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吉林省长春市长春汽车经济技术开发区2025—2026学年度第二学期期末七年级数学试卷
一、单选题
1．下面四幅国际足联世界杯的标志中，具有轴对称性的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列等式变形中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．不等式3x﹣1＞5的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　）
A．9 B．7 C．2 D．1
5．如果方程与下面方程中的一个组成的方程组，其解为，那么这个方程可以是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一把直尺沿直线断开并平移，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“方程术”记载：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？其大意为：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有50钱．问甲、乙两人各有多少钱？设甲、乙分别有x、y钱，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．“与4的和等于”用方程可表示为__________．
10．已知，且，则的取值范围是__________．
11．如果、满足，则______．
12．如图，某公园的观赏鱼池是中心对称图形，图中的弧形均为半圆，虚线围成的图形是正方形，已知米，则阴影部分图形的面积和为__________平方米．
13．如图，用五边形可以铺满地面，若，则的度数是__________．
14．如图，在中，，，是高，是角平分线，是中线．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有__________．
三、解答题
15．解方程（组）：
(1)；
(2)
16．解不等式（组）：
(1)；
(2)
17．如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点．求证：．请将解答过程的空缺处补全．
证明：平分，
__________．
平分，
__________．
__________，
__________
．
__________，
．
__________．
18．学校运动队沿校园周边的步道晨跑，甲、乙两队员同时出发，跑完一圈乙比甲多用．已知甲、乙队员跑步的平均速度分别是、．问这一圈步道有多长？
19．如图是五个小正方形拼成的图形．请你移动其中一个小正方形，重新拼一个图形，使得所拼成的新图形：
(1)是轴对称图形，但不是中心对称图形．
(2)是中心对称图形，但不是轴对称图形．
(3)既是轴对称图形，又是中心对称图形请分别画出示意图．
20．“如果，，那么．”的推理过程如下：
，
∴．①
，
．②
由①②，可得．
．
(1)步骤①的推理依据是______________________________；
(2)请类比以上推理过程，说明“如果、、、都是正数，且、，那么．”的正确性；
(3)根据上述结论解决问题：若，，则的取值范围是__________．
21．先阅读材料，然后解方程组．
材料：解方程组
在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得．
把代入①得，所以
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答．
(1)用这种方法解方程组
(2)方程组的解为__________．
22．如图，在中，，．
(1)求的度数；
(2)是线段上一点，连接，将沿折叠，点落在同一平面内的点处，且，求的度数．
23．电动车因环保节能、日常通勤费用低被大众认可．某销售商欲采购甲、乙两种型号的电动车，经调研得知：
甲型（辆） 乙型（辆） 采购总价（万元）
2 1 29
1 2 34
(1)求甲、乙两种型号电动车的采购单价；
(2)若销售商计划用240万元资金采购两种电动车（正好用完），请直接写出所有的采购方案；
(3)销售时每辆甲型电动车可盈利2万元，每辆乙型电动车可盈利4万元．若采购乙型电动车的数量是甲型电动车数量的2倍，并且销售商希望本次采购的电动车全部售出后总盈利不低于150万元，求至少采购多少辆甲型电动车？
24．如图①，点是正方形的边上的一点，绕着点顺时针旋转到位置，点、、在同一条直线上．
【理解题意】
(1)旋转中心是点__________，旋转角的大小为_______度，______________．
【操作探索】
(2)在图①中只用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交边于点．不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑．
【拓展提升】
在操作探索的条件下，解决下列问题：
(3)若，求的度数；
(4)连结，可得与关于直线对称．若的周长为6，则正方形的面积为__________．
试卷第6页，共6页
《吉林省长春市长春汽车经济技术开发区2025—2026学年度第二学期期末七年级数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B A B D C B C
9．
10．
11．
12．
13．
14．①②③
15．（1）解：；
，
．
（2）解：
得∶，
解得：，
把代入②中得：，
解得：．
所以原方程组的解为．
16．（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组解集为．
17．；；；；；
18．解：设这一圈步道长米，根据题意，得
，
解得，
答：这一圈步道长米．
19．（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）解：如图所示：
20．(1)不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变
(2)，，
．①
，，
．②
由①②可得．
．
（3）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
21．（1）解：，
将①整体代入②，得，
解得，
把代入①得：，
解得，
所以原方程组的解为；
（2）解：，
将①整体代入②，得，
解得：，
把代入得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
22．（1）解：， ，，
；
（2）解：由折叠可知．
∵，
∴．
∴．
由折叠可知．
23．（1）解：设甲型号电动车的采购单价为万元，乙型号电动车的采购单价为万元，
，
解得，
∴甲型号电动车的采购单价为8万元，乙型号电动车的采购单价为13万元；
（2）解：设采购甲型电动车辆，乙型电动车辆，
由题意可得，
整理得，
∵，均为正整数，
∴为的倍数，
∵，
∴，
∴可以取或，
当时，，
当时，，
∴共有两种采购方案，方案一：采购甲型电动车17辆，乙型电动车8辆；方案二：采购甲型电动车4辆，乙型电动车16辆；
（3）解：设采购甲型电动车辆，则采购乙型电动车辆，
由题意得，
解得，
∴至少采购15辆甲型电动车．
24．(1)；90；；
(2)如图，即为所求；
（3）解：∵四边形为正方形，
∴，，
由旋转的性质得：，
∴，
即，
∵的平分线为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（4）解：如图，
∵四边形为正方形，
∴，
由旋转的性质得：，，
由（3）得：，
∵，
∴，
∴，即，
∵的周长为6，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴正方形的面积为．
答案第8页，共9页
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