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第60讲　离散型随机变量的分布列和数字特征
【课标要求】　1.通过具体实例,了解离散型随机变量的概念.
2.理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差).
1.离散型随机变量
对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,称X为随机变量.
可能取值为　　　　　或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
(1)定义:设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.
(2)表示
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(3)性质:①pi≥0,i=1,2,…,n;
②p1+p2+…+pn=1.
3.均值与方差
(1)E(X)=　　　　　　　　　　　=xipi为随机变量X的均值或数学期望(简称期望),它反映了随机变量取值的　　　　　　.
(2)D(X)=　　　　　　　　　　　　　　　　　　=[xi-E(X)]2pi为随机变量X的方差,它反映了随机变量取值的　　　　　　,称为随机变量X的标准差.
(3)性质:①若Y=aX+b(a,b为常数),则E(Y)=E(aX+b)=　　　　　.
②若Y=aX+b(a,b为常数),则D(Y)=D(aX+b)=　　　　　.
③D(X)=E(X2)-[E(X)]2.
4.两点分布
(1)定义:对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”,表示“失败”,定义X=如果P(A)=p,则P()=1-p,那么X的分布列如下表所示,
X 0 1
P 1-p p
称随机变量X服从两点分布或0-1分布.
(2)均值与方差
若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的. (　 )
(2)如果随机变量X的分布列由下表给出,则X服从两点分布. (　 )
X 3 4
P a 1-a
(3)随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限个. (　 )
(4)离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值. (　 )
题组二　教材改编
1.已知随机变量X的分布列如下表,且m+2n=1.2,则m-=　　　　.
X 0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
2.已知随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=2a,P(X=1)=a,则a=　　　　.
3.已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1
则E(3X+2)=　　　　.
　分布列及其性质
例1 (1)[2026·湖北武汉期末] 已知随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3,4,5),则P(X≥3)= (　 )
A. B. C. D.
(2)设离散型随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,其中c为常数,则P(0.5A. B. C. D.
总结反思
离散型随机变量分布列的性质的作用:
(1)利用“所有概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值;
(2)可以求某些特定事件的概率;
(3)可以根据性质判断所得分布列是否正确.
【对点演练1】 (1)[2026·江西吉安模拟] 已知随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=2,3,4),则P(X=2)= (　 )
A. B. C. D.
(2)[2026·哈尔滨调研] 离散型随机变量X的分布列如表:
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若随机变量Y=|X-2|,则P(Y=2)= (　 )
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
　离散型随机变量的均值与方差
例2 (1)(多选题)[2025·广东江门期末] 已知离散型随机变量X的分布列如下表所示:
X 0 1 2
P 0.36 1-2q q2
则下列说法正确的是 (　 )
A.q=1.8 B.q=0.2
C.E(X)=0.68 D.D(X)=0.297 6
(2)不透明袋子里装有大小、材质完全相同的3个白球、8个黑球,现从中每次随机不放回地抽取1个小球,直到取出黑球时停止取球,则取球次数X的数学期望E(X)=　　　　.
(3)某超市为促销举办抽奖活动,设有两种奖券:甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4,每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5,每次抽奖结果相互独立.某顾客计划先抽取2张甲奖券,再抽取1张乙奖券.
①求该顾客至少中奖1次的概率;
②设该顾客中奖的总次数为X,求X的分布列和数学期望.



总结反思
1.求离散型随机变量X的分布列的一般步骤:
(1)理解X的意义,写出X的全部可能取值;
(2)求X取每个可能值的概率;
(3)写出X的分布列.
2.求离散型随机变量X的均值与方差的方法:
(1)理解随机变量X的意义,求出X的分布列;
(2)由均值与方差的定义求出E(X)与D(X).
注意E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)的应用(其中a,b为常数).
【对点演练2】 (1)[2025·福建福州模拟] 随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P 0.2 p1 p2
已知E(X)=,则D= (　 )
A.0.64 B.0.32
C.0.16 D.0.08
(2)(多选题)[2026·辽宁沈阳质检] 已知随机变量X满足P(X=i)=ai(i=1,2,3,4,5),则 (　 )
A.a=
B.P=
C.E(X)=
D.记Y=|X-3|,则E(Y)=
(3)在信道内传输0,1信号,信号的发射和接收都有A,B两种模式,若发射与接收的模式相同,则接收的信号与发射的信号相同,若发射与接收的模式不同,则接收的信号与发射的信号也不同,每次发射和接收信号时,选择A模式的概率均为,选择B模式的概率均为,每次发射和接收相互独立.
①求一次信号传输中,接收的信号与发射的信号相同的概率;
②信号发射器从2个0和3个1中随机选择3个信号依次发射,记发射信号1的个数为X.
(i)求X的分布列和数学期望;
(ii)当X=2时,求接收的信号是2个0和1个1的概率.


　均值与方差中的决策问题
例3 某种产品按照产品质量标准分为一等品、二等品、三等品、四等品四个等级,某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件,得到如下数据:
等级 一等品 二等品 三等品 四等品
数量 40 30 10 20
(1)根据产品等级,按比例分配的分层随机抽样的方法从这100件产品中抽取10件,再从这10件产品中随机抽取3件,记这3件产品中一等品的数量为X,求X的分布列及数学期望.
(2)若将频率视为概率,从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品,求恰好有1件四等品的概率.
(3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择.
方案一:产品不分类,售价均为21元/件.
方案二:分类卖出,分类后的产品售价如下:
等级 一等品 二等品 三等品 四等品
售价/(元/件) 24 22 18 16
从采购商的角度考虑,你觉得应该选择哪种销售方案 请说明理由.


总结反思
(1)E(X)反映了随机变量取值的平均水平,D(X)反映了随机变量取值的离散程度.它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.
(2)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度,D(X)越大表明平均偏离程度越大,说明X的取值越分散;反之,D(X)越小说明X的取值越集中在E(X)附近.
【对点演练3】 甲同学参加学校举办的诗词竞赛,竞赛中有一类题需要在给出的四个选项中选出与题干相符合的选项,已知选项中有两项或三项是正确的,每道题满分6分.全部选对得6分,有错选或全不选得0分,正确答案为两项时,选对1个得3分,正确答案为三项时,选对1个得2分,选对2个得4分.多选题正确答案是两个选项的概率为p,正确答案是三个选项的概率为1-p(其中0(1)在一次模拟考试中,学生甲对某道多选题完全不会,决定随机选择一个选项,若p=,求学生甲该题得2分的概率.
(2)针对某道多选题,学生甲完全不会,此时他有三种答题方案:
Ⅰ:随机选一个选项;Ⅱ:随机选两个选项;Ⅲ:随机选三个选项.
(i)若p=,且学生甲选择方案Ⅰ,求本题得分的数学期望;
(ii)以本题得分的数学期望为决策依据,当唯独选择方案Ⅰ最好时,求p的取值范围.

第60讲　离散型随机变量的分布列和数字特征
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.有限个
3.(1)x1p1+x2p2+…+xnpn　平均水平
(2)[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+…+[xn-E(X)]2pn　离散程度
(3)①aE(X)+b　②a2D(X)
【课前演练】
题组一
(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
[解析] (1)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的,故正确.
(2)随机变量X的取值为0和1的分布才是两点分布,故错误.
(3)根据随机变量的概念,可得随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限个,故正确.
(4)离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平,故错误.
题组二
1.0.2　[解析] 由题得
解得m=n=0.4,因此m-=0.2.
2.　[解析] 由题意可知P(X=0)+P(X=1)=2a+a=1,解得a=.
3.10.4　[解析] 由题得E(X)=1×0.1+2×0.3+3×0.4+4×0.1+5×0.1=2.8,则E(3X+2)=3E(X)+2=3×2.8+2=10.4.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)C　(2)A　[解析] (1)由题意可得P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=3×=.故选C.
(2)依题意得++=1,解得c=,所以P(0.5对点演练1　(1)B　(2)D　[解析] (1)由题意得P(X=i)==a,因为P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=1,所以a=1,化简得a=1,解得a=,所以P(X=i)=,所以P(X=2)==.故选B.
(2)由分布列的性质可得0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3.因为Y=|X-2|,所以P(Y=2)=P(X=0)+P(X=4)=0.2+m=0.2+0.3=0.5.故选D.
探究点二
例2　(1)BCD　(2)　[解析] (1)根据分布列的性质可知0.36+1-2q+q2=1,解得q=1.8或q=0.2,又因为0<1-2q<0.64,0(2)取球次数X的所有可能取值为1,2,3,4,P(X=1)=,P(X=2)=×=,P(X=3)=××=,P(X=4)=××=,故取球次数X的数学期望E(X)=1×+2×+3×+4×=.
(3)解:①设事件A为“该顾客至少中奖1次”,则事件为“该顾客没有一次中奖”,则P(A)=1-P()=1-(1-0.4)2(1-0.5)=0.82.
②由题可得X的取值为0,1,2,3,
P(X=0)=0.62×0.5=0.18,P(X=1)=×0.4×0.6×0.5+0.62×0.5=0.42,P(X=2)=0.42×0.5+×0.4×0.6×0.5=0.32,P(X=3)=0.42×0.5=0.08,
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.18 0.42 0.32 0.08
数学期望E(X)=0×0.18+1×0.42+2×0.32+3×0.08=1.3.
对点演练2　(1)C　(2)ABD　[解析] (1)根据题意可得
解得则D=D(X)=×[0.2×(0-1.4)2+0.2×(1-1.4)2+0.6×(2-1.4)2]=×(0.392+0.032+0.216)=0.16.故选C.
(2)由随机变量X满足P(X=i)=ai(i=1,2,3,4,5),可得a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=,所以A正确;P=P(X=1)+P(X=3)+P(X=5)=++=,所以B正确;E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=,所以C错误;因为Y=|X-3|,所以Y的所有可能取值为0,1,2,P(Y=0)=P(X=3)=,P(Y=1)=P(X=2)+P(X=4)=,P(Y=2)=P(X=1)+P(X=5)=,所以E(Y)=0×+1×+2×=,所以D正确.故选ABD.
(3)解:①一次信号传输中,接收的信号与发射的信号相同的概率为+==.
②(i)由题意知X的所有可能取值为1,2,3,
且P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E(X)=1×+2×+3×=.
(ii)当X=2时,发射的信号为1个0和2个1.
要使接收的信号为2个0和1个1,有下列两种情况:
这3个信号发射与接收的均不相同,概率P1==;
其中1个1被接收为0,另外2个信号发射与接收的相同,概率P2=××=.
故当X=2时,接收的信号为2个0和1个1的概率为P1+P2=+=.
探究点三
例3　解:(1)由题可得,抽取的10件产品中,一等品有4件,非一等品有6件,
所以X的可能取值为0,1,2,3,
且P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.
(2)从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品,记抽到四等品的数量为Y,则Y~B,所以P(Y=1)=××=.
(3)由题意得,方案二的产品的平均售价为24×+22×+18×+16×=21.2(元/件),
因为21<21.2,所以从采购商的角度考虑,应该选择方案一.
对点演练3　解:(1)记事件A为“正确答案为两个选项”,事件B为“学生甲得2分”,则P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×0+×=,即学生甲该题得2分的概率为.
(2)(i)记X为从四个选项中随机选择一个选项的得分,则X的可能取值为0,2,3.
当p=时,P(X=0)=×+×=,P(X=2)=×0+×=,
P(X=3)=×+×0=,
所以X的分布列为
X 0 2 3
P
则数学期望E(X)=0×+2×+3×=.
(ii)记X为从四个选项中随机选择一个选项的得分,X的可能取值为0,2,3,则P(X=0)=p×+(1-p)×=,P(X=2)=p×0+(1-p)×=(1-p),
P(X=3)=p×+(1-p)×0=p,所以E(X)=0×+2×(1-p)+3×p=.
记Y为从四个选项中随机选择两个选项的得分,Y的可能取值为0,4,6,
则P(Y=0)=p×+(1-p)×=p+,P(Y=4)=p×0+(1-p)×=(1-p),
P(Y=6)=p×+(1-p)×0=p,
所以E(Y)=0×+4×(1-p)+6×p=2-p.
记Z为从四个选项中随机选择三个选项的得分,Z的可能取值为0,6,
则P(Z=0)=p×1+(1-p)×=p+,P(Z=6)=p×0+(1-p)×=(1-p),
所以E(Z)=0×+6×(1-p)=(1-p).
要使唯独选择方案Ⅰ最好,则
解得

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