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北京市东城区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八上·东城期末）内角和为540°的多边形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，
根据题意得，（n﹣2） 180°=540°，
解得：n=5．
故答案为：C．
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式为（n﹣2） 180°列方程，解方程得n的值，解答即可.
2．（2025八上·东城期末）如图，为估计池塘岸边，两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点，则得，，则点，间的距离不可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴四个选项中，只有A选项符合题意，
故选A
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
3．（2025八上·东城期末）下列各式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据同底数幂乘法法则可判断A；根据同底数幂除法法则可判断B；根据幂的乘方法则可判断C；根据积的乘法法则可判断D；逐一判断即可解答．
4．（2025八上·东城期末）在一些科学研究或工程实验中，对测量结果的误差分析是非常重要的．例如，某个测量值的误差范围是，用科学记数法表示这个误差值可以更直观地看出误差的大小和相对精度用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：B．
【分析】
根据科学记数法，将一个小于1数表示为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为负整数，数字n为小数点移动的位数，计算即可解答.
5．（2025八上·东城期末）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图形不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、图形不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、图形不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，是轴对称图形，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】
根据轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐一判断即可解答。
6．（2025八上·东城期末）下列分式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质；约分；分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】解：，故A不符合题意；
无法进行约分，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数或整式，分式的值不变，逐项判断即可解答．
7．（2025八上·东城期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（　　）
A．50° B．60° C．75° D．85°
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由题意得：∠DFE=60°，∠C=∠B=45°，∴∠DAC＝∠DFE+∠C＝60°+45°＝105°，
∵∠DAC+∠CAF=180°，
∴∠CAF＝180°﹣∠DAC=180°-105°＝75°，
故答案为：C．
【分析】根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得∠DAC＝∠DFE+∠C求出∠DAC的度数，然后根据平角的定义即可求解．
8．（2025八上·东城期末）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（　　）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据题意，得，
在和中，
，
∴，
∴判定三角形全等的依据是三边分别相等的两个三角形全等，
故答案为：A.
【分析】根据作一个角等于已知角的基本作图，可得，从而可知判定三角形全等的依据为“SSS”.
9．（2025八上·东城期末）牛奶和鸡蛋中含有丰富的蛋白质．已知m克牛奶中含a克蛋白质，比n克鸡蛋中含的蛋白质少b克，则m克鸡蛋中蛋白质的含量是（　　）克
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：由题意知，n克鸡蛋中含的蛋白质克，
所以m克鸡蛋中蛋白质的含量是克．
故答案为：B．
【分析】
根据题干信息： 牛奶中含a克蛋白质比鸡蛋中含的蛋白质少b克列式得鸡蛋中含的蛋白质为 克，从而得到每克鸡蛋中的蛋白质含量为克，再计算得到m克鸡蛋中蛋白质的含量是克，据此可得答案．
10．（2025八上·东城期末）如图，，垂足分别为E，F，与交于点D，下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，
，
在中，，在中，
，
在和中，
，
∴，故①选项正确；
，
，
，
得，
在和中，
，
∴，选项②正确；
，
，
连接，
在和中，
，
∴，
，即点D在的平分线上，选项③正确；
，
，
，
，
，选项④错误；
故正确的为①②③，
故答案为：C．
【分析】根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和得到，由ASA得到，故①选项正确；结合AAS可以证明得到，选项②正确；根据全等三角形的性质得到，结合HL证得，根据全等三角形的性质得到，即点D在的平分线上，选项③正确，由，得到，根据，，选项④错误，进而得到答案．
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．
11．（2025八上·东城期末）港珠澳大桥全长约55公里，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥．下图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是　 　．
【答案】三角形具有稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【分析】根据题中具备三角形，结合三角形的稳定性，即可求解．
12．（2025八上·东城期末）若分式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：．
故答案为：
【分析】
根据分式有意义的条件是：分母不等于零，列式为，求解即可．
13．（2025八上·东城期末）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】，
故答案为：.
【分析】先提取公因式a，再利用平方差公式因式分解即可.
14．（2025八上·东城期末）计算： 　 　.
【答案】4
【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：
=3+1
=4
故答案为：4.
【分析】先算乘方运算：任何不等于0 的数的0次幂都等于1，a-p= 1ap（a≠0，p为正整数），再算加法可得结果。
15．（2025八上·东城期末）如图，点E，F在BC上，，，相交于点G，若添加一个条件，可使得，则添加的条件可以是　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】依题意，若添加条件是，
∴在和中，
，
使得，
则添加的条件可以是（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）
【分析】由题意可得，， ，结合三角形全等的判定方法，即可求解．
16．（2025八上·东城期末）如图，在四边形中，，，，若平分，则四边形的面积为　 　．
【答案】20
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如下图，过点作，交延长线于点，
∵平分，，，
∴，
∴四边形的面积
．
故答案为：20．
【分析】
过点作，交延长线于点，根据角平分线定理得到，然后根据四边形的面积利用三角形的面积公式代入计算，即可解答．
17．（2025八上·东城期末）如图，等腰中垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若的面积是，则的周长最小值是　 　.
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
∴要使的周长最小，即要使最小，
∴当三点共线，即点G与点F重合时，最小，最小值为，
∵，
∴，
∵的面积是，
∴，
∴，
∴的周长最小值是，
故答案为：．
【分析】
如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，进而证明当三点共线，即点G与点F重合时，最小，最小值为，利用三线合一定理和三角形面积公式求出即可得到答案．
18．（2025八上·东城期末）如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为4，下列说法正确的有　 　．①正方形A和B的面积和是34；②图2中新的正方形的面积是64；③正方形A和B的面积差是16；④正方形A的边长是．
【答案】①②③④
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
图1的阴影部分面积为：，
图2的阴影部分的面积为：，
又图1，图2中阴影部分的面积分别为4，
，，即，
，
即，
故①正确；
，
故②正确；
，，，
，，
，，
，
即正方形A与正方形B的面积差为16，
故③正确；
由于，即正方形A的边长为5，
故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④，
故答案为：①②③④．
【分析】
根据完全平方公式的几何背景：先设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图形表示出
图1的阴影部分面积为：，图2的阴影部分的面积为：，再通过阴影部分的面积分别为4，30；利用完全平方公式构造求出，，再逐一判断各个选项即可解答.
三、解答题：本题共10小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（2025八上·东城期末）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】根据整式的混合运算，先算乘方，再算乘除，然后合并同类项即可解答．
20．（2025八上·东城期末）解分式方程：．
【答案】解：原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】
根据解分式方程的一半步骤：先去分母得，将原方程化为整式方程，解得x的值，然后进行检验即可解答．
21．（2025八上·东城期末）已知：，求代数式的值．
【答案】解：，
，即，
则原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】先根据乘法公式对给出的整式进行化简得，再合并同类项化简得到，再根据已知条件和等式的性质求出，最后把代入进行计算即可解答．
22．（2025八上·东城期末）先化简，再选一个合适的数作为x值代入，求出代数式的值．
【答案】解：原式
，
或时分式无意义，
不能是1或，
当时，
原式
【知识点】分式的化简求值；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先把括号内的式子通分，然后按照同分母的分式相加计算括号内得到，再把除法化成乘法，进行约分得到，然后取使得分式有意义的数，代入化简后的式子进行计算即可解答．
23．（2025八上·东城期末）如图，在所给正方形网格图中完成下列各题，的三个顶点都在格点上（用无刻度的直尺画图）．
（1）画出的中线；
（2）作出关于直线对称的；
（3）在直线上找到一点，使的值最小．
【答案】（1）解：如图，
找出中点，然后连接几可求解；
（2）解：如图，利用网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点，
△A1B1C1为所求；
（3）解：如图，连接B1C交于，由QB=QB1可得，然后根据两点之间线段最短即可求解.
点Q即为所求.
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据网格图的特点找出中点，然后连接即可求解；
（2）根据网格图的特点和轴对称的性质画出关于的对称点，然后顺次连接A1、B1、C1即可求解；
（3）连接B1C交于，由QB=QB1可得，然后根据两点之间线段最短可判断此时点就是所求作的点.
（1）如图，找出中点，然后连接，
∴即为所求；
（2）如图，利用网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点，
∴即为所求；
（3）如图，
连接交于，利用得到，则根据两点之间线段最短即可，
∴点即为所求．
24．（2025八上·东城期末）如图，在和中，，，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
由根据角度的运算可得，再结合，利用SAS判定，再根据全等三角形的性质即可解答．
25．（2025八上·东城期末）列分式方程解应用题：
2024年7月27日，北京中轴线申遗成功．中轴线南起永定门，北至钟鼓楼．某班级两个小组分别在永定门和钟鼓楼参观之后，他们同时出发到故宫集合．第一小组从永定门骑行至故宫，行程约，第二小组从钟鼓楼步行至故宫，行程约．已知骑行的速度是步行速度的2倍，第一小组比第二小组提前6分钟到达，求第二小组步行的速度是每小时多少千米．
【答案】解：设第二小组的步行速度是每小时x千米，则第一小组的骑行速度是每小时2x千米，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：第二小组的步行速度是每小时5千米．
【知识点】解分式方程；列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】
设第二小组的步行速度是每小时x千米，则第一小组的骑行速度是每小时千米，根据时间=路程速度表示出第一小组得时间为，第二小组时间为，再由题意 第一小组比第二小组提前6分钟到达列出分式方程，并检验解得合理性，求解即可．
26．（2025八上·东城期末）已知（是正整数，m叫作n的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数．
（1）的平方差倒数是______；
（2）是n的平方差倒数，求m的值；
（3）已知是某一正整数的平方差倒数（是正整数），求的最小值．
【答案】（1）
（2）解：由题易得，，
即，
解得，
经检验，是该方程的解，
此时；
（3）解：
，
，
，
，
，b，n为正整数，
可取的最小值为6，
的最小值为．
【知识点】完全平方公式及运用；分式方程的实际应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1），
的平方差倒数是，
故答案为：；
【分析】
（1）根据（是正整数，m叫作n的平方差倒数，把n=4代入计算，即可解题；
（2）根据“是n的平方差倒数”结合新定义建立分式方程求解并检验解得合理性，即可解题；
（3）先将分式的分母利用整式的乘法计算并合并同类项化简得再对分母配方得到，再根据新定义得到，化简得到，再由，b，n为正整数，又是一个完全平方数得到可取的最小值为6，从而可得a+b的最小值，求解即可．
（1）解：，
的平方差倒数是，
故答案为：；
（2）解：由题易得，，
即，
解得，
经检验，是该方程的解，
此时；
（3）解：
，
，
，
，b，n为正整数，
可取的最小值为6，
的最小值为．
27．（2025八上·东城期末）在中，，，C为直线上一点（点C不与点O，点B重合），点C关于点B的对称点为点D，连接，在直线上取一点E，使，直线交直线于点．
（1）当点C在如图1所在位置时，请补全图形．
①若，求的度数（用含的式子表示）；
②写出此时，，之间的数量关系，并证明；
（2）当点C不在如图1所在位置时，请你确定一个满足题意的点C的位置，在图2中补全图形，直接写出一个，，之间的数量关系．（要求：和（1）中，，之间的数量关系不同）
【答案】（1）解：①根据题意，补图如下：
，，
，
，
，
点C和点D关于点B对称，
，
，
，
；
，
．
②如图1，
，理由如下：
作于G，
，
，
，
，
，
∴
．
（2）
【知识点】角的运算；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】
解：（2）如图2，
当点C在上时，作于G，
由②知，，，
．
故答案为：
【分析】
①先通过直角三角形的两个锐角互余计算得到，在表示出，再根据轴对称的性质得到，从而得出，推导出出，解答即可；
②作于G，先通过直角三角形的两个锐角互余计算得到，再利用30角的性质得出，可推出，再计算线段的和差解答即可．
当点C在上时，作于G，由②的推导得出，，再计算线段的和差解答即可．
（1）①根据题意，补图如下：
，，
，
，
，
点C和点D关于点B对称，
，
，
，
；
，
．
②如图1，
，理由如下：
作于G，
，
，
，
，
，
，
．
（2）如图2，
当点C在上时，作于G，
由②知，，，
．
28．（2025八上·东城期末）在平面直角坐标系中，过点作直线轴，图形W关于直线l的对称图形为，图形上任一点到x轴，y轴的距离的最大值是d，称d是图形W关于直线l的m倍镜像“接收距离”．
已知点，．
（1）①线段关于直线l的1倍镜像“接收距离”是　 　；
②线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2，m的取值范围是　 　；
（2）点，关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值是　 　．
（3）点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”，求m的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1）3；
（2）4
（3）
【知识点】解一元一次方程；一元一次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用；点的坐标；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：（1）①设线段关于直线l的1倍镜像的线段为，
，，
点距离y轴距离最大为：3，
故答案为：3；
②点A和B关于直线的对称点为：，，
线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2，
，
，
故答案为：；
（2）如图1，
，，，
、C距离y轴的距离之差是8，
、C关于直线l的m倍镜像、的距离之差也是8，
，关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值是 4，
故答案为：4；
（3）如图2，
点A和B关于直线的对称点为：，，
线段关于直线l的m倍镜像的线段是，则，，
当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”等于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时，
，
，
当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时，．
故答案为：
【分析】
（1）①根据新定义先求出A、B关于直线l的1倍镜像的对应点坐标，， 再判断到 y轴的距离的最大值为3，由此即可解答 ；
②先根据新定义表示出点A和B关于直线的对称点为，，再根据线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2即到x轴，y轴的距离的最大值为2列出不等式组，解不等式组可得x的范围；
（2）根据，，三点的坐标得出B、C到y轴的距离之差是8可推断出B、C关于直线l的m倍镜像、的距离之差也是8，从而得出关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值；
（3）先表示出点A和B关于直线的对称点为，，然后根据线段关于直线l的m倍镜像的线段是得到，，再根据点，即线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”等于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”列式为，解方程得到临界m的值，从而解答即可．
（1）解：①设线段关于直线l的1倍镜像的线段为，
，，
点距离y轴距离最大为：3，
故答案为：3；
②点A和B关于直线的对称点为：，，
线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图1，
，，，
、C距离y轴的距离之差是8，
、C关于直线l的m倍镜像、的距离之差也是8，
，关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值是 4，
故答案为：4；
（3）解：如图2，
点A和B关于直线的对称点为：，，
线段关于直线l的m倍镜像的线段是，则，，
当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”等于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时，
，
，
当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时，．
1 / 1北京市东城区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八上·东城期末）内角和为540°的多边形是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·东城期末）如图，为估计池塘岸边，两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点，则得，，则点，间的距离不可能是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八上·东城期末）下列各式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八上·东城期末）在一些科学研究或工程实验中，对测量结果的误差分析是非常重要的．例如，某个测量值的误差范围是，用科学记数法表示这个误差值可以更直观地看出误差的大小和相对精度用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八上·东城期末）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025八上·东城期末）下列分式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025八上·东城期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（　　）
A．50° B．60° C．75° D．85°
8．（2025八上·东城期末）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（　　）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
9．（2025八上·东城期末）牛奶和鸡蛋中含有丰富的蛋白质．已知m克牛奶中含a克蛋白质，比n克鸡蛋中含的蛋白质少b克，则m克鸡蛋中蛋白质的含量是（　　）克
A． B． C． D．
10．（2025八上·东城期末）如图，，垂足分别为E，F，与交于点D，下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．
11．（2025八上·东城期末）港珠澳大桥全长约55公里，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥．下图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是　 　．
12．（2025八上·东城期末）若分式有意义，则x的取值范围是　 　．
13．（2025八上·东城期末）因式分解：　 　．
14．（2025八上·东城期末）计算： 　 　.
15．（2025八上·东城期末）如图，点E，F在BC上，，，相交于点G，若添加一个条件，可使得，则添加的条件可以是　 　．
16．（2025八上·东城期末）如图，在四边形中，，，，若平分，则四边形的面积为　 　．
17．（2025八上·东城期末）如图，等腰中垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若的面积是，则的周长最小值是　 　.
18．（2025八上·东城期末）如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为4，下列说法正确的有　 　．①正方形A和B的面积和是34；②图2中新的正方形的面积是64；③正方形A和B的面积差是16；④正方形A的边长是．
三、解答题：本题共10小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（2025八上·东城期末）计算：．
20．（2025八上·东城期末）解分式方程：．
21．（2025八上·东城期末）已知：，求代数式的值．
22．（2025八上·东城期末）先化简，再选一个合适的数作为x值代入，求出代数式的值．
23．（2025八上·东城期末）如图，在所给正方形网格图中完成下列各题，的三个顶点都在格点上（用无刻度的直尺画图）．
（1）画出的中线；
（2）作出关于直线对称的；
（3）在直线上找到一点，使的值最小．
24．（2025八上·东城期末）如图，在和中，，，．求证：．
25．（2025八上·东城期末）列分式方程解应用题：
2024年7月27日，北京中轴线申遗成功．中轴线南起永定门，北至钟鼓楼．某班级两个小组分别在永定门和钟鼓楼参观之后，他们同时出发到故宫集合．第一小组从永定门骑行至故宫，行程约，第二小组从钟鼓楼步行至故宫，行程约．已知骑行的速度是步行速度的2倍，第一小组比第二小组提前6分钟到达，求第二小组步行的速度是每小时多少千米．
26．（2025八上·东城期末）已知（是正整数，m叫作n的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数．
（1）的平方差倒数是______；
（2）是n的平方差倒数，求m的值；
（3）已知是某一正整数的平方差倒数（是正整数），求的最小值．
27．（2025八上·东城期末）在中，，，C为直线上一点（点C不与点O，点B重合），点C关于点B的对称点为点D，连接，在直线上取一点E，使，直线交直线于点．
（1）当点C在如图1所在位置时，请补全图形．
①若，求的度数（用含的式子表示）；
②写出此时，，之间的数量关系，并证明；
（2）当点C不在如图1所在位置时，请你确定一个满足题意的点C的位置，在图2中补全图形，直接写出一个，，之间的数量关系．（要求：和（1）中，，之间的数量关系不同）
28．（2025八上·东城期末）在平面直角坐标系中，过点作直线轴，图形W关于直线l的对称图形为，图形上任一点到x轴，y轴的距离的最大值是d，称d是图形W关于直线l的m倍镜像“接收距离”．
已知点，．
（1）①线段关于直线l的1倍镜像“接收距离”是　 　；
②线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2，m的取值范围是　 　；
（2）点，关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值是　 　．
（3）点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”，求m的取值范围（直接写出结果即可）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，
根据题意得，（n﹣2） 180°=540°，
解得：n=5．
故答案为：C．
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式为（n﹣2） 180°列方程，解方程得n的值，解答即可.
2．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴四个选项中，只有A选项符合题意，
故选A
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据同底数幂乘法法则可判断A；根据同底数幂除法法则可判断B；根据幂的乘方法则可判断C；根据积的乘法法则可判断D；逐一判断即可解答．
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：B．
【分析】
根据科学记数法，将一个小于1数表示为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为负整数，数字n为小数点移动的位数，计算即可解答.
5．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图形不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、图形不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、图形不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，是轴对称图形，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】
根据轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐一判断即可解答。
6．【答案】D
【知识点】分式的基本性质；约分；分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】解：，故A不符合题意；
无法进行约分，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数或整式，分式的值不变，逐项判断即可解答．
7．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由题意得：∠DFE=60°，∠C=∠B=45°，∴∠DAC＝∠DFE+∠C＝60°+45°＝105°，
∵∠DAC+∠CAF=180°，
∴∠CAF＝180°﹣∠DAC=180°-105°＝75°，
故答案为：C．
【分析】根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得∠DAC＝∠DFE+∠C求出∠DAC的度数，然后根据平角的定义即可求解．
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据题意，得，
在和中，
，
∴，
∴判定三角形全等的依据是三边分别相等的两个三角形全等，
故答案为：A.
【分析】根据作一个角等于已知角的基本作图，可得，从而可知判定三角形全等的依据为“SSS”.
9．【答案】B
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：由题意知，n克鸡蛋中含的蛋白质克，
所以m克鸡蛋中蛋白质的含量是克．
故答案为：B．
【分析】
根据题干信息： 牛奶中含a克蛋白质比鸡蛋中含的蛋白质少b克列式得鸡蛋中含的蛋白质为 克，从而得到每克鸡蛋中的蛋白质含量为克，再计算得到m克鸡蛋中蛋白质的含量是克，据此可得答案．
10．【答案】C
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，
，
在中，，在中，
，
在和中，
，
∴，故①选项正确；
，
，
，
得，
在和中，
，
∴，选项②正确；
，
，
连接，
在和中，
，
∴，
，即点D在的平分线上，选项③正确；
，
，
，
，
，选项④错误；
故正确的为①②③，
故答案为：C．
【分析】根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和得到，由ASA得到，故①选项正确；结合AAS可以证明得到，选项②正确；根据全等三角形的性质得到，结合HL证得，根据全等三角形的性质得到，即点D在的平分线上，选项③正确，由，得到，根据，，选项④错误，进而得到答案．
11．【答案】三角形具有稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【分析】根据题中具备三角形，结合三角形的稳定性，即可求解．
12．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：．
故答案为：
【分析】
根据分式有意义的条件是：分母不等于零，列式为，求解即可．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】，
故答案为：.
【分析】先提取公因式a，再利用平方差公式因式分解即可.
14．【答案】4
【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：
=3+1
=4
故答案为：4.
【分析】先算乘方运算：任何不等于0 的数的0次幂都等于1，a-p= 1ap（a≠0，p为正整数），再算加法可得结果。
15．【答案】（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】依题意，若添加条件是，
∴在和中，
，
使得，
则添加的条件可以是（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）
【分析】由题意可得，， ，结合三角形全等的判定方法，即可求解．
16．【答案】20
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如下图，过点作，交延长线于点，
∵平分，，，
∴，
∴四边形的面积
．
故答案为：20．
【分析】
过点作，交延长线于点，根据角平分线定理得到，然后根据四边形的面积利用三角形的面积公式代入计算，即可解答．
17．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
∴要使的周长最小，即要使最小，
∴当三点共线，即点G与点F重合时，最小，最小值为，
∵，
∴，
∵的面积是，
∴，
∴，
∴的周长最小值是，
故答案为：．
【分析】
如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，进而证明当三点共线，即点G与点F重合时，最小，最小值为，利用三线合一定理和三角形面积公式求出即可得到答案．
18．【答案】①②③④
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
图1的阴影部分面积为：，
图2的阴影部分的面积为：，
又图1，图2中阴影部分的面积分别为4，
，，即，
，
即，
故①正确；
，
故②正确；
，，，
，，
，，
，
即正方形A与正方形B的面积差为16，
故③正确；
由于，即正方形A的边长为5，
故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④，
故答案为：①②③④．
【分析】
根据完全平方公式的几何背景：先设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图形表示出
图1的阴影部分面积为：，图2的阴影部分的面积为：，再通过阴影部分的面积分别为4，30；利用完全平方公式构造求出，，再逐一判断各个选项即可解答.
19．【答案】解：
．
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】根据整式的混合运算，先算乘方，再算乘除，然后合并同类项即可解答．
20．【答案】解：原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】
根据解分式方程的一半步骤：先去分母得，将原方程化为整式方程，解得x的值，然后进行检验即可解答．
21．【答案】解：，
，即，
则原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】先根据乘法公式对给出的整式进行化简得，再合并同类项化简得到，再根据已知条件和等式的性质求出，最后把代入进行计算即可解答．
22．【答案】解：原式
，
或时分式无意义，
不能是1或，
当时，
原式
【知识点】分式的化简求值；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先把括号内的式子通分，然后按照同分母的分式相加计算括号内得到，再把除法化成乘法，进行约分得到，然后取使得分式有意义的数，代入化简后的式子进行计算即可解答．
23．【答案】（1）解：如图，
找出中点，然后连接几可求解；
（2）解：如图，利用网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点，
△A1B1C1为所求；
（3）解：如图，连接B1C交于，由QB=QB1可得，然后根据两点之间线段最短即可求解.
点Q即为所求.
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据网格图的特点找出中点，然后连接即可求解；
（2）根据网格图的特点和轴对称的性质画出关于的对称点，然后顺次连接A1、B1、C1即可求解；
（3）连接B1C交于，由QB=QB1可得，然后根据两点之间线段最短可判断此时点就是所求作的点.
（1）如图，找出中点，然后连接，
∴即为所求；
（2）如图，利用网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点，
∴即为所求；
（3）如图，
连接交于，利用得到，则根据两点之间线段最短即可，
∴点即为所求．
24．【答案】证明：∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
由根据角度的运算可得，再结合，利用SAS判定，再根据全等三角形的性质即可解答．
25．【答案】解：设第二小组的步行速度是每小时x千米，则第一小组的骑行速度是每小时2x千米，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：第二小组的步行速度是每小时5千米．
【知识点】解分式方程；列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】
设第二小组的步行速度是每小时x千米，则第一小组的骑行速度是每小时千米，根据时间=路程速度表示出第一小组得时间为，第二小组时间为，再由题意 第一小组比第二小组提前6分钟到达列出分式方程，并检验解得合理性，求解即可．
26．【答案】（1）
（2）解：由题易得，，
即，
解得，
经检验，是该方程的解，
此时；
（3）解：
，
，
，
，
，b，n为正整数，
可取的最小值为6，
的最小值为．
【知识点】完全平方公式及运用；分式方程的实际应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1），
的平方差倒数是，
故答案为：；
【分析】
（1）根据（是正整数，m叫作n的平方差倒数，把n=4代入计算，即可解题；
（2）根据“是n的平方差倒数”结合新定义建立分式方程求解并检验解得合理性，即可解题；
（3）先将分式的分母利用整式的乘法计算并合并同类项化简得再对分母配方得到，再根据新定义得到，化简得到，再由，b，n为正整数，又是一个完全平方数得到可取的最小值为6，从而可得a+b的最小值，求解即可．
（1）解：，
的平方差倒数是，
故答案为：；
（2）解：由题易得，，
即，
解得，
经检验，是该方程的解，
此时；
（3）解：
，
，
，
，b，n为正整数，
可取的最小值为6，
的最小值为．
27．【答案】（1）解：①根据题意，补图如下：
，，
，
，
，
点C和点D关于点B对称，
，
，
，
；
，
．
②如图1，
，理由如下：
作于G，
，
，
，
，
，
∴
．
（2）
【知识点】角的运算；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】
解：（2）如图2，
当点C在上时，作于G，
由②知，，，
．
故答案为：
【分析】
①先通过直角三角形的两个锐角互余计算得到，在表示出，再根据轴对称的性质得到，从而得出，推导出出，解答即可；
②作于G，先通过直角三角形的两个锐角互余计算得到，再利用30角的性质得出，可推出，再计算线段的和差解答即可．
当点C在上时，作于G，由②的推导得出，，再计算线段的和差解答即可．
（1）①根据题意，补图如下：
，，
，
，
，
点C和点D关于点B对称，
，
，
，
；
，
．
②如图1，
，理由如下：
作于G，
，
，
，
，
，
，
．
（2）如图2，
当点C在上时，作于G，
由②知，，，
．
28．【答案】（1）3；
（2）4
（3）
【知识点】解一元一次方程；一元一次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用；点的坐标；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：（1）①设线段关于直线l的1倍镜像的线段为，
，，
点距离y轴距离最大为：3，
故答案为：3；
②点A和B关于直线的对称点为：，，
线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2，
，
，
故答案为：；
（2）如图1，
，，，
、C距离y轴的距离之差是8，
、C关于直线l的m倍镜像、的距离之差也是8，
，关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值是 4，
故答案为：4；
（3）如图2，
点A和B关于直线的对称点为：，，
线段关于直线l的m倍镜像的线段是，则，，
当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”等于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时，
，
，
当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时，．
故答案为：
【分析】
（1）①根据新定义先求出A、B关于直线l的1倍镜像的对应点坐标，， 再判断到 y轴的距离的最大值为3，由此即可解答 ；
②先根据新定义表示出点A和B关于直线的对称点为，，再根据线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2即到x轴，y轴的距离的最大值为2列出不等式组，解不等式组可得x的范围；
（2）根据，，三点的坐标得出B、C到y轴的距离之差是8可推断出B、C关于直线l的m倍镜像、的距离之差也是8，从而得出关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值；
（3）先表示出点A和B关于直线的对称点为，，然后根据线段关于直线l的m倍镜像的线段是得到，，再根据点，即线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”等于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”列式为，解方程得到临界m的值，从而解答即可．
（1）解：①设线段关于直线l的1倍镜像的线段为，
，，
点距离y轴距离最大为：3，
故答案为：3；
②点A和B关于直线的对称点为：，，
线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图1，
，，，
、C距离y轴的距离之差是8，
、C关于直线l的m倍镜像、的距离之差也是8，
，关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值是 4，
故答案为：4；
（3）解：如图2，
点A和B关于直线的对称点为：，，
线段关于直线l的m倍镜像的线段是，则，，
当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”等于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时，
，
，
当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时，．
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