抛物线向右平移个单位后的抛物线表达式为：，进而得出与轴的交点，由得，解出得或，根据得或4．
（1）解：∵关于轴对称，，点到轴的距离是 0.6 ，
则点，
∵，
∴，
将点，点代入得，
解得：，
即；
（2）解：由（1）得抛物线解析式为：，由点的坐标得直线的表达式为：，
联立抛物线与直线得：．
解得：（舍去）或 ，
，
∴点的坐标为，
则根据对称性可得；
（3）解：将抛物线向右平移个单位后的抛物线表达式为：，
令，则，
此时抛物线与轴的交点为，
，
即，
解得：或．
，
或4．
23．【答案】（1）证明：如图1，
∵是等腰直角三角形，且，
，
，
由旋转的性质得：，
，
，
∵，
.
（2）解：①，如图2，
过点作于点，连接，
∵是等腰直角三角形，且，
由勾股定理得：，
∵，
，
∵点关于的对称点为，
∴是的垂直平分线，
，
∵，
，
∴四边形是菱形，
又 ∵，
∴菱形是正方形，
∴四边形面积的为，
根据“垂线段最短”得：，
∴当点与点重合时，为最小，此时四边形面积的为最小，
∴四边形面积的最小值为 16 .
②的长度.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（2）②如图3，
作的外接圆，过点作交的延长线于点，过点作于点，
设，
，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理得：，
由（1）可知：，
，
由（2）①可知：四边形是正方形，为对角线，
，
∴是外接圆的直径，
，
，
∴点在的外接圆上，
根据圆周角定理得：，
，
∴是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
，
，
在中，，
由勾股定理得：，
在中，，
由勾股定理得：，
，
，解得：，
．
【分析】（1）根据是等腰直角三角形，且，得，进一步得，根据旋转的性质得，进而得
即可证明.
（2）①过点作于点，连接，先求出，则，证明四边形形是正方形，得四边形面积的为，得当点与点重合时，为最小，此时四边形面积的为最小，由此即可得出四边形面积的最小值为 16 .
②作的外接圆，过点作交的延长线于，过点作于点，设，则是等腰直角三角形，则，由（1）的结论得，得，进而得点在的外接圆上，，继而得，则是等腰直角三角形，，在和中，由勾股定理求出，进而可得的长度.
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