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几何综合题
1.已知△ABC中，AD是的平分线，且AD=AB， 过点C作AD的垂线，交 AD的延长线于点H．
（1）如图1，若
①直接写出和的度数；
②若AB=2，求AC和AH的长；
（2）如图2，用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明．










答案：
（1）①，；

②作DE⊥AC交AC于点E.
Rt△ADE中，由，AD=2可得DE=1，AE.
Rt△CDE中，由，DE=1，可得EC=1.
∴AC.
Rt△ACH中，由，可得AH；

（2）线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH=AB+AC
证明： 延长AB和CH交于点F，取BF中点G，连接GH.
易证△ACH ≌△AFH.
∴,.
∴.
∵，
∴ .
∴ .
∴ .
∴.

2.正方形的边长为，将射线绕点顺时针旋转，所得射线与线段交于点，作于点，点与点关于直线对称，连接．
（1）如图，当时，
①依题意补全图．
②用等式表示与之间的数量关系：__________．
（2）当时，探究与之间的数量关系并加以证明．
（3）当时，若边的中点为，直接写出线段长的最大值．

答案：（1）①补全的图形如图7所示．
② ∠NCE=2∠BAM．
（2）当45°<α<90°时，．
证明：如图8，连接CM，设射线AM与CD的交点为H．
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，直线BD为正方形ABCD的对称轴，
点A与点C关于直线BD对称．
∵ 射线AM与线段BD交于点M，
∴ ∠BAM=∠BCM=α．
∴ ∠1=∠2=．
∵ CE⊥AM，
∴ ∠CEH=90°，∠3+∠5=90°．
又∵∠1+∠4=90°，∠4=∠5，
∴ ∠1=∠3．
∴ ∠3=∠2=．
∵ 点N与点M关于直线CE对称，
∴ ∠NCE=∠MCE=∠2+∠3=．
（3）





3. 如图，已知，点为射线上的一个动点，过点作，交于点，点在内，且满足，.
（1）当时，求的长；
（2）在点的运动过程中，请判断是否存在一个定点，使得的值不变？并证明你的判断.

答案：
（1）作⊥交于.
∵⊥，，
∴.
∴.
∴.
∵,,
∴,.
∴.
∴.
（2）当点在射线上且满足时，的值不变，始终为1.理由如下：
当点与点不重合时，延长到使得.
∵,
∴.
∴.
∵,是公共边,
∴≌.
∴.
作⊥于,⊥于.
∵，
∴.
∵⊥,⊥,⊥，
∴四边形为矩形.
∴.
∵,
∴.
∵⊥,
∴.
∴,即.
当点与点重合时，由上过程可知结论成立.

4. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E为AB边上一动点（与点A，B不重合），连接CE，将∠ACE的两边所在射线CE，CA以点C为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD于点F，G.
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系，并证明．
答案：（1）补全的图形如图所示.


（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.
∴∠FCG=∠ACE=α.
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠BAC= 30°. ∴∠AGC=30°.
∴∠AFC =α+30°.
（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系为.
证明：作CH⊥AG于点H.
由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°.
∴CA=CG. ∴HG =AG.
∵∠ACE =∠GCF，∠CAE =∠CGF，
∴△ACE≌△GCF.
∴AE =FG.
在Rt△HCG中，
∴AG =CG.即AF+AE=CG.

5.如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，过点C在△ABC外作射线CE，且∠BCE = ，点B关于CE的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CE于点M，N.
（1）依题意补全图形；
（2）当= 30°时，直接写出∠CMA的度数；
（3）当0°<< 45°时，用等式表示线段AM，CN之间的数量关系，并证明．




答案：（1）如图；
（2）45°；
（3）结论：AM=CN．
证明：作AG⊥EC的延长线于点G．
∵点B与点D关于CE对称，
∴CE是BD的垂直平分线．
∴CB=CD．
∴∠1=∠2=．
∵CA=CB，∴CA=CD．∴∠3=∠CAD．
∵∠4=90°，
∴∠3=（180°∠ACD）=（180°90°）=45°．
∴∠5=∠2+∠3=+45°-=45°．
∵∠4=90°，CE是BD的垂直平分线，
∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°．
∴∠6=∠7．
∵AG⊥EC，
∴∠G=90°=∠8．
∴在△BCN和△CAG中，
∠8=∠G，
∠7=∠6，
BC=CA，
∴△BCN≌△CAG．
∴CN=AG．
∵Rt△AMG中，∠G=90°，∠5=45°，
∴AM=AG．
∴AM=CN．
6.在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转得到线段AQ，连接BP，DQ．
（1）依题意补全图1；
(
图1
备用图
)（2）①连接，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：；
②若点P，Q，C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为： ．


答案：（1）补全图形略
(
图2
) （2）①证明：
连接，如图2，
∵线段绕点顺时针旋转90°得到线段，
∴，．
∵四边形是正方形，
∴，．
∴．
∴△≌△．
∴，．
∵在中，，
∴．
∵在中，，
又∵，，
∴．
②．
7.如图，在等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，F是AB边上一点，作射线CF，
过点B作BG⊥CF于点G，连接AG．
（1）求证：∠ABG=∠ACF；
（2）用等式表示线段CG，AG，BG之间 的等量关系，并证明．


答案：（1）证明?:
∵ ∠CAB=90°.
∵ BG⊥CF于点G，
∴ ∠BGF=∠CAB=90°.
∵∠GFB=∠CFA.
∴ ∠ABG=∠ACF.

（2）CG=AG+BG.
证明：在CG上截取CH=BG，连接AH，
∵ △ABC是等腰直角三角形，
∴ ∠CAB=90°，AB=AC.
∵ ∠ABG=∠ACH.
∴ △ABG≌△ACH.
∴ AG =AH,∠GAB=∠HAC.
∴ ∠GAH=90°.
∴ .
∴ GH=AG.
∴ CG=CH+GH=AG+BG.

8.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，延长CB至点F，使BF=BE，过点F作FH⊥AE于点H，射线FH分别交AB、CD于点M、N，交对角线AC于点P，连接AF．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：∠FAC=∠APF；
（3）判断线段FM与PN的数量关系，并加以证明．



答案：（1）补全图如图所示．
（2）证明∵正方形ABCD，
∴∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°，
∴∠PAH=45°-∠BAE．
∵FH⊥AE．
∴∠APF=45°+∠BAE．
∵BF=BE，
∴AF=AE，∠BAF=∠BAE．
∴∠FAC=45°+∠BAF．
∴∠FAC=∠APF．
（3）判断：FM=PN．
证明：过B作BQ∥MN交CD于点Q，
∴MN=BQ，BQ⊥AE．
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°．
∴∠BAE=∠CBQ．
∴△ABE≌△BCQ．
∴AE=BQ．
∴AE=MN．
∵∠FAC=∠APF，
∴AF=FP．
∵AF=AE，
∴AE=FP．
∴FP=MN．
∴FM=PN．
9.如图所示，点P位于等边的内部，且∠ACP=∠CBP．
(1) ∠BPC的度数为________°；
(2) 延长BP至点D，使得PD=PC，连接AD，CD．
①依题意，补全图形；
②证明：AD+CD=BD；
在(2)的条件下，若BD的长为2，求四边形ABCD的面积．

解：(1)120°. ----------------------------2分
(
D
)
(2)①∵如图1所示.
②在等边中，，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴为等边三角形.
∵
∴
在和中，

∴.
∴
∴-----------------------------------------4分
（3）如图2，作于点，延长线于点.
∵
∴
∴
∴
又由（2）得，

-----------------------------------7分
10.如图1，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设∠DAQ=α
（0°＜α＜60°且α≠30°）.
（1）当0°＜α＜30°时，
①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE（用含α的式子表示）；
②探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明；
（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE，AC，CQ之间的数量关系.










(
图1

备用图
)



解：（1）①． ………………………………………………………………………… 1分
② 0≤≤．……………………………………………………………… 2分
（2）设直线与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，可得，
．
∴ ，，．
由0≤≤，作直线．
①如图13，当⊙D与x轴相切时，相应的圆心满足题意，其横坐标取到最大值．作轴于点，
可得∥OB，．
∵ ⊙D的半径为1，
(
图13
)∴ ．
∴ ，．
∴ ．
②如图14，当⊙D与直线相切时，
相应的圆心满足题意，其横坐标取到最小值．
作轴于点，则⊥OA．
(
图14
)设直线与直线的交点为F．
可得，OF⊥AB．则．
∵ ⊙D的半径为1，
∴ ．
∴ ．
∴ ，
．
∴ ．
由①②可得，的取值范围是≤≤．
………………………………………… 5分
(
图15
)（3）画图见图15．
．……………………………… 7分


11.如图，在等边中， 分别是边上的点，且 , ，点与点关于对称，连接，交于.
（1）连接，则之间的数量关系是 ；
（2）若，求的大小; （用的式子表示）
（3）用等式表示线段和之间的数量关系，并证明.








（1）；
（2）解：连接，，
∵是等边三角形，
∴.
∵，
∴.
∵点与点关于对称，
∴，.
∴.
由（1）知.
∴，，在以为圆心，为半径的圆上.
∴.
（3）.理由如下：
连接，延长，交于点，
∵是等边三角形，
∴，.
∵点与点关于对称，
∴，.
∴.
∴.
设，
则.
∴.
∴.
∴.
由（2）知.
∴.
∴，.
四边形中，.
∴.
∴是等边三角形.
∴，.
∵，
∴.
在与中，

∴.
∴.
∵，
∴．

12.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，M是BC的中点，延长AM到点D，AE= AD，∠EAD=90°，CE交AB于点F，CD=DF.
（1）∠CAD= 度；
（2）求∠CDF的度数；
（3）用等式表示线段和之间的数量关系，并证明.






解：（1）45 ……………………………………………………………1分
（2）解：如图，连接DB.
∵°，是的中点，
∴∠BAD=∠CAD=45°.
∴△BAD≌△CAD. ………………………………2分
∴∠DBA=∠DCA，BD = CD.
∵CD=DF,
∴BD=DF. ………………………………………3分
∴∠DBA=∠DFB=∠DCA.
∵∠DFB+∠DFA =180°,
∴∠DCA+∠DFA =180°.
∴∠BAC+∠CDF =180°.
∴∠CDF =90°. ………………………………………4分
（3）CE=CD. ……………………………………5分
证明：∵°，
∴∠EAF=∠DAF=45°.
∵AD=AE，
∴△EAF≌△DAF. …………………………………6分
∴DF=EF.
由②可知，CF=. …………………………7分
∴CE=CD.

13.如图，正方形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到AF，连接EF，交对角线BD于点G，连接AG．
（1）根据题意补全图形；
（2）判定AG与EF的位置关系并证明；
（3）当AB = 3，BE = 2时，求线段BG的长．







解：（1）图形补全后如图…………………1分

（2）结论：AG⊥EF． …………………2分
证明：连接FD，过F点FM∥BC，交BD的延长线于点M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA=DC=BC，∠DAB=∠ABE=∠ADC=90°，
∠ADB=∠5=45°．
∵线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到AF，
∴AE=AF，∠FAE=90°．
∴∠1=∠2．
∴△FDA≌△EBA． …………………3分
∴∠FDA=∠EBA=90°，FD=BE．
∵∠ADC=90°，
∴∠FDA+∠ADC=180°。
∴点F、D、C三点共线．
∴∠ADB=∠3=45°．
∵FM∥BC，
∴∠4=∠5=45°，
∴FM=FD，
∴FM=BE．
∵∠FGM=∠EGB，FM=BE，∠4=∠5，
∴△FMG≌△EGB．
∴FG=EG．
∵AE=AF，
∴AG⊥FE． ………………4分
（3） 解：如图，DB与FE交于点G．
∵AB=3，BE=2，
∴DC=3，CE=1，FD=2．
∴Rt△DAB中，DB=3．
∵四边形ABCD是正方形，
∴DH∥BC，
(
x
y
)∴，即，
∴DH=.
∴，即，
∴BG=. ………………7分



14.在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点M是线段BC的中点，点N在射线MB上，连接AN，平移△ABN，使点N移动到点M，得到△DEM（点D与点A对应，点E与点B对应），DM交AC于点P．
（1）若点N是线段MB的中点，如图1．
① 依题意补全图1；
② 求DP的长；
（2）若点N在线段MB的延长线上，射线DM与射线AB交于点Q，若MQ=DP，求
(
图1
) (
备用图
)CE的长．


解：（1）①如图1，补全图形. ………………… 1分
② 连接AD，如图2.
在Rt△ABN中,
∵∠B=90°，AB=4，BN=1，
∴.
∵线段AN平移得到线段DM，
∴DM=AN=，
AD=NM=1，AD∥MC，
(
图2
)∴△ADP∽△CMP.
∴.
∴.………………… 3分
（2）连接，如图3.
由平移知：∥，且=.
∵，
∴.
(
图
2
)∴∥，且=.
∴四边形是平行四边形.
∴∥.
∴.
又∵，
∴.
∵∥，
(
图4
)∴.
又∵是的中点，且，
∴.
∴(舍负).
∴.
∴.………………… 7分
（2）法二，连接AD，如图4.
设CE长为x，
∵线段AB移动到得到线段DE，
∴，AD∥BM.
∴△ADP∽△CMP.
∴.
∵MQ=DP，
∴.
∵△QBM∽△QAD，
∴.
解得.
∴. ………………… 7分



15.如图，在△ABC中，AB=AC>BC，BD 是AC边上的高，点C关于直线BD的对称点为点E，连接BE.
（1） ①依题意补全图形；
②若∠BAC=，求∠DBE的大小（用含的式子表示）；
若DE=2AE，点F是BE中点，连接AF，BD=4，求AF的长.













（1）解：①如图． ……………………… 1分






②∵ AB=AC，∠BAC=，
∴ ∠ABC=∠ACB=90°-．
∵点C关于直线BD的对称点为点E，BD 是AC边上的高.
∴ BD⊥CE，CD=DE．
∴ BE=BC．
∴ ∠BEC=∠ACB=90°-． …………………… 2分
∴∠DBE=．……………… 3分

（2）解：作FG⊥AC于G，
∵BD⊥CE，∴FG∥BD
∵点F是BE中点，∴EG=DG．∴…………4分
∵DE=2AE，∴AE=EG=DG．……………… 5分
设AE=EG=DG=x，则CD=DE=2x，AC=5x，∴AB=AC=5x．
∴BD=4x． ∵BD=4，∴x =1．……………… 6分
∴AG=2．
∵=2，
∴AF=．……………… 7分

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