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2025-2026学年天津二十八中八年级上学期期末模拟数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共36分）
1．（3分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个汉字中，是轴对称图形的为（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）等腰三角形的两边长分别是2，4，则第三边长为（　　）
A．2 B．4 C．2或4 D．3或4
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5
B．（15x2y﹣10xy2）÷5xy＝3x﹣2y
C．10ab3÷（﹣5ab）＝﹣2ab2
D．a﹣2b3 （a2b﹣1）﹣2
4．（3分）分式的化简结果为（　　）
A． B．x﹣y C．x+y D．1
5．（3分）如图，已知BE＝DF，AB∥DC．要使△ABF≌△CDE，添加的条件可以是（　　）
A．BF＝DE B．AF＝CE C．AB＝CD D．∠B＝∠D
6．（3分）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则它的顶角为（　　）
A．36° B．54° C．72°或36° D．54°或126°
7．（3分）如图，4个全等的小长方形与1个小正方形拼成了一个大正方形图案，已知大正方形边长为a，小正方形的边长为b，小长方形的长和宽分别为m，n（m＞n）．下列说法不正确的是（　　）
A．m+n＝a B．
C．m2﹣n2＝ab D．
8．（3分）如图，等腰△ABC的周长为18，底边BC＝4，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径在AB两侧作弧，两弧分别相交于点M，N，直线MN分别与AB，AC相交于点D，E，连接BE，则△BEC的周长为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
9．（3分）中国高铁目前是世界高铁的领跑者，无论里程和速度都是世界最高的．郑州、北京两地相距约700km，乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用3.6h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，则下面所列方程中正确（　　）
A．3.6 B．3.6
C．3.6 D．3.6
10．（3分）若k为任意整数，则（k+1）2﹣（k﹣1）2的值总能（　　）
A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除
11．（3分）现有一块如图所示的四边形草地ABCD，经测量，∠B＝∠C，AB＝12m，BC＝8m，CD＝14m，点E是AB边的中点．甲机器人从点B出发以2m/s的速度沿BC向点C运动，同时乙机器人从点C出发沿CD向点D运动，若将甲、乙机器人各自到达的位置分别记为点P和点Q．如果能够在某一时刻使△BEP与△CPQ全等，则乙机器人的运动速度为（　　）
A．或 B．2m/s或
C．3m/s或 D．2m/s或3m/s
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，有如下五个结论：①AO⊥BC；②OD＝OE；③△OEF是等边三角形；④△OEF≌△CEF；⑤∠OEF＝54°．则上列说法中正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．（3分）已知点P（a+2，﹣2）和点Q（4，b）关于x轴对称，则ab＝　 　 ．
14．（3分）如果x2+kx+81是一个完全平方式，那么k的值为　 　 ．
15．（3分）计算： 　 　 ．
16．（3分）若a2﹣b2，a+b，则a﹣b的值为　 　 ．
17．（3分）如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．当∠A＝70°时，则∠BPC的度数为 　 　 ．
18．（3分）如图，∠AOB＝30°，点P位于∠AOB内，OP＝3，点M，N分别是射线OA、OB边上的动点，当△PMN的周长最小时，最小周长为 　 　 ．
三、解答题（本大题共7小题，共46分）
19．（5分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2．
20．（6分）（1）计算：；
（2）因式分解：4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．
21．（3分）解方程：．
22．（6分）如图，点A，B，C，D在一条直线上，AE∥DF，AE＝DF，AB＝CD．
（1）求证：△AEC≌△DFB．
（2）若∠A＝40°，∠ECD＝145°，求∠F的度数．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC．
（1）求证：AD⊥BC．
（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．
24．（8分）某学校在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）为响应“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．如果此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2750元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
25．（10分）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且EF＝BE+FD探究图中∠BAE，∠FAD，∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG．先证明△ABE≌△ADG，再证△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　 　 ．
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系．
2025-2026学年天津二十八中八年级上学期期末模拟数学试卷答案
一、单选题（本大题共12小题，共36分）
1．【答案】C
【解答】解：A，B，D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
2．【答案】B
【解答】解：当第三边为2时，∵2+2＝4，
∴长度为2，2，4的三条线段不能构成三角形，
∴第三边为2不合题意，
当第三边为4时，∵2+4＞4，
∴长度为2，4，4的三条线段能构成三角形，
∴第三边为4符合题意，
故选：B．
3．【答案】B
【解答】解：A、（a2）3＝a6，故A错误；
B、（15x2y﹣10xy2）÷5xy＝3x﹣2y，故B正确；
C、10ab3÷（﹣5ab）＝﹣2b2，故C错误；
D、a﹣2b3 （a2b﹣1）﹣2，故D错误；
故选：B．
4．【答案】C
【解答】解：
＝x+y．
故选：C．
5．【答案】C
【解答】解：应添加AB＝CD，理由如下：
∵AB∥DC，
∴∠B＝∠D．∵BE＝DF，∴BE﹣EF＝DF﹣EF，即BF＝DE．
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
故选：C．
6．【答案】D
【解答】解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝36°，
∴∠A＝54°，
即顶角的度数为54°．
②如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA＝36°，
∴∠BAD＝54°，
∴∠BAC＝126°．
故选：D．
7．【答案】D
【解答】解：由题意m+n＝a，m﹣n＝b，
∴（m+n）（m﹣n）＝ab，
∴m2﹣n2＝ab，故选项A，C正确，
∵a2﹣b2＝4mn，
∴mn，故选项B正确．
故选：D．
8．【答案】A
【解答】解：∵等腰△ABC的周长为18，底边BC＝4，
∴AB＝AC＝（18﹣4）÷2＝7，
由作图得：MN垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△BEC的周长为：BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝4+7＝11，
故选：A．
9．【答案】A
【解答】解：设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，则高铁列车的平均行驶速度为2.8xkm/h，
依题意得：3.6．
故选：A．
10．【答案】A
【解答】解：（k+1）2﹣（k﹣1）2＝4k；
∵k为任意整数，
∴4k为整数，
∴4k一定能被4整除，
∴（k+1）2﹣（k﹣1）2的值总能被4整除，
故选：A．
11．【答案】D
【解答】解：∵AB＝12m，E是AB边的中点，
∴BE＝6m，
∵∠B＝∠C，且△BEP与△CPQ全等，
∴BP＝CQ，BE＝CP或CP＝BP，BE＝CQ，
当BP＝CQ，BE＝CP时，
∵BE＝6m，BC＝8m，
设运动时间为ts，则8﹣2t＝6，
解得t＝1，
∴CQ＝BP＝2×1＝2（cm），
此时乙机器人的运动速度为：2÷1＝2（m/s）；
当CP＝BP，BE＝CQ时，则，
解得t＝2，
此时CQ＝6，乙机器人的运动速度为：6÷2＝3（m/s），
故选：D．
12．【答案】B
【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC＝54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO∠BAC54°＝27°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC（180°﹣∠BAC）（180°﹣54°）＝63°＝∠ACB，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝27°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝63°﹣27°＝36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，
∴OB＝OC，AO⊥BC，故①正确；
∴∠OCB＝∠OBC＝36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，OF＝CF，∠EOF＝∠ECF＝63°，
∴△EOF不是等边三角形，故③错误
在△OEF和△CEF中，
，
∴△OEF≌△CEF（SSS），故④正确；
∴∠COE＝∠OCB＝36°，∠OEF＝∠CEF，
在△OCE中，∠OEC＝180°﹣∠COE﹣∠OCB＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
∴∠OEF＝54°，故⑤正确；
∵点E是动点，
∴OE的长不确定，
∴OE≠OD，故②错误，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．【答案】4．
【解答】解：∵点P（a+2，﹣2）和点Q（4，b）关于x轴对称，
∴a+2＝4，b＝2，
∴a＝2，
则ab＝22＝4．
故答案为：4．
14．【答案】±18
【解答】解：∵x2+kx+81是一个完全平方式，
∴k＝±18．
故答案为：±18．
15．【答案】
【解答】解：原式，
故答案为：．
16．【答案】．
【解答】解：因为a2﹣b2，
所以（a+b）（a﹣b），
因为a+b，
所以a﹣b（）．
故答案为：．
17．【答案】125°
【解答】解：∵△ABC中，∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°，
∴BP，CP分别为∠ABC与∠ACP的平分线，
∴∠2+∠4（∠ABC+∠ACB）110°＝55°，
∴∠P＝180°﹣（∠2+∠4）＝180°﹣55°＝125°．
故答案为：125°．
18．【答案】3．
【解答】解：作点P关于OB的对称点P'，作点P关于OA的对称点P''，连接P'P''，
则P'P''的长就是△PMN周长的最小值；
在△OP'P''中，OP'＝OP''，
∠AOB＝30°，
∴∠P'OP''＝60°，
∵OP＝3，
∴P'P''＝3；
故答案为：3．
三、解答题（本大题共7小题，共46分）
19．【答案】x+3，1．
【解答】解：原式

＝x+3，
当x＝﹣2时，原式＝﹣2+3＝1．
20．【答案】（1）6；
（2）（3x﹣3y+2）2．
【解答】解：（1）
＝1+8﹣1﹣2÷1
＝1+8﹣1﹣2
＝6；
（2）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2
＝[3（x﹣y）+2]2
＝（3x﹣3y+2）2．
21．【答案】见试题解答内容
【解答】解：，
方程两边同时乘以x（x﹣1），得
2（x﹣1）+x（x﹣1）＝x2，
∴x＝2，
经检验x＝2是原分式方程的解；
∴方程的解为x＝2．
22．【答案】（1）见解析过程；
（2）105o．
【解答】（1）证明：∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AB＝CD，
∴AC＝DB，
在△AEC和△DFB中，
，
∴△AEC≌△DFB（SAS），
（2）解：∵∠ECD＝145°，∠A＝40o，
∴∠E＝105o，
∵△AEC≌△DFB，
∴∠F＝∠E＝105o．
23．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）连接AE，
∵EF垂直平分AB
∴AE＝BE
∵BE＝AC
∴AE＝AC
∵D是EC的中点
∴AD⊥BC
（2）设∠B＝x°
∵AE＝BE
∴∠BAE＝∠B＝x°
∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x°
∵AE＝AC
∴∠C＝∠AEC＝2x°
在三角形ABC中，3x°+75°＝180°
x°＝35°
∴∠B＝35°
24．【答案】（1）购买一个甲种足球50元，购买一个乙种足球70元；
（2）12个．
【解答】解：（1）设购买一个甲种足球x元，购买一个乙种足球（x+20）元，
∴，
∴x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，
∴x+20＝70，
答：购买一个甲种足球50元，购买一个乙种足球70元；
（2）设学校购买乙种足球m个，购买甲种足球（50﹣m）个，
∴50（50﹣m）+70m≤2750，
∴m≤12.5，
∴m的最大值为12，
答：这所学校最多可购买12个乙种足球．
25．【答案】（1）结论：∠BAE+∠FAD＝∠EAF．证明见解析部分；
（2）结论成立，证明见解析部分；
（3）结论：∠EAF＝180°∠DAB．证明见解析部分．
【解答】解：（1）结论：∠BAE+∠FAD＝∠EAF．
理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵EF＝BE+DF，
∴EF＝DF+DG＝FG，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．
故答案为：∠BAE+∠FAD＝∠EAF；
（2）仍成立，理由：
如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；
（3）结论：∠EAF＝180°∠DAB．
理由：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠FAE＝∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，
即2∠FAE+∠DAB＝360°，
∴∠EAF＝180°∠DAB．
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