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八年级下册《第1章 三角形的证明》综合卷
（考试时间120分钟，总分120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．等腰三角形的一个角是50°，则它顶角的度数是（　　）
　 A． 50° B． 50°或40° C． 80°或50° D． 80°

2．下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
　 A． 如果a＞0，b＞0，则a+b＞0 B． 直角都相等
　 C． 两直线平行，同位角相等 D． 若a=6，则|a|=|b|

3．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是
　 A． 5cm B． 6cm C． 7cm D． 8cm

4．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（　　）
　 A．∠A=∠C B． AD=CB C． BE=DF D． AD∥BC




5．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（　）
A． 10 B． 8 C． 5 D． 2.5




6.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为（　　）
A． 2.5 B． 1.5 C． 2 D． 1




7．如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（　　）
　 A． ① B． ② C． ①② D． ①②③





8．如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于（　）
　 A． 10 B． 12 C． 24 D． 48




9．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（　　）
　 A． 6 B． 8 C． 9 D． 10




10．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别
交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
1 B．2 C．3 D．4


二、填空题（每小题4分，共20分）
11．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中_________________________________________________________.
12．若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C=　_________　．

　
如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于　_________　．






如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为________m．





三、解答题（每小题7分，共14分）
16．（7分）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．






17.（7分）如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．






18.（8分）在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，∠DCA=30°，CA平分∠DCB，AD=4cm，求AB的长度？





19.（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．





20.（8分）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．
（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．









21.（10分）已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．
（1）求证：BF=AC；
（2）求证：．



22．（10分）如图，在△ABC中，D是BC是中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥DF交AB于点E，连接EG、EF．
（1）求证：BG=CF；（2）求证：EG=EF；
（3）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．






23．（12分）△ABC中，AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．
（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF是　_________　三角形；
（2）若∠BAC=∠DAE≠60°
①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；
②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．





































八年级下册《第1章 三角形的证明》单元检测卷A
答案及解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．等腰三角形的一个角是50°，则它顶角的度数是（　　）
　 A． 50° B． 50°或40° C． 80°或50° D． 80°
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 分类讨论．
分析： 分50°角是顶角与底角两种情况讨论求解．
解答： 解：①50°角是顶角时，三角形的顶角为50°， ②50°角是底角时，顶角为180°﹣50°×2=80°， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或50°． 故选C．
点评： 本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．

　
2．（4分）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
　 A． 如果a＞0，b＞0，则a+b＞0 B． 直角都相等
　 C． 两直线平行，同位角相等 D． 若a=6，则|a|=|b|

考点： 命题与定理．
分析： 先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可．
解答： 解；A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0：如果a+b＞0，则a＞0，b＞0，是假命题； B．直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题； C．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题； D．若a=6，则|a|=|b|的逆命题是若|a|=|b|，则a=6，是假命题． 故选：C．
点评： 本题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的 结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．




3．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是（ ）
　 A． 5cm B． 6cm C． 7cm D． 8cm
考点： 含30度角的直角三角形．
分析： 三个内角的比以及三角形的内角和定理，得出各个角的度数．以及直角三 角形中角30°所对的直角边是斜边的一半．
解答： 解：根据三个内角的比以及三角形的内角和定理，得直角三角形中的最小 内角是30°，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得最长边是最小边的2 倍，即8，故选D．
点评： 此题主要是运用了直角三角形中角30°所对的直角边是斜边的一半．


4．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（　　）
　 A．∠A=∠C B． AD=CB C． BE=DF D． AD∥BC

考点： 全等三角形的判定．
分析： 求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．
解答： 解：∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF， ∴AF=CE， A、∵在△ADF和△CBE中 ∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误； B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE， 错误，故本选项正确； C、∵在△ADF和△CBE中 ∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误； D、∵AD∥BC， ∴∠A=∠C， ∵在△ADF和△CBE中 ∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误； 故选B．



5．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（　）
A． 10 B． 8 C． 5 D． 2.5




考点： 线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
分析： 根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，根据含30度角的直角三角形性质求出BE 的长，即可求出CE长．
解答： 解：∵DE是线段BC的垂直平分线， ∴BE=CE，∠BDE=90°（线段垂直平分线的性质）， ∵∠B=30°， ∴BE=2DE=2×5=10（直角三角形的性质）， ∴CE=BE=10． 故选A．
点评： 本题考查了含30度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，关键 是得到BE=CE和求出BE长，题目比较典型，难度适中．


6.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为（　　）
A． 2.5 B． 1.5 C． 2 D． 1


考点： 等腰三角形的判定与性质．
分析： 由已知条件判定△BEC的等腰三角形，且BC=CE；由等角对等边判定 AE=BE，则易求BD=BE=AE=（AC﹣BC）．
解答： 解：如图，∵CD平分∠ACB，BE⊥CD， ∴BC=CE． 又∵∠A=∠ABE， ∴AE=BE． ∴BD=BE=AE=（AC﹣BC）． ∵AC=5，BC=3， ∴BD=（5﹣3）=1． 故选D．
点评： 本题考查了等腰三角形的判定与性质．注意等腰三角形“三合一”性质的运用．



7．如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（　　）
　 A． ① B． ② C． ①② D． ①②③




考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
专题： 常规题型．
分析： 从已知条件进行分析，首先可得△ABE≌△ACF得到角相等和边相等，运 用这些结论，进而得到更多的结论，最好运用排除法对各个选项进行验证从 而确定最终答案．
解答： 解：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F ∴∠AEB=∠AFC=90°， ∵AB=AC，∠A=∠A， ∴△ABE≌△ACF（①正确） ∴AE=AF， ∴BF=CE， ∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠BDF=∠CDE， ∴△BDF≌△CDE（②正确） ∴DF=DE， 连接AD， ∵AE=AF，DE=DF，AD=AD， ∴△AED≌△AFD， ∴∠FAD=∠EAD， 即点D在∠BAC的平分线上（③正确） 故选D．
点评： 此题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定方法等知识点，要求学生要灵活运用，做题时要由易到难，不重不漏．







8．如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于（　）
　 A． 10 B． 12 C． 24 D． 48



考点： 勾股定理；含30度角的直角三角形．
分析： 本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质．
解答： 解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∠BAE=∠DEC=60° ∴∠AEB=∠CDE=30° ∵30°所对的直角边是斜边的一半 ∴AE=6，DE=8 又∵∠AED=90° 根据勾股定理 ∴AD=10． 故选A．
点评： 解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30°所对 的直角边是斜边的一半，勾股定理的性质．



9．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（　　）
　 A． 6 B． 8 C． 9 D． 10
考点： 等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
分析： 作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6，DE=2，进而得出△BEM 为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．
解答： 解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC， ∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AN⊥BC，BN=CN， ∵∠EBC=∠E=60°， ∴△BEM为等边三角形， ∴△EFD为等边三角形， ∵BE=6，DE=2， ∴DM=4， ∵△BEM为等边三角形， ∴∠EMB=60°， ∵AN⊥BC， ∴∠DNM=90°， ∴∠NDM=30°， ∴NM=2， ∴BN=4， ∴BC=2BN=8， 故选B．
点评： 此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN的长 是解决问题的关键．





10．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别
交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
1 B．2 C．3 D．4



考点： 角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．
专题： 压轴题．
分析： ①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线； ②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质 来求∠ADC的度数； ③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的 “三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上； ④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来 求两个三角形的面积之比．
解答： 解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线． 故①正确； ②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°． 又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠2=∠CAB=30°， ∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°． 故②正确； ③∵∠1=∠B=30°， ∴AD=BD， ∴点D在AB的中垂线上． 故③正确； ④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°， ∴CD=AD， ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC?CD=AC?AD． ∴S△ABC=AC?BC=AC?AD=AC?AD， ∴S△DAC：S△ABC=AC?AD：AC?AD=1：3． 故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选D．
点评： 本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图． 解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．




二、填空题（每小题4分，共20分）
11．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中_________________________________________________________.
考点： 反证法．
分析： 熟记反证法的步骤，直接填空即可．
解答： 解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个 内角都大于60°． 故答案为：每一个内角都大于60°．
点评： 此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．


12．若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．
考点： 等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．
专题： 分类讨论．
分析： 先根据非负数的性质列式求出a、b再分情况讨论求解即可．
解答： 解：根据题意得，a﹣1=0，b﹣2=0， 解得a=1，b=2， ①若a=1是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为1、1、2， ∵1+1=2， ∴不能组成三角形， ②若a=2是腰长，则底边为1，三角形的三边分别为2、2、1， 能组成三角形， 周长=2+2+1=5． 故答案为：5．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系， 难点在于要讨论求解．


如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C=　_________　．
考点： 线段垂直平分线的性质．
分析： 由DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE， 又由在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAE=20°，即可求得∠C的度数．
解答： 解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AE=CE， ∴∠C=∠CAE， ∵在Rt△ABE中，∠ABC=90°，∠BAE=20°， ∴∠AEC=70°， ∴∠C+∠CAE=70°， ∴∠C=35°． 故答案为：35°．
点评： 此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不 大，注意掌握数形结合思想的应用．



　
如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于　_________　．







考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
分析： 由BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC，易得 △BDI与△ECI是等腰三角形，继而求得答案．
解答： 解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF， ∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF， ∵DE∥BC， ∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF， ∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC， ∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm， ∴DE=DI﹣EI=3（cm）． 故答案为：3cm．
点评： 此题考查了等腰三角形的性质与判定以及平行线的性质．注意由角平分线 与平行线，易得等腰三角形．


如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为________m．


考点： 平面展开-最短路径问题．
专题： 压轴题．
分析： 将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短 可知A′B的长度即为所求．
解答： 解：如图： ∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有 一蚊子， 此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处， ∴A′D=0.5m，BD=1.2m， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B= = =1.3（m）． 故答案为：1.3．
点评： 本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的 性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性 思维能力．




三、解答题（8小题，共70分）
16．（7分）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．





考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题；压轴题．
分析： 根据中点定义求出AC=BC，然后利用“SSS”证明△ACD和△BCE全等， 再根据全等三角形对应角相等证明即可．
解答： 证明：∵C是AB的中点， ∴AC=BC， 在△ACD和△BCE中，， ∴△ACD≌△BCE（SSS）， ∴∠A=∠B．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单，主要利用了三边对应 相等，两三角形全等，以及全等三角形对应角相等的性质．


17.（7分）如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．




考点： 作图—应用与设计作图．
分析： 根据点P到∠AOB两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在 ∠AOB的角平分线上，又在CD垂直平分线上，即∠AOB的角平分线和 CD垂直平分线的交点处即为点P．
解答： 解：如图所示：作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线的交点P即为所求．
点评： 此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法．这些基本作图要熟 练掌握，注意保留作图痕迹．


18.（8分）在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，∠DCA=30°，CA平分∠DCB，AD=4cm，求AB的长度？




考点： 勾股定理；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
专题： 压轴题．
分析： 过B作BE⊥AC，由AD=4m和∠D=90°，∠DCA=30°，可以求出AC的 长，根据平行线的性质和角平分线以及等腰三角形的性质即可求出AD的长．
解答： 解：∵∠D=90°，∠DCA=30°，AD=4cm， ∴AC=2AD=8cm， ∵CA平分∠DCB，AB∥CD， ∴∠CAB=∠ACB=30°， ∴AB=BC， 过B作BE⊥AC， ∴AE=AC=4cm， ∴cos∠EAB==， ∴cm．
点评： 本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的性质，解题 的关键是作高线构造直角三角形，利用锐角三角函数求出AB的长．


19.（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．




考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形．
分析： （1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可； （2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
解答： （1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°， ∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°， ∵在Rt△ACD和Rt△AED中 ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）； （2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∵∠B=30°， ∴BD=2DE=2．
点评： 本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性 质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．


20.（8分）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．
（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．





考点： 全等三角形的判定与性质．
分析： 在△CBF和△DBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全 等三角形的对应边相等即可证得； （2）根据全等三角形的对应角相等，即可证得∠DHF=∠CBF=60°，从而求解．
解答： （1）证明：∵在△CBF和△DBG中， ， ∴△CBF≌△DBG（SAS）， ∴CF=DG； （2）解：∵△CBF≌△DBG， ∴∠BCF=∠BDG， 又∵∠CFB=∠DFH， ∴∠DHF=∠CBF=60°， ∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．





21.（10分）已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．
（1）求证：BF=AC；
（2）求证：．

考点： 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
专题： 证明题．
分析： （1）由ASA证△BDF≌△CDA，进而可得出第（1）问的结论； （2）在△ABC中由垂直平分线可得AB=BC，即点E是AC的中点，再 结合第一问的结论即可求解．
解答： 证明：（1）∵DH垂直平分BC，且∠ABC=45°， ∴BD=DC，且∠BDC=90°， ∵∠A+∠ABF=90°，∠A+∠ACD=90°， ∴∠ABF=∠ACD， ∴△BDF≌△CDA， ∴BF=AC． （2）由（1）得BF=AC， ∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC， ∴在△ABE和△CBE中，， ∴△ABE≌△CBE（ASA）， ∴CE=AE=AC=BF．
点评： 本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及线段垂直平分线的性质等问题，应熟练掌握．



22．（10分）如图，在△ABC中，D是BC是中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥DF交AB于点E，连接EG、EF．
（1）求证：BG=CF；（2）求证：EG=EF；
（3）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．

考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．
分析： （1）求出∠C=∠GBD，BD=DC，根据ASA证出△CFD≌△BGD即可． （2）根据全等得出GD=DF，根据线段垂直平分线性质得出即可． （3）根据全等得出BG=CF，根据三角形三边关系定理求出即可．
解答： （1）证明：∵BG∥AC， ∴∠C=∠GBD， ∵D是BC是中点， ∴BD=DC， 在△CFD和△BGD中 ∴△CFD≌△BGD， ∴BG=CF． （2）证明：∵△CFD≌△BGD， ∴DG=DF， ∵DE⊥GF， ∴EG=EF． （3）BE+CF＞EF， 证明：∵△CFD≌△BGD， ∴CF=BG， 在△BGE中，BG+BE＞EG， ∵EF=EG， ∴BG+CF＞EF．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线 性质，三角形三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．






23（12分）△ABC中，AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．
（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF是　_________　三角形；
（2）若∠BAC=∠DAE≠60°
①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；
②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．





考点： 等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．
分析： （1）根据题意推出△AED和△ABC为等边三角形，然后通过求证 △EAB≌△DAC，结合平行线的性质，即可推出△EFB为等边三角形， （2）①根据（1）的推理依据，即可推出△EFB为等腰三角形，②根据题 意画出图形，然后根据平行线的性质，通过求证△EAB≌△DAC，推出等 量关系，即可推出△EFB为等腰三角形．
解答： 解：（1）∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴△AED和△ABC为等边三角形， ∴∠C=∠ABC=60°，∠EAB=∠DAC， ∴△EAB≌△DAC， ∴∠EBA=∠C=60°， ∵EF∥BC， ∴∠EFB=∠ABC=60°， ∵在△EFB中，∠EFB=∠EBA=60°， ∴△EFB为等边三角形， （2）①△BEF为等腰三角形， ∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE， ∴△AED和△ABC为等腰三角形， ∴∠C=∠ABC，∠EAB=∠DAC， ∴△EAB≌△DAC， ∴∠EBA=∠C， ∵EF∥BC， ∴∠EFB=∠ABC， ∵在△EFB中，∠EFB=∠EBA， ∴△EFB为等腰三角形， ②AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一 边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的 平行线，交直线AB于点F，连接BE． ∵△BEF为等腰三角形， ∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE， ∴△AED和△ABC为等腰三角形， ∴∠ACB=∠ABC，∠EAB=∠DAC， ∴△EAB≌△DAC， ∴∠EBA=∠ACD， ∴∠EBF=∠ACB， ∵EF∥BC， ∴∠AFE=∠ABC， ∵∠ABC=∠ACB， ∴∠AFE=∠ACB， ∵在△EFB中，∠EBF=∠AFE， ∴△EFB为等腰三角形．
点评： 本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等 三角形的判定和性质，关键在于根据题意画出图形，通过求证三角形全等， 推出等量关系，即可推出结论．

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