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四川省泸州市纳溪区纳溪中学集团校联考2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题
一、单选题（共36分）
1．（2025八上·纳溪期末）下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（　　）
A．5cm，6cm，12cm B．3cm，4cm，5cm
C．4cm，6cm，10cm D．3cm，4cm，8cm
2．（2025八上·纳溪期末）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学校徽中的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八上·纳溪期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八上·纳溪期末）在中共中央、国务院印发的《成渝地区双城经济圈建设规划纲要》中提出，成渝地区双城经济圈规划范围总面积为平方公里，用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八上·纳溪期末）如图是由线段组成的平面图形，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·纳溪期末）在函数y= 中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x≤1 C．x≤1且x≠5 D．x≥1且x≠5
7．（2025八上·纳溪期末）若三条线段中a=3，b=5，c为奇数，那么由a、b、c为边组成的三角形共有（　　）
A．1个 B．3个 C．无数多个 D．无法确定
8．（2025八上·纳溪期末）下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025八上·纳溪期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°．若BE=6cm，DE=2cm，则BC的长为（　　）
A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．12 cm
10．（2025八上·纳溪期末）若分式方程有增根，则的值是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
11．（2025八上·纳溪期末）如图，三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若，则图中阴影部分面积为(　　)
A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．10cm2
12．（2025八上·纳溪期末）已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①，②，③，④，其正确的个数有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共12分）
13．（2025八上·纳溪期末）十二边形的内角和等于　 　°．
14．（2025八上·纳溪期末）的立方根是　 　；　 　．(填“＞、＜、或＝”)
15．（2025八上·纳溪期末）分解因式：　 　．
16．（2025八上·纳溪期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点E在上，点F在上，连接．将沿折叠，点C与点O恰好重合时，则的度数为　 　．
三、解答题（共72分）
17．（2025八上·纳溪期末）计算：．
18．（2025八上·纳溪期末）解方程：．
19．（2025八上·纳溪期末）如图，点，，，在一条直线上，，，，求证：．
20．（2025八上·纳溪期末）已知，我们把任何形如：的五位自然数（其中）称之为喜马拉雅数，例如：在自然数中，所以就是一个喜马拉雅数．并规定：能被自然数整除的最大的喜马拉雅数记为，能被自然数整除的最小的喜马拉雅数记为．
另外写出一个喜马拉雅数 ．
求证：任何一个喜马拉雅数都能够被整除；
求和的值．
21．（2025八上·纳溪期末）中秋节将至，某商店用8000元购进一批月饼礼盒，很快售完，于是商店又用20000元购进了第二批月饼礼盒，所购数量是第一批购进量的两倍，但每个礼盒的进价贵了20元．
（1）第二批月饼礼盒每个的进价为多少元？
（2）商店将第二批月饼礼盒的进价提高后售出，预计在中秋节前2天，第二批月饼礼盒有m盒没有售出，商店计划把没有售出的月饼礼盒打八折促销．经核算，剩余的月饼礼盒全部售完后，第二批月饼礼盒的总利润率仍不低于（不考虑其他因素），请求出m的最大值．
22．（2025八上·纳溪期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出关于轴对称的，并写出各顶点的坐标；
（2）将向右平移个单位，作出平移后的；
（3）在轴上找点，使值最小．
23．（2025八上·纳溪期末）如图，已知：在中，，．
（1）作的平分线，交于点，作的垂直平分线，分别交、于点、．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）求证：点是中点；
（3）连接，求的度数．
24．（2025八上·纳溪期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28和2012这两个数是神秘数吗 为什么
（2）设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗 为什么
（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗 为什么
25．（2025八上·纳溪期末）等腰中，，点、点分别是轴、轴两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点；
（1）如图（1），若，求点的坐标；
（2）如图（2），当等腰运动到使点恰为中点时，连接，求证：；
（3）如图（3），在等腰不断运动的过程中，若满足始终是的平分线，试探究：线段、三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A、5+6＜12，所以不能围成三角形；
B、3+4＞5，所以能围成三角形；
C、4+6＝10，所以不能围成三角形；
D、3+4＜8，所以不能围成三角形．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的三边关系“三角形的两边之和大于第三边”进行分析判断．
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项A错误，不符合题意；
B、，故选项B错误，不符合题意；
C、，故选项C错误，不符合题意；
D、，故选项D正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；根据单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除，对于只在被除式中含有的字母，连同指数作为商的一个因式，可判断D选项.
4．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠D=28°，
∴∠DEG+∠DGE=180°-∠D=152°，
∵∠DEG=∠BEF，∠DGE=∠AGC，
∴∠BEF+∠AGC=152°，
∵∠A+∠C+∠AGC=180°，∠B+∠F+∠BEF=180°，
∴∠A+∠C+∠AGC+∠B+∠F+∠BEF=360°
∴∠A+∠C+∠B+∠F+152°=360°
∴∠A+∠C+∠B+∠F208°.
故答案为：C．
【分析】由三角形的内角和定理得出∠DEG+∠DGE=180°-∠D=152°，结合对顶角相等推出∠BEF+∠AGC=152°，然后再根据三角形内角和定理得出∠A+∠C+∠AGC=180°，∠B+∠F+∠BEF=180°，最后根据等式性质，将将两个等式相加后再整体代入计算可得答案.
6．【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意，得
x﹣1≥0且x﹣5≠0，
解得x≥1且x≠5，
故选：D．
【分析】根据被开方数是非负数且分母不能为零，可得答案．
7．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边c的取值范围，再进一步根据c是奇数进行分析求解．
【解答】根据三角形的三边关系，得
5-3＜c＜5+3，2＜c＜8．
又c是奇数，则c=3或5或7．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的三边关系，同时注意奇数这一条件．
8．【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】，故A不正确；
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的方法：提取公因式、公式法、十字相乘法，进行判断进行解答。
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BC=2BN，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴EM=BE=6，∠EMB=60°，
∵BE=6，DE=2，
∴DM=4，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=30°，
∴NM=2，
∴BN=4，
∴BC=2BN=8.
故答案为：C．
【分析】 延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，由等腰三角形中的三线合一得出AN⊥BC，BC=2BN，由有两个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△BEM为等边三角形，得∠EMB=60°，EM=BE=6，由线段和差得DM=4，由直角三角形两锐角互余得出∠NDM=30°，由含30°角直角三角形的性质得出MN=MD=2，再由线段的和差得出BN=4，从而即可求出BC的长.
10．【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：若关于的方程有增根，则为增根．
把方程去分母可得，
把代入可得，
解得．
故答案为：A．
【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此可求解．
11．【答案】C
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：是的中线，
，，
，
∵BE、CF是△ABC的中线，
∴，，
，
同理可证，
，
.
故答案为：C．
【分析】由等底同高三角形面积相等得出，，根据等量减去等量差相等得；再根据等底同高三角形面积相等得出，，则，同理可证，则，从而可求答案.
12．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确
∵，
∴，
∴．故③正确，
∵．，
∴，
∴，故④正确，
若，则，，与题干条件不符，
∴无法判断，故②错误，
故答案为：C．
【分析】根据等边三角形的性质可得，，从而利用“边角边”证明，由全等三角形的对应角相等得，然后根据三角形外角性质、等量代换及角的构成可推出，从而可判断①；由直角三角形两锐角互余求出∠PBQ=30°，由函30°角直角三角形的性质得BP=2PQ，据此可判断③；根据等量减去等量差相等得出BD=CE，然后根据线段和差、等量代换可推出AE+BD=AB，据此可判断④；利用反证法可判断②不成立.
13．【答案】1800
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：十二边形的内角和等于：.
故答案为：1800．
【分析】n边形内角和等于(n-2)×180°，据此将n=12代入计算即可得出答案.
14．【答案】；
【知识点】实数的大小比较；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，-64的立方根是；
∵，，，
∴.
故答案为：，．
【分析】先根据有理数乘方运算法则计算出-82=-64，再根据立方根定义求-64的立方根即可得出第一空答案；根据二次根式的性质“”逆用将根号外的因数放到根号内，进而根据被开方数越大，算术平方根越大进行比较即可得出第二空的答案.
15．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】观察多项式，每一项含有公因式3a，于是用提取公因式法进行因式分解即可求解．
16．【答案】100
【知识点】线段垂直平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：分别连接，，如图所示，
∵，为的平分线，
∴，
∵，为的平分线，
∴，是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴．
∴；
在中，
，
故答案为：100．
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO=25°，根据等边对等角及三角形的内角和定理求出∠ABC=65°，由等腰三角形的三线合一得到OA是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BO=CO，OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO=25°，∠OCB=∠OBC=40°，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE=40°，再利用三角形的内角和定理即可求出∠CDO的度数.
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得：（π-2024）0=1；由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得：
（）-1=5，由算术平方根的定义可得=4，然后根据有理数的加减混合运算法则计算即可求解．
18．【答案】解：去分母，方程两边都乘以 (x+1)(x 1) 得：
2(x+1)+(x 1)=7 ，
整理得：3x=6，
∴x=2 ，
经检验，x=2是原方程的解，
∴ 原方程的解为： x=2
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先方程两边同时乘以各个分母的最简公分母(x+1)(x-10约去分母，把分式方程化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可求出原方程的根.
19．【答案】证明：∵，，，
∴，
∴，
∵点，，，在一条直线上，
∴，，
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先用“SAS”证明，由全等三角形的对应角相等可得，根据邻补角及等角的补角相等可得，最后根据内错角相等，两直线平行得出AC∥DE.
20．【答案】（1）26862（答案不唯一）
解：，
又
，
，
任意一个喜马拉雅数都能被整除；
当时
能被自然数整除的最大喜马拉雅数
且任意一个喜马拉雅数都能被整除，
，
当时
能被自然数整除的最小喜马拉雅数，
且能被整除，
【知识点】整式的加减运算；数的整除性
【解析】【解答】解：（1）∵的五位自然数（其中）称之为喜马拉雅数，
∴26862是喜马拉雅数；
故答案为：26862（答案不唯一）；
【分析】（1）开放性命题，根据喜马拉雅数的定义直接作答即可；
（2）根据各个数位上数字所表示的实际意义及c=a+b，用含a、b的代数式表示出t，然后合并同类化简后，发现各项具有相同的因式3，故将代数式写成3与一个因式的乘积形式，最后根据整除的定义即可得出结论；
（3）根据喜马拉雅数的定义，由根据a、b取值范围及c=a+b可得1＜c≤9，故当a取取值范围内的最大数字时8时，所得喜马拉雅数最大，此时b=1，c=9，再结合（2）的结论可得F(3)为81918；同理当a、b取取值范围内的最小数字时1时，所得喜马拉雅数最小，此时c=2，喜马拉雅数11211不能被8整除；当a取2，b取1时，c=3，这个喜马拉雅数21312能被8整除，从而得出I(8)=21312.
21．【答案】（1）解：设第二批月饼礼盒每个的进价为x元，则第一批月饼礼盒每个的进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：第二批月饼礼盒每个的进价为100元．
（2）解：第二批购进月饼礼盒的数量为（盒），
依题意得：，
解得：，
又m为整数，
的最大值为66，
答：m的最大值是66．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设第二批月饼礼盒每个的进价为x元，则第一批月饼礼盒每个的进价为元，利用数量=总价÷单价，结合第二批所购数量是第一批购进量的两倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用数量=总价÷单价，可求出第二批购进月饼礼盒的数量；利用总利润=销售单价×销售数量进货总价，总利润除以进价等于利率及第二批月饼礼盒的总利润率仍不低于40％可列出关于m的一元一次不等式，求出其最大整数解即可.
（1）解：设第二批月饼礼盒每个的进价为x元，则第一批月饼礼盒每个的进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：第二批月饼礼盒每个的进价为100元．
（2）解：第二批购进月饼礼盒的数量为（盒），
依题意得：，
解得：，
又m为整数，
的最大值为66，
答：m的最大值是66．
22．【答案】（1）解：如图所示，即为所求图形，
∴；
（2）解：如图所示，即为所求图形，
（3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；轴对称的应用-最短距离问题；作图﹣平移；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【解答】解：（1）由图可得点；
【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出A、B、C三点关于y轴对称的点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可得出所求的△A1B1C1，进而根据点A1、B1、C1三点的位置写出其坐标；
（2） 利用方格纸的特点及平移的性质分别作出A、B、C三点向右平移6个单位长度后的对应点A2、B2、C2，再顺次连接A2、B2、C2即可得出所求的△A2B2C2；
（3）根据轴对称轴最短路径的计算方法，先作点C关于x轴的对称点C'，连接C'B交x轴于点P，则有，根据格点与勾股定理可得，由此即可求解．
（1）解：如图所示，即为所求图形，
∴；
（2）解：如图所示，即为所求图形，
（3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
23．【答案】（1）解： 如图所示，
即为所求；
（2）证明：∵在中，，
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=90°，
∵垂直平分，
即是的中点；
（3）解：平分，
，
又，
连接，则，
即
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作线段垂直平分线和角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）先求出，由含30°角直角三角形的性质得到，由线段垂直平分线的性质得出，再由含30°角直角三角形的性质得到，则，即E是中点；
（3）由角平分线的定义得出∠A=∠ABD=30°，由等边对等角得，连接，由等腰三角形的三线合一可知，最后根据直角三角形的两锐角互余可求出∠EDA的度数.
（1）如图所示，
即为所求；
（2）∵在中，，
∵垂直平分，
即是的中点
（3）平分，
，
又，
连接，
则，
即
24．【答案】解：（1）∵28=82-62，
∴28是“神秘数”；
∵2012=5042-5022，
∴2012是“神秘数”；
（2）两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．理由如下：
（2k+2）2-（2k）2=4k2+4+8k-4k2=4k+4=4（2k+1），
∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数；
（3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k-1，则
（2k+1）2-（2k-1）2=4k2+4k+1-4k2+4k-1=8k，
此数是8的倍数，但不是4的奇数倍，
由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．
【知识点】因式分解的应用-判断整除
【解析】【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和2012写成两个连续偶数的平方差即可判断；
（2）根据整式混合运算顺序求出2k+2与2k的差，然后利用提取公因式法将差分解因式，即可得出结论；
（3）设两个连续的奇数为2k+1，2k-1，根据整式混合运算顺序求出2k+1与2k-1的差，进而根据“神秘数”定义判断即可．
25．【答案】（1）解：∵A(0，1)，B(2，0)，
∴OA=1，OB=2，
过点作轴于点，
，
．
是等腰直角三角形，，
，，
．
在和中，
，
，
（2）证明：过点作交轴于点，
，
．
，
．
，，
，
．
在和中
，
．
，
，
在和中，
，
，
，
（3）解：，理由如下：
在上截取，连接
由对称性得，．
．
．
是的平分线，
，
．
在和中，
，
，
，，
，
．
．
在和中，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标易得OA=1，OB=2，过点作轴于点，由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等推出∠ACF=∠BAO，从而由“AAS”证，由全等三角形的对应边相等得，，根据OF=AF-AO，求得的值，从而即可得到的坐标；
（2）过点作交轴于点，由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等推出∠AGC=∠ADO，从而由“AAS”证明，由全等三角形的对应边相等得出，由等腰直角三角形性质及角的构成可推出，从而再用“SAS”证明，由全等三角形的对应角相等得∠G=∠CDE，最后等量代换可得结论；
（3）在上截取，连接AH，由对称性得，，由同角的余角相等可推出∠ADH=∠BAO，则∠BAO=∠AHD；由“ASA”证△AOB≌△EOB，由全等三角形对应边相等得AB=BE，AO=EO，由等边对等角得出∠BAO=∠BEO，则，由等角的补角相等得出∠AEC=∠AHB，从而用“AAS”证，由全等三角形的对应边相等得AE=BH=2OA，进而根据线段和差即可得出结论.
（1）解：过点作轴于点，
，
．
是等腰直角三角形，，
，，，
．
在和中，
，
，
；
（2）证明：过点作交轴于点，
，
．
，
．
，，
，
．
在和中
，
．
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：在上截取，连接
由对称性得，．
．
．
是的平分线，
，
．
在和中，
，
，
，，
，
．
．
在和中，
，
．
1 / 1四川省泸州市纳溪区纳溪中学集团校联考2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题
一、单选题（共36分）
1．（2025八上·纳溪期末）下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（　　）
A．5cm，6cm，12cm B．3cm，4cm，5cm
C．4cm，6cm，10cm D．3cm，4cm，8cm
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A、5+6＜12，所以不能围成三角形；
B、3+4＞5，所以能围成三角形；
C、4+6＝10，所以不能围成三角形；
D、3+4＜8，所以不能围成三角形．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的三边关系“三角形的两边之和大于第三边”进行分析判断．
2．（2025八上·纳溪期末）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学校徽中的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断得出答案.
3．（2025八上·纳溪期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项A错误，不符合题意；
B、，故选项B错误，不符合题意；
C、，故选项C错误，不符合题意；
D、，故选项D正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；根据单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除，对于只在被除式中含有的字母，连同指数作为商的一个因式，可判断D选项.
4．（2025八上·纳溪期末）在中共中央、国务院印发的《成渝地区双城经济圈建设规划纲要》中提出，成渝地区双城经济圈规划范围总面积为平方公里，用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
5．（2025八上·纳溪期末）如图是由线段组成的平面图形，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠D=28°，
∴∠DEG+∠DGE=180°-∠D=152°，
∵∠DEG=∠BEF，∠DGE=∠AGC，
∴∠BEF+∠AGC=152°，
∵∠A+∠C+∠AGC=180°，∠B+∠F+∠BEF=180°，
∴∠A+∠C+∠AGC+∠B+∠F+∠BEF=360°
∴∠A+∠C+∠B+∠F+152°=360°
∴∠A+∠C+∠B+∠F208°.
故答案为：C．
【分析】由三角形的内角和定理得出∠DEG+∠DGE=180°-∠D=152°，结合对顶角相等推出∠BEF+∠AGC=152°，然后再根据三角形内角和定理得出∠A+∠C+∠AGC=180°，∠B+∠F+∠BEF=180°，最后根据等式性质，将将两个等式相加后再整体代入计算可得答案.
6．（2025八上·纳溪期末）在函数y= 中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x≤1 C．x≤1且x≠5 D．x≥1且x≠5
【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意，得
x﹣1≥0且x﹣5≠0，
解得x≥1且x≠5，
故选：D．
【分析】根据被开方数是非负数且分母不能为零，可得答案．
7．（2025八上·纳溪期末）若三条线段中a=3，b=5，c为奇数，那么由a、b、c为边组成的三角形共有（　　）
A．1个 B．3个 C．无数多个 D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边c的取值范围，再进一步根据c是奇数进行分析求解．
【解答】根据三角形的三边关系，得
5-3＜c＜5+3，2＜c＜8．
又c是奇数，则c=3或5或7．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的三边关系，同时注意奇数这一条件．
8．（2025八上·纳溪期末）下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】，故A不正确；
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的方法：提取公因式、公式法、十字相乘法，进行判断进行解答。
9．（2025八上·纳溪期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°．若BE=6cm，DE=2cm，则BC的长为（　　）
A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．12 cm
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BC=2BN，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴EM=BE=6，∠EMB=60°，
∵BE=6，DE=2，
∴DM=4，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=30°，
∴NM=2，
∴BN=4，
∴BC=2BN=8.
故答案为：C．
【分析】 延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，由等腰三角形中的三线合一得出AN⊥BC，BC=2BN，由有两个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△BEM为等边三角形，得∠EMB=60°，EM=BE=6，由线段和差得DM=4，由直角三角形两锐角互余得出∠NDM=30°，由含30°角直角三角形的性质得出MN=MD=2，再由线段的和差得出BN=4，从而即可求出BC的长.
10．（2025八上·纳溪期末）若分式方程有增根，则的值是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：若关于的方程有增根，则为增根．
把方程去分母可得，
把代入可得，
解得．
故答案为：A．
【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此可求解．
11．（2025八上·纳溪期末）如图，三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若，则图中阴影部分面积为(　　)
A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．10cm2
【答案】C
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：是的中线，
，，
，
∵BE、CF是△ABC的中线，
∴，，
，
同理可证，
，
.
故答案为：C．
【分析】由等底同高三角形面积相等得出，，根据等量减去等量差相等得；再根据等底同高三角形面积相等得出，，则，同理可证，则，从而可求答案.
12．（2025八上·纳溪期末）已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①，②，③，④，其正确的个数有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确
∵，
∴，
∴．故③正确，
∵．，
∴，
∴，故④正确，
若，则，，与题干条件不符，
∴无法判断，故②错误，
故答案为：C．
【分析】根据等边三角形的性质可得，，从而利用“边角边”证明，由全等三角形的对应角相等得，然后根据三角形外角性质、等量代换及角的构成可推出，从而可判断①；由直角三角形两锐角互余求出∠PBQ=30°，由函30°角直角三角形的性质得BP=2PQ，据此可判断③；根据等量减去等量差相等得出BD=CE，然后根据线段和差、等量代换可推出AE+BD=AB，据此可判断④；利用反证法可判断②不成立.
二、填空题（共12分）
13．（2025八上·纳溪期末）十二边形的内角和等于　 　°．
【答案】1800
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：十二边形的内角和等于：.
故答案为：1800．
【分析】n边形内角和等于(n-2)×180°，据此将n=12代入计算即可得出答案.
14．（2025八上·纳溪期末）的立方根是　 　；　 　．(填“＞、＜、或＝”)
【答案】；
【知识点】实数的大小比较；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，-64的立方根是；
∵，，，
∴.
故答案为：，．
【分析】先根据有理数乘方运算法则计算出-82=-64，再根据立方根定义求-64的立方根即可得出第一空答案；根据二次根式的性质“”逆用将根号外的因数放到根号内，进而根据被开方数越大，算术平方根越大进行比较即可得出第二空的答案.
15．（2025八上·纳溪期末）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】观察多项式，每一项含有公因式3a，于是用提取公因式法进行因式分解即可求解．
16．（2025八上·纳溪期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点E在上，点F在上，连接．将沿折叠，点C与点O恰好重合时，则的度数为　 　．
【答案】100
【知识点】线段垂直平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：分别连接，，如图所示，
∵，为的平分线，
∴，
∵，为的平分线，
∴，是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴．
∴；
在中，
，
故答案为：100．
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO=25°，根据等边对等角及三角形的内角和定理求出∠ABC=65°，由等腰三角形的三线合一得到OA是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BO=CO，OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO=25°，∠OCB=∠OBC=40°，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE=40°，再利用三角形的内角和定理即可求出∠CDO的度数.
三、解答题（共72分）
17．（2025八上·纳溪期末）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得：（π-2024）0=1；由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得：
（）-1=5，由算术平方根的定义可得=4，然后根据有理数的加减混合运算法则计算即可求解．
18．（2025八上·纳溪期末）解方程：．
【答案】解：去分母，方程两边都乘以 (x+1)(x 1) 得：
2(x+1)+(x 1)=7 ，
整理得：3x=6，
∴x=2 ，
经检验，x=2是原方程的解，
∴ 原方程的解为： x=2
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先方程两边同时乘以各个分母的最简公分母(x+1)(x-10约去分母，把分式方程化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可求出原方程的根.
19．（2025八上·纳溪期末）如图，点，，，在一条直线上，，，，求证：．
【答案】证明：∵，，，
∴，
∴，
∵点，，，在一条直线上，
∴，，
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先用“SAS”证明，由全等三角形的对应角相等可得，根据邻补角及等角的补角相等可得，最后根据内错角相等，两直线平行得出AC∥DE.
20．（2025八上·纳溪期末）已知，我们把任何形如：的五位自然数（其中）称之为喜马拉雅数，例如：在自然数中，所以就是一个喜马拉雅数．并规定：能被自然数整除的最大的喜马拉雅数记为，能被自然数整除的最小的喜马拉雅数记为．
另外写出一个喜马拉雅数 ．
求证：任何一个喜马拉雅数都能够被整除；
求和的值．
【答案】（1）26862（答案不唯一）
解：，
又
，
，
任意一个喜马拉雅数都能被整除；
当时
能被自然数整除的最大喜马拉雅数
且任意一个喜马拉雅数都能被整除，
，
当时
能被自然数整除的最小喜马拉雅数，
且能被整除，
【知识点】整式的加减运算；数的整除性
【解析】【解答】解：（1）∵的五位自然数（其中）称之为喜马拉雅数，
∴26862是喜马拉雅数；
故答案为：26862（答案不唯一）；
【分析】（1）开放性命题，根据喜马拉雅数的定义直接作答即可；
（2）根据各个数位上数字所表示的实际意义及c=a+b，用含a、b的代数式表示出t，然后合并同类化简后，发现各项具有相同的因式3，故将代数式写成3与一个因式的乘积形式，最后根据整除的定义即可得出结论；
（3）根据喜马拉雅数的定义，由根据a、b取值范围及c=a+b可得1＜c≤9，故当a取取值范围内的最大数字时8时，所得喜马拉雅数最大，此时b=1，c=9，再结合（2）的结论可得F(3)为81918；同理当a、b取取值范围内的最小数字时1时，所得喜马拉雅数最小，此时c=2，喜马拉雅数11211不能被8整除；当a取2，b取1时，c=3，这个喜马拉雅数21312能被8整除，从而得出I(8)=21312.
21．（2025八上·纳溪期末）中秋节将至，某商店用8000元购进一批月饼礼盒，很快售完，于是商店又用20000元购进了第二批月饼礼盒，所购数量是第一批购进量的两倍，但每个礼盒的进价贵了20元．
（1）第二批月饼礼盒每个的进价为多少元？
（2）商店将第二批月饼礼盒的进价提高后售出，预计在中秋节前2天，第二批月饼礼盒有m盒没有售出，商店计划把没有售出的月饼礼盒打八折促销．经核算，剩余的月饼礼盒全部售完后，第二批月饼礼盒的总利润率仍不低于（不考虑其他因素），请求出m的最大值．
【答案】（1）解：设第二批月饼礼盒每个的进价为x元，则第一批月饼礼盒每个的进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：第二批月饼礼盒每个的进价为100元．
（2）解：第二批购进月饼礼盒的数量为（盒），
依题意得：，
解得：，
又m为整数，
的最大值为66，
答：m的最大值是66．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设第二批月饼礼盒每个的进价为x元，则第一批月饼礼盒每个的进价为元，利用数量=总价÷单价，结合第二批所购数量是第一批购进量的两倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用数量=总价÷单价，可求出第二批购进月饼礼盒的数量；利用总利润=销售单价×销售数量进货总价，总利润除以进价等于利率及第二批月饼礼盒的总利润率仍不低于40％可列出关于m的一元一次不等式，求出其最大整数解即可.
（1）解：设第二批月饼礼盒每个的进价为x元，则第一批月饼礼盒每个的进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：第二批月饼礼盒每个的进价为100元．
（2）解：第二批购进月饼礼盒的数量为（盒），
依题意得：，
解得：，
又m为整数，
的最大值为66，
答：m的最大值是66．
22．（2025八上·纳溪期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出关于轴对称的，并写出各顶点的坐标；
（2）将向右平移个单位，作出平移后的；
（3）在轴上找点，使值最小．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求图形，
∴；
（2）解：如图所示，即为所求图形，
（3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；轴对称的应用-最短距离问题；作图﹣平移；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【解答】解：（1）由图可得点；
【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出A、B、C三点关于y轴对称的点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可得出所求的△A1B1C1，进而根据点A1、B1、C1三点的位置写出其坐标；
（2） 利用方格纸的特点及平移的性质分别作出A、B、C三点向右平移6个单位长度后的对应点A2、B2、C2，再顺次连接A2、B2、C2即可得出所求的△A2B2C2；
（3）根据轴对称轴最短路径的计算方法，先作点C关于x轴的对称点C'，连接C'B交x轴于点P，则有，根据格点与勾股定理可得，由此即可求解．
（1）解：如图所示，即为所求图形，
∴；
（2）解：如图所示，即为所求图形，
（3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
23．（2025八上·纳溪期末）如图，已知：在中，，．
（1）作的平分线，交于点，作的垂直平分线，分别交、于点、．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）求证：点是中点；
（3）连接，求的度数．
【答案】（1）解： 如图所示，
即为所求；
（2）证明：∵在中，，
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=90°，
∵垂直平分，
即是的中点；
（3）解：平分，
，
又，
连接，则，
即
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作线段垂直平分线和角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）先求出，由含30°角直角三角形的性质得到，由线段垂直平分线的性质得出，再由含30°角直角三角形的性质得到，则，即E是中点；
（3）由角平分线的定义得出∠A=∠ABD=30°，由等边对等角得，连接，由等腰三角形的三线合一可知，最后根据直角三角形的两锐角互余可求出∠EDA的度数.
（1）如图所示，
即为所求；
（2）∵在中，，
∵垂直平分，
即是的中点
（3）平分，
，
又，
连接，
则，
即
24．（2025八上·纳溪期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28和2012这两个数是神秘数吗 为什么
（2）设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗 为什么
（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗 为什么
【答案】解：（1）∵28=82-62，
∴28是“神秘数”；
∵2012=5042-5022，
∴2012是“神秘数”；
（2）两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．理由如下：
（2k+2）2-（2k）2=4k2+4+8k-4k2=4k+4=4（2k+1），
∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数；
（3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k-1，则
（2k+1）2-（2k-1）2=4k2+4k+1-4k2+4k-1=8k，
此数是8的倍数，但不是4的奇数倍，
由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．
【知识点】因式分解的应用-判断整除
【解析】【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和2012写成两个连续偶数的平方差即可判断；
（2）根据整式混合运算顺序求出2k+2与2k的差，然后利用提取公因式法将差分解因式，即可得出结论；
（3）设两个连续的奇数为2k+1，2k-1，根据整式混合运算顺序求出2k+1与2k-1的差，进而根据“神秘数”定义判断即可．
25．（2025八上·纳溪期末）等腰中，，点、点分别是轴、轴两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点；
（1）如图（1），若，求点的坐标；
（2）如图（2），当等腰运动到使点恰为中点时，连接，求证：；
（3）如图（3），在等腰不断运动的过程中，若满足始终是的平分线，试探究：线段、三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵A(0，1)，B(2，0)，
∴OA=1，OB=2，
过点作轴于点，
，
．
是等腰直角三角形，，
，，
．
在和中，
，
，
（2）证明：过点作交轴于点，
，
．
，
．
，，
，
．
在和中
，
．
，
，
在和中，
，
，
，
（3）解：，理由如下：
在上截取，连接
由对称性得，．
．
．
是的平分线，
，
．
在和中，
，
，
，，
，
．
．
在和中，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标易得OA=1，OB=2，过点作轴于点，由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等推出∠ACF=∠BAO，从而由“AAS”证，由全等三角形的对应边相等得，，根据OF=AF-AO，求得的值，从而即可得到的坐标；
（2）过点作交轴于点，由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等推出∠AGC=∠ADO，从而由“AAS”证明，由全等三角形的对应边相等得出，由等腰直角三角形性质及角的构成可推出，从而再用“SAS”证明，由全等三角形的对应角相等得∠G=∠CDE，最后等量代换可得结论；
（3）在上截取，连接AH，由对称性得，，由同角的余角相等可推出∠ADH=∠BAO，则∠BAO=∠AHD；由“ASA”证△AOB≌△EOB，由全等三角形对应边相等得AB=BE，AO=EO，由等边对等角得出∠BAO=∠BEO，则，由等角的补角相等得出∠AEC=∠AHB，从而用“AAS”证，由全等三角形的对应边相等得AE=BH=2OA，进而根据线段和差即可得出结论.
（1）解：过点作轴于点，
，
．
是等腰直角三角形，，
，，，
．
在和中，
，
，
；
（2）证明：过点作交轴于点，
，
．
，
．
，，
，
．
在和中
，
．
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：在上截取，连接
由对称性得，．
．
．
是的平分线，
，
．
在和中，
，
，
，，
，
．
．
在和中，
，
．
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