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四川省泸州市龙马潭区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上）
1．（2024八上·龙马潭期末）在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·龙马潭期末）下列长度的各组线段中，能构成三角形的是．（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八上·龙马潭期末）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（　　）去最省事．
A．① B．② C．③ D．①③
4．（2024八上·龙马潭期末）每年10月16日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食．已知一粒米的重量约0.000021千克，将数据0.000021用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八上·龙马潭期末）已知，，则等于（　　）
A． B． C． D．1
6．（2024八上·龙马潭期末）若分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．不能确定
7．（2024八上·龙马潭期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接，若的周长为17，则的长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．（2024八上·龙马潭期末）长方形的面积为，长为，则它的宽为（　　）.
A． B． C． D．
9．（2024八上·龙马潭期末）解分式方程2，去分母得（　　）
A．1﹣2（x﹣1）＝﹣3 B．1﹣2（x﹣1）＝3
C．1﹣2x﹣2＝﹣3 D．1﹣2x+2＝3
10．（2024八上·龙马潭期末）若是一个完全平方式，则常数的值是（　　）
A．11 B．21或 C． D．21或
11．（2024八上·龙马潭期末）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干；若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程（　　）
A． B． C． D．
12．（2024八上·龙马潭期末）如图，在中，，，，平分，E是线段上的动点，P是线段上的动点，则的最小值为（　　）．
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4个题，每小题3分，共12分）
13．（2024八上·龙马潭期末）因式分解：　 　．
14．（2024八上·龙马潭期末）若一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形是　 　边形．
15．（2024八上·龙马潭期末）已知，那么的值为　 　．
16．（2024八上·龙马潭期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．如，分式与互为“3阶分式”．则分式与　 　互为“5阶分式”．
三、解答题（本题共3小题，每题6分，共18分）
17．（2024八上·龙马潭期末）如图，点，，，在一条直线上，，，求证．
18．（2024八上·龙马潭期末）计算：．
19．（2024八上·龙马潭期末）先化简，再求值：，然后从，0，1中选择适当的数代入求值．
四、解答题（本题共2小题，每题7分，共14分）
20．（2024八上·龙马潭期末）已知方程．
（1）若是方程的解，求m的值；
（2）若，解方程．
21．（2024八上·龙马潭期末）如图，李明同学想测量泸州白塔的高度，他在A处测得，再往前行进到达B处，此时测得，点A，B，D在同一条直线上，请根据测得的数据，求泸州白塔的高度．
五、解答题（本题共2小题，每题8分，共16分）
22．（2024八上·龙马潭期末）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？
23．（2024八上·龙马潭期末）如图，在中，于D，E为线段上一点，连接交于点F，已知，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
六、解答题（本题共2小题，每题12分，共24分）
24．（2024八上·龙马潭期末）阅读理解以下材料内容：
完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例：若，，求的值．
解：∵，， ∴，．
∴． ∴．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，求的值；应用以上知识进行思维拓展；
（2）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
25．（2024八上·龙马潭期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，，．
（1）如图1，直接写出点A，B的坐标；
（2）如图2，若点D在边上，且，，连接．求证：
①，
②；
（3）若点D是x轴上的一动点（点D不与O、B、C重合），且，，当时，求点E的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A中，不是轴对称图形，所以A不符合题意；
B中，是轴对称图形，所以B符合题意；
C中，不是轴对称图形，所以C不符合题意；
D中，不是轴对称图形，所以D不符合题意．
故选：B．
【分析】本题考查了轴对称图形识别，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，其中这条直线叫做对称轴，据此逐项分析判断，即可得到答案．
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，长度是线段不能构成三角形，故A选项不符合题意；
B、，长度是线段不能构成三角形，故B选项不符合题意；
C、，长度是线段不能构成三角形，故C选项不符合题意；
D、，长度是线段能构成三角形，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据三角形三边关系，三条线段的长度满足“ 两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度 ”这三条线段就能构成三角形，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是带③去．
故答案为：C．
【分析】利用全等三角形的判定方法及应用分析求解即可.
4．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：根据题意，得．
故答案为：A．
【分析】用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，根据方法即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，
∴.
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂乘法法则的逆用将ax+y变形为ax×ay，然后整体代入按有理数乘法法则计算可得答案.
6．【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：根据题意，得，
所以分式的值扩大为原来的2倍．
故答案为：B．
【分析】用2x与2y替换原分式中的x与y得到新分式，将新分式的分子、分母分别根据整式混合运算顺序计算后，再将分母利用提取公因式法分解因式，进而约分化简新分式后与原分式比较，即可判断得出答案.
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，
∴△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=17，
又∵AB=AC=10，
∴BC=17-10=7．
故答案为：B．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，根据三角形周长计算公式、等量代换及线段和差把△BCD的周长转化为AC与BC的和，然后代入数据进行计算即可得解．
8．【答案】C
【知识点】矩形的性质；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：由题意得：
（2a2－4ab+2a）÷（2a）=a－2b+1，
∴长方形的面积为2a2－4ab+2a，长为2a，则它的宽为：a－2b+1，
故答案为：C.
【分析】根据矩形的面积=长×宽结合题意可得宽为(2a2-4ab+2a)÷(2a)，然后根据多项式与单项式的除法法则进行计算.
9．【答案】A
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：分式方程整理得：2，
方程两边同时乘以“x-1”约去分母得：1﹣2（x﹣1）＝﹣3，
故答案为：A．
【分析】由于“x-1”与“1-x”互为相反数，故可根据同时改变分母及分式本身符号的方式将分式方程变形，然后两边乘以最简公分母“x-1”约去分母得到结果．
10．【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴或，
故答案为：D.
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此列出方程k-1=±2×2×5，从而求解即可得出k的值.
11．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设第一次分钱的人数为人，
根据题意得：，
故答案为：A．
【分析】 设第一次分钱的人数为x人， 则第二次分钱的人数为(x+6)人，根据钱的总数除以分钱的人数可得平均每人分得的钱数及“ 第二次每人所分得钱数与第一次相同 ”，列出方程即可.
12．【答案】D
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质；将军饮马模型-两线一点（两动一定）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，平分，
∴，
∴，
∵平分
∴作关于的对称点，此时在上，过作于，交于，连接，
∴，
∴最小值为，此时，与重合，，重合，
∵，
∴，
∴，
∴最小值为．
故答案为：D．
【分析】 根据等腰三角形的三线合一可得AD⊥BC，根据三角形面积公式算出△ABC的面积； 作E关于AD的对称点E'，此时E'在AB上，过C作CH⊥AB于H，交AD于P'，连接CE'， 由对称轴的性质得出PC+PE=PE'+PC≥CE'≥CH，根据垂线段最短得出CH就是PC+PE的最小值，此时E'与H重合，P与P'重合；由等面积法建立方程求出CH即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：．
【分析】先提出多项式各项的公因式2m，再根据平方差公式将商式继续分解即可.
14．【答案】六
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是边形，
根据多边形的内角和公式可得该多边形内角和是，
又多边形外角和是，
则根据题意可得：，
解得，
即这个多边形是六边形．
故答案为：六．
【分析】设多边形是n边形，根据多边形的内角和公式可得该多边形内角和是， 结合该多边形的外角和为360°，从而根据“该多边形的外角和是内角和的 ”列出方程，求解即可.
15．【答案】2
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵
∴a2-a-a2+b=-2，即a-b=2，
∴ ====2，
故答案为：2．
【分析】将已知等式左边利用去括号法则去括号，再合并同类项化简可得出a-b=-2，然后通分计算目标式子，进而将目标式子分子利用完全平方公式分解因式，最后整体代入计算可得答案.
16．【答案】
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：由题意得，的“5阶分式”为：，
故答案为：.
【分析】根据“5阶分式”定义，此题是知道两个分式的和为5，及其中的一个分式为 ，求另一个分式，从而根据和减去一个加数等于另一个加数，列出算式，再根据异分母分式减法法则计算即可得出答案.
17．【答案】证明：在和中
【知识点】三角形全等的判定-SSS；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】首先利用“SSS”判断出△ABC≌△DEF，由全等三角形的对应角相等得∠B=∠E，然后根据内错角相等，两直线平行得出AB∥DE.
18．【答案】解：
【知识点】无理数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值意义、负整数指数幂的法则“”、零指数幂的法则“a0=1(a≠0)”及有理数乘方运算法则分别计算，进而计算有理数加减法运算即可得出答案.
19．【答案】解：原式
．
∵x+1≠0且x-1≠0且x+2≠0，
∴x≠-1且x≠1且x≠-2，
当时，分母不为0，代入：
原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，同时将除式的分母利用平方差公式分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法约分化简，最后代入使原分式有意义的x的值计算即可.
20．【答案】（1）解：∵是方程的解，
∴，
解得
（2）解：当时，，
去分母，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1，得．
经检验，是原方程的根
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）根据分式方程解的定义，将x=1代入原分式方程得到关于字母m的一元一次方程，解该一元一次方程即可求出m的值；
（2）将m=-1的值代入原分式方程，在方程的两边同时乘以各个分母的最简公分母x-2约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程的根.
（1）解：∵是方程的解，
∴，
解得；
（2）解：当时，，
去分母，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1，得．
经检验，.是原方程的根．
21．【答案】解：∵是的外角，
∴，
又∵，
∴，
∴．
在中，．
所以泸州白塔的高度是
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】先根据三角形外角等于与之不相邻的两个内角的和得出，由等角对等边得出，再根据含30°角直角三角形的性质得，即可得出答案．
22．【答案】解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，，
x=15，
经检验x=15是原方程的解．
∴40﹣x=25．
甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，
，
解得20≤y＜24．
因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，
∴y取20，21，22，23，
共有4种方案．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，根据总价除以单价等于数量及用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同，列出方程求解得出x的值，进而再代入40-x算出乙种玩具的单价即可；
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数及购进y件甲种玩具的费用+购进(48-y)件乙种玩具的费用不超过1000元，可列出不等式组，求出该不等式组的整数解即可得出答案.
23．【答案】（1）证明：∵于D，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∴AC=BC
∴平分，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由垂直的定义得∠ADB=∠CDF=90°，从而利用“SAS”证明，由全等三角形的对应边相等即可求证；
（2）等腰直角三角形的性质得，根据全等三角形的对应角相等得，再由“8”字形图可推出，结合已知得垂直平分，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出AC=BC，进而根据等腰三角形的三线合一即可求．
24．【答案】（1）解：∵，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：设，
∴S1=a2，S2=b2，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；数形结合
【解析】【分析】（1）将等式x+y=4两边同时平方得(x+y)2=16，由x2+y2=(x+y)2-2xy结合x2+y2=10整体代入即可可求出xy的值；
（2）设，根据正方形面积公式结合S1+S2=18可得，由AB=AC+BC=6可得a+b=6，将其两边完全平方得，然后根据(a+b)2-2ab=a2+b2，整体代入计算求出ab的值，最后根据直角三角形面积计算公式得，再整体代入计算即可得出答案.
（1）解：∵，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵
∴．
25．【答案】（1）
（2）证明：①∵，
∴，
∴．
在和中
∴，
∴，，
∴．
②∵，，
∴．
∵
∴，
∴，
∴
（3）解：分两种情况讨论①当点D在点C的左侧时，如图：
由（2）知，，．
∵，，
∴，又，
∴，
∴E点为；
②当点D在点C的右侧时（如图）
∵，
∴，
∴．
在和中
∴，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴E点为．
综上所述：E点为或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：∵C(3，0)，
∴OC=3，
∵，
∴，
∴，；
【分析】（1）由点C的坐标得出OC=3，然后根据等腰三角形的三线合一得出OB=OC=OA，从而根据坐标轴上点的坐标特点求出A、B的坐标；
（2）①由同角的余角相等求出，再根据“”证明，由全等三角形对应边相等得，进而根据线段和差及等量代换可求出结论；
②由等腰直角三角形的性质得，由全等三角形的对应角相等得=45°，然后根据角的构成可推出∠ECB=90°，根据垂直的定义得出结论；
（3）分两种情况讨论，①当点D在点C的左侧时结合（2）可得答案；②当点D在点C的右侧时，画出图形，先根据角的构成及等式性质推出，从而利用“SAS”证明，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得BD=CE及，进而仿照第一种情况求解即可.
（1）解：∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴．
在和中
∴，
∴，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）解：分两种情况讨论
①当点D在点C的左侧时，如图：
由（2）知，，．
∵，，
∴，又，
∴，
∴E点为；
②当点D在点C的右侧时（如图）
∵，
∴，
∴．
在和中
∴，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴E点为．
综上所述：E点为或．
1 / 1四川省泸州市龙马潭区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上）
1．（2024八上·龙马潭期末）在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A中，不是轴对称图形，所以A不符合题意；
B中，是轴对称图形，所以B符合题意；
C中，不是轴对称图形，所以C不符合题意；
D中，不是轴对称图形，所以D不符合题意．
故选：B．
【分析】本题考查了轴对称图形识别，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，其中这条直线叫做对称轴，据此逐项分析判断，即可得到答案．
2．（2024八上·龙马潭期末）下列长度的各组线段中，能构成三角形的是．（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，长度是线段不能构成三角形，故A选项不符合题意；
B、，长度是线段不能构成三角形，故B选项不符合题意；
C、，长度是线段不能构成三角形，故C选项不符合题意；
D、，长度是线段能构成三角形，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据三角形三边关系，三条线段的长度满足“ 两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度 ”这三条线段就能构成三角形，据此逐一判断得出答案.
3．（2024八上·龙马潭期末）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（　　）去最省事．
A．① B．② C．③ D．①③
【答案】C
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是带③去．
故答案为：C．
【分析】利用全等三角形的判定方法及应用分析求解即可.
4．（2024八上·龙马潭期末）每年10月16日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食．已知一粒米的重量约0.000021千克，将数据0.000021用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：根据题意，得．
故答案为：A．
【分析】用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，根据方法即可得出答案.
5．（2024八上·龙马潭期末）已知，，则等于（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，
∴.
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂乘法法则的逆用将ax+y变形为ax×ay，然后整体代入按有理数乘法法则计算可得答案.
6．（2024八上·龙马潭期末）若分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．不能确定
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：根据题意，得，
所以分式的值扩大为原来的2倍．
故答案为：B．
【分析】用2x与2y替换原分式中的x与y得到新分式，将新分式的分子、分母分别根据整式混合运算顺序计算后，再将分母利用提取公因式法分解因式，进而约分化简新分式后与原分式比较，即可判断得出答案.
7．（2024八上·龙马潭期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接，若的周长为17，则的长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，
∴△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=17，
又∵AB=AC=10，
∴BC=17-10=7．
故答案为：B．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，根据三角形周长计算公式、等量代换及线段和差把△BCD的周长转化为AC与BC的和，然后代入数据进行计算即可得解．
8．（2024八上·龙马潭期末）长方形的面积为，长为，则它的宽为（　　）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：由题意得：
（2a2－4ab+2a）÷（2a）=a－2b+1，
∴长方形的面积为2a2－4ab+2a，长为2a，则它的宽为：a－2b+1，
故答案为：C.
【分析】根据矩形的面积=长×宽结合题意可得宽为(2a2-4ab+2a)÷(2a)，然后根据多项式与单项式的除法法则进行计算.
9．（2024八上·龙马潭期末）解分式方程2，去分母得（　　）
A．1﹣2（x﹣1）＝﹣3 B．1﹣2（x﹣1）＝3
C．1﹣2x﹣2＝﹣3 D．1﹣2x+2＝3
【答案】A
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：分式方程整理得：2，
方程两边同时乘以“x-1”约去分母得：1﹣2（x﹣1）＝﹣3，
故答案为：A．
【分析】由于“x-1”与“1-x”互为相反数，故可根据同时改变分母及分式本身符号的方式将分式方程变形，然后两边乘以最简公分母“x-1”约去分母得到结果．
10．（2024八上·龙马潭期末）若是一个完全平方式，则常数的值是（　　）
A．11 B．21或 C． D．21或
【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴或，
故答案为：D.
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此列出方程k-1=±2×2×5，从而求解即可得出k的值.
11．（2024八上·龙马潭期末）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干；若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设第一次分钱的人数为人，
根据题意得：，
故答案为：A．
【分析】 设第一次分钱的人数为x人， 则第二次分钱的人数为(x+6)人，根据钱的总数除以分钱的人数可得平均每人分得的钱数及“ 第二次每人所分得钱数与第一次相同 ”，列出方程即可.
12．（2024八上·龙马潭期末）如图，在中，，，，平分，E是线段上的动点，P是线段上的动点，则的最小值为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质；将军饮马模型-两线一点（两动一定）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，平分，
∴，
∴，
∵平分
∴作关于的对称点，此时在上，过作于，交于，连接，
∴，
∴最小值为，此时，与重合，，重合，
∵，
∴，
∴，
∴最小值为．
故答案为：D．
【分析】 根据等腰三角形的三线合一可得AD⊥BC，根据三角形面积公式算出△ABC的面积； 作E关于AD的对称点E'，此时E'在AB上，过C作CH⊥AB于H，交AD于P'，连接CE'， 由对称轴的性质得出PC+PE=PE'+PC≥CE'≥CH，根据垂线段最短得出CH就是PC+PE的最小值，此时E'与H重合，P与P'重合；由等面积法建立方程求出CH即可得出答案.
二、填空题（本题共4个题，每小题3分，共12分）
13．（2024八上·龙马潭期末）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：．
【分析】先提出多项式各项的公因式2m，再根据平方差公式将商式继续分解即可.
14．（2024八上·龙马潭期末）若一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形是　 　边形．
【答案】六
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是边形，
根据多边形的内角和公式可得该多边形内角和是，
又多边形外角和是，
则根据题意可得：，
解得，
即这个多边形是六边形．
故答案为：六．
【分析】设多边形是n边形，根据多边形的内角和公式可得该多边形内角和是， 结合该多边形的外角和为360°，从而根据“该多边形的外角和是内角和的 ”列出方程，求解即可.
15．（2024八上·龙马潭期末）已知，那么的值为　 　．
【答案】2
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵
∴a2-a-a2+b=-2，即a-b=2，
∴ ====2，
故答案为：2．
【分析】将已知等式左边利用去括号法则去括号，再合并同类项化简可得出a-b=-2，然后通分计算目标式子，进而将目标式子分子利用完全平方公式分解因式，最后整体代入计算可得答案.
16．（2024八上·龙马潭期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．如，分式与互为“3阶分式”．则分式与　 　互为“5阶分式”．
【答案】
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：由题意得，的“5阶分式”为：，
故答案为：.
【分析】根据“5阶分式”定义，此题是知道两个分式的和为5，及其中的一个分式为 ，求另一个分式，从而根据和减去一个加数等于另一个加数，列出算式，再根据异分母分式减法法则计算即可得出答案.
三、解答题（本题共3小题，每题6分，共18分）
17．（2024八上·龙马潭期末）如图，点，，，在一条直线上，，，求证．
【答案】证明：在和中
【知识点】三角形全等的判定-SSS；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】首先利用“SSS”判断出△ABC≌△DEF，由全等三角形的对应角相等得∠B=∠E，然后根据内错角相等，两直线平行得出AB∥DE.
18．（2024八上·龙马潭期末）计算：．
【答案】解：
【知识点】无理数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值意义、负整数指数幂的法则“”、零指数幂的法则“a0=1(a≠0)”及有理数乘方运算法则分别计算，进而计算有理数加减法运算即可得出答案.
19．（2024八上·龙马潭期末）先化简，再求值：，然后从，0，1中选择适当的数代入求值．
【答案】解：原式
．
∵x+1≠0且x-1≠0且x+2≠0，
∴x≠-1且x≠1且x≠-2，
当时，分母不为0，代入：
原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，同时将除式的分母利用平方差公式分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法约分化简，最后代入使原分式有意义的x的值计算即可.
四、解答题（本题共2小题，每题7分，共14分）
20．（2024八上·龙马潭期末）已知方程．
（1）若是方程的解，求m的值；
（2）若，解方程．
【答案】（1）解：∵是方程的解，
∴，
解得
（2）解：当时，，
去分母，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1，得．
经检验，是原方程的根
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）根据分式方程解的定义，将x=1代入原分式方程得到关于字母m的一元一次方程，解该一元一次方程即可求出m的值；
（2）将m=-1的值代入原分式方程，在方程的两边同时乘以各个分母的最简公分母x-2约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程的根.
（1）解：∵是方程的解，
∴，
解得；
（2）解：当时，，
去分母，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1，得．
经检验，.是原方程的根．
21．（2024八上·龙马潭期末）如图，李明同学想测量泸州白塔的高度，他在A处测得，再往前行进到达B处，此时测得，点A，B，D在同一条直线上，请根据测得的数据，求泸州白塔的高度．
【答案】解：∵是的外角，
∴，
又∵，
∴，
∴．
在中，．
所以泸州白塔的高度是
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】先根据三角形外角等于与之不相邻的两个内角的和得出，由等角对等边得出，再根据含30°角直角三角形的性质得，即可得出答案．
五、解答题（本题共2小题，每题8分，共16分）
22．（2024八上·龙马潭期末）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？
【答案】解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，，
x=15，
经检验x=15是原方程的解．
∴40﹣x=25．
甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，
，
解得20≤y＜24．
因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，
∴y取20，21，22，23，
共有4种方案．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，根据总价除以单价等于数量及用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同，列出方程求解得出x的值，进而再代入40-x算出乙种玩具的单价即可；
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数及购进y件甲种玩具的费用+购进(48-y)件乙种玩具的费用不超过1000元，可列出不等式组，求出该不等式组的整数解即可得出答案.
23．（2024八上·龙马潭期末）如图，在中，于D，E为线段上一点，连接交于点F，已知，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵于D，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∴AC=BC
∴平分，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由垂直的定义得∠ADB=∠CDF=90°，从而利用“SAS”证明，由全等三角形的对应边相等即可求证；
（2）等腰直角三角形的性质得，根据全等三角形的对应角相等得，再由“8”字形图可推出，结合已知得垂直平分，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出AC=BC，进而根据等腰三角形的三线合一即可求．
六、解答题（本题共2小题，每题12分，共24分）
24．（2024八上·龙马潭期末）阅读理解以下材料内容：
完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例：若，，求的值．
解：∵，， ∴，．
∴． ∴．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，求的值；应用以上知识进行思维拓展；
（2）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）解：∵，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：设，
∴S1=a2，S2=b2，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；数形结合
【解析】【分析】（1）将等式x+y=4两边同时平方得(x+y)2=16，由x2+y2=(x+y)2-2xy结合x2+y2=10整体代入即可可求出xy的值；
（2）设，根据正方形面积公式结合S1+S2=18可得，由AB=AC+BC=6可得a+b=6，将其两边完全平方得，然后根据(a+b)2-2ab=a2+b2，整体代入计算求出ab的值，最后根据直角三角形面积计算公式得，再整体代入计算即可得出答案.
（1）解：∵，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵
∴．
25．（2024八上·龙马潭期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，，．
（1）如图1，直接写出点A，B的坐标；
（2）如图2，若点D在边上，且，，连接．求证：
①，
②；
（3）若点D是x轴上的一动点（点D不与O、B、C重合），且，，当时，求点E的坐标．
【答案】（1）
（2）证明：①∵，
∴，
∴．
在和中
∴，
∴，，
∴．
②∵，，
∴．
∵
∴，
∴，
∴
（3）解：分两种情况讨论①当点D在点C的左侧时，如图：
由（2）知，，．
∵，，
∴，又，
∴，
∴E点为；
②当点D在点C的右侧时（如图）
∵，
∴，
∴．
在和中
∴，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴E点为．
综上所述：E点为或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：∵C(3，0)，
∴OC=3，
∵，
∴，
∴，；
【分析】（1）由点C的坐标得出OC=3，然后根据等腰三角形的三线合一得出OB=OC=OA，从而根据坐标轴上点的坐标特点求出A、B的坐标；
（2）①由同角的余角相等求出，再根据“”证明，由全等三角形对应边相等得，进而根据线段和差及等量代换可求出结论；
②由等腰直角三角形的性质得，由全等三角形的对应角相等得=45°，然后根据角的构成可推出∠ECB=90°，根据垂直的定义得出结论；
（3）分两种情况讨论，①当点D在点C的左侧时结合（2）可得答案；②当点D在点C的右侧时，画出图形，先根据角的构成及等式性质推出，从而利用“SAS”证明，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得BD=CE及，进而仿照第一种情况求解即可.
（1）解：∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴．
在和中
∴，
∴，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）解：分两种情况讨论
①当点D在点C的左侧时，如图：
由（2）知，，．
∵，，
∴，又，
∴，
∴E点为；
②当点D在点C的右侧时（如图）
∵，
∴，
∴．
在和中
∴，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴E点为．
综上所述：E点为或．
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