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湖南省娄底市涟源市部分学校2026-2027学年高二上学期入学考试数学试题
一、单选题
1．已知为两条不同直线，为三个不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题序号为（ ）
A．②③ B．②③④ C．①④ D．①②③
2．已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．某位同学参加歌唱比赛，有8位评委．歌唱结束后，各评委打分的平均数为5，方差为3．又加入一个特邀嘉宾的打分为5，此时这9个分数的平均数为，方差为，则（　　）
A．， B．， C．， D．，
4．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．四边形的周长为
D．四边形的面积为
5．在中，是线段的中点，是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，的外接圆的圆心为,,,,则等于(　)
A． B．3 C．2 D．
8．若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ）
A． B． C．[3，5] D．
二、多选题
9．设复数满足，为复数的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的虚部为
C．是个纯虚数 D．复数对应的点位于复平面的第二象限
10．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A．存在点，使得平面，
B．过点三点的平面截正方体所得截面的面积最大为5
C．当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，且定值为
D．的最小值为
三、填空题
11．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________
12．为所在平面外一点，为在平面上的射影.若 与平面所成的角相等，则是的___________心.
四、解答题
13．某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成绩中抽取容量为n的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间的人数为5．
(1)求样本容量n以及频率分布直方图中的x；
(2)估计全年级学生竞赛成绩的平均数；
(3)从样本中得分在[80,100]的学生中随机抽取两人，问所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是多少？
14．记的内角的对边分别为，已知.
(1)若，求；
(2)若是的中点，且，求；
(3)若，求的面积.
15．每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
(1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率；
(2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为．
①求p，q的值；
②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率．
16．如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，.
(1)求证：平面；
(2)求直线到平面的距离；
(3)若点P是正方形内的动点（不含边界），且满足，设直线与平面所成角为，求的取值范围.
参考答案
1．C
2．A
3．B
4．D
5．D
6．C
7．D
8．B
9．AC
10．ACD
11．
12．外
13．（1）成绩在区间的频率为，，
由频率分布直方图可得第4组的频率为
，故.
（2）先估计所抽取的25名学生成绩的平均数为
（分），
估计全年级学生竞赛成绩的平均数为；
（3）得分成绩在有（人），
这组的3名学生分别为， ， ，
得分在区间[90，100]有（人），
这组的2名学生分别为，，
随机抽取两人，所以可能的结果为
共10种，
所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90，100]的结果为
共7种，
故所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是.
14．（1）在中，由正弦定理，即，解得，
所以或.
（2）因为，即，化简得①.
法一：在中，由正弦定理，，
在中，由正弦定理，，
又，所以，
在中，由余弦定理可得，所以，则②.
联立①②得，即，解得或（舍）或（舍）.
所以.
法二：
延长至点，使得，连接，
由题意，则，即，整理得③.
联立①③，，解得或（舍）.
所以.
（3）在内作，所以，设，
在中，由正弦定理知，即，知，
所以，
所以.
15．（1）设事件“第一轮比赛中甲胜出”，事件“第二轮比赛中甲胜出”，
设事件“第一轮比赛中乙胜出”，事件“第二轮比赛中乙胜出”，
由题意得，，，相互独立，且，，，．
记事件“乙恰好有一轮胜出”，则，又互斥，
所以，当时，
.
因此，当时，乙恰好有一轮胜出的概率为.
（2）①事件“甲，乙各有一轮胜出”，事件“甲，乙两轮都胜出”，
则，
，
则，解得，．
②事件“甲两轮都胜出”，事件“乙两轮都胜出”，
事件“甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”，
，，
16．(1)
连接AC交BD于，连接，则，因为，
由四棱台的性质可得，且，故四边形为平行四边形，
故，平面面，故面.
（2）面，直线到平面的距离等价于点到平面的距离，
，
，，，，
取DC中点，连，，
可得，而平面，
故平面，由平面，
故，，得，
，，故，
故，故.
（3）连接，因为，由四棱台的性质可得，
故四边形为平行四边形，故，
故平面，而平面，故，
又，，平面，故平面，
，点在面内的动点，点面面，
面，为与面所成的平面角，
，DO最小为，最大为4
则.

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