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浙教版八年级下册同步练习：1.3 二次根式的运算
一．最简二次根式（共2小题）
1．在式子、、、中，是最简二次根式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在根式、、、、中，最简二次根式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．二次根式的乘除法（共4小题）
3．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①＝，②×＝1，③÷＝﹣b，其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
4．（﹣）2的值为（　　）
A．a B．﹣a C． D．﹣
5．把根号外的因式移入根号内得（　　）
A． B． C． D．
6．（1）化简：?（﹣4）÷
（2）已知x＝﹣1，求x2+3x﹣1的值．
三．分母有理化（共3小题）
7．阅读材料并解决问题：＝＝＝﹣1，像上述解题过程中，+1与﹣1相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
（1）将下列式子进行分母有理化：①＝　 　；②＝　 　；
（2）化简：+．
8．请观察下列式子，按要求完成下列题目．
；；；．
试求：
（1）的值；
（2）（n为正整数）的值；
（3）根据上面的规律，试化简下列式子．+++…+．
9．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）
＝＝（二）
＝＝＝﹣1（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
＝＝＝＝﹣1（四）
（1）请用不同的方法化简．
参照（三）式得＝　 　；
参照（四）式得＝　 　．
（2）化简：+++…+．
四．同类二次根式（共3小题）
10．与可以合并的二次根式是（　　）
A． B． C． D．
11．下列根式中，与不是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
12．若最简二次根式与是同类二次根式，则m＝　 　．
五．二次根式的加减法（共1小题）
13．计算：（1） （2）．
六．二次根式的混合运算（共2小题）
14．计算：
（1）﹣×
（2）（﹣2+）（﹣2﹣）﹣（）2．
15．阅读下面材料，回答问题：
（1）在化简的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下：＝＝＝﹣
小李的化简如下：＝＝＝﹣
请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
（2）请你利用上面所学的方法化简 ．
七．二次根式的化简求值（共2小题）
16．已如x＝，y＝，求下列各式的值
（1）+
（2）x4+y4
17．（1）已知x＝﹣3，求代数式x2+6x+2018的值
（2）已知x＝1﹣，y＝1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值；
（3）已知x＝，y＝，求代数式+的值．
八．二次根式的应用（共1小题）
18．在一个边长为（2+3）cm的正方形的内部挖去一个长为（2+）cm，宽为（﹣）cm的矩形，求剩余部分图形的面积．



参考答案
一．最简二次根式（共2小题）
1．在式子、、、中，是最简二次根式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵＝2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；
，被开方数不含能开得尽方的因数，也没有分母，是最简二次根式；
，被开方数不含能开得尽方的因式，也没有分母，是最简二次根式；
综上所述，是最简二次根式的个数是2个．
故选：B．
2．在根式、、、、中，最简二次根式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：、、都是最简二次根式；
不是二次根式；＝±，可化简；
最简二次根式有3个，故选C．
二．二次根式的乘除法（共4小题）
3．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①＝，②×＝1，③÷＝﹣b，其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0
①＝，被开方数应≥0，a，b不能做被开方数，（故①错误），
②?＝1，?＝＝＝1，（故②正确），
③÷＝﹣b，÷＝÷＝×＝﹣b，（故③正确）．
故选：B．
4．（﹣）2的值为（　　）
A．a B．﹣a C． D．﹣
【解答】解：∵有意义，
∴a≤0，
∴（﹣）2＝﹣a．
故选：B．
5．把根号外的因式移入根号内得（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵成立，
∴﹣＞0，即m＜0，
原式＝﹣＝﹣．
故选：D．
6．（1）化简：?（﹣4）÷
（2）已知x＝﹣1，求x2+3x﹣1的值．
【解答】（1）解：根据已知算式知：x＜0，y＜0，
原式＝??（﹣4）÷（?）
＝???
＝8x2y；

（2）解：x＝﹣1，
∴x2+3x﹣1，
＝x2+2x+1+x﹣2，
＝（x+1）2+x﹣2，
＝+﹣1﹣2，
＝2+﹣3，
＝﹣1+．
三．分母有理化（共3小题）
7．阅读材料并解决问题：＝＝＝﹣1，像上述解题过程中，+1与﹣1相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
（1）将下列式子进行分母有理化：①＝　　；②＝　+　；
（2）化简：+．
【解答】解：（1）；+

（2）原式＝+
＝
＝
故答案为：（1）；+
8．请观察下列式子，按要求完成下列题目．
；；；．
试求：
（1）的值；
（2）（n为正整数）的值；
（3）根据上面的规律，试化简下列式子．+++…+．
【解答】解：（1）．
（2）＝＝．
（3）+++…+
＝﹣
＝﹣1．
9．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）
＝＝（二）
＝＝＝﹣1（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
＝＝＝＝﹣1（四）
（1）请用不同的方法化简．
参照（三）式得＝　　；
参照（四）式得＝　　．
（2）化简：+++…+．
【解答】解：（1）＝，
＝；

（2）原式＝
+…+
＝++…+
＝．
四．同类二次根式（共3小题）
10．与可以合并的二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A.与不是同类二次根式，不可以合并，故本选项错误；
B.与不是同类二次根式，不可以合并，故本选项错误；
C.＝2，故与是同类二次根式，故本选项正确；
D.＝5，故与不是同类二次根式，故本选项错误．
故选：C．
11．下列根式中，与不是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、，与是同类二次根式；
B、，与是同类二次根式；
C、，与是同类二次根式；
D、与不是同类二次根式，
故选：D．
12．若最简二次根式与是同类二次根式，则m＝　6　．
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴m2﹣3＝5m+3，解得m＝6或m＝﹣1，
当m＝﹣1时，＝无意义，故m＝6．
五．二次根式的加减法（共1小题）
13．计算：（1） （2）．
【解答】（1）解：原式＝3+﹣4，
＝3×3+﹣4×，
9+﹣，
＝；

（2）解：原式＝﹣a2+3a﹣，
＝×3a﹣a2×+3a×﹣×6a，
＝a﹣a+a﹣8a，
＝．
六．二次根式的混合运算（共2小题）
14．计算：
（1）﹣×
（2）（﹣2+）（﹣2﹣）﹣（）2．
【解答】解：（1）﹣×，
＝﹣1﹣，
＝5﹣1﹣2，
＝2；
（2）（﹣2+）（﹣2﹣）﹣（）2．
＝4﹣6﹣（3﹣2+），
＝﹣2﹣1﹣，
＝﹣．
15．阅读下面材料，回答问题：
（1）在化简的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下：＝＝＝﹣
小李的化简如下：＝＝＝﹣
请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
（2）请你利用上面所学的方法化简 ．
【解答】解：（1）小李化简正确，小张的化简结果错误．
因为＝|﹣|＝﹣；
（2）原式＝＝＝﹣1．
七．二次根式的化简求值（共2小题）
16．已如x＝，y＝，求下列各式的值
（1）+
（2）x4+y4
【解答】解：∵，，
∴x+y＝4，xy＝1，
∴（1）；
（2）（x2+y2）2﹣2x2y2，
＝[（x+y）2﹣2xy]2﹣2，
＝（16﹣2）2﹣2，
＝196﹣2，
＝194．
17．（1）已知x＝﹣3，求代数式x2+6x+2018的值
（2）已知x＝1﹣，y＝1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值；
（3）已知x＝，y＝，求代数式+的值．
【解答】解：（1）当x＝﹣3时，
原式＝（x+3）2+2009
＝（﹣3+3）2+2009
＝10+2009
＝2019；

（2）当x＝1﹣，y＝1+时，
原式＝（x﹣y）2+xy﹣2（x﹣y）
＝（x﹣y）（x﹣y﹣2）+xy
＝（1﹣﹣1﹣）（1﹣﹣1﹣﹣2）+（1﹣）（1+）
＝﹣2×（﹣2﹣2）+1﹣2
＝8+4﹣1
＝7+4；

（3）∵x＝＝＝2﹣、y＝＝＝2+，
∴原式＝+
＝+
＝1．
八．二次根式的应用（共1小题）
18．在一个边长为（2+3）cm的正方形的内部挖去一个长为（2+）cm，宽为（﹣）cm的矩形，求剩余部分图形的面积．
【解答】解：剩余部分的面积为：（2+3）2﹣（2+）（﹣）＝（12+12+45）﹣（6﹣2+2﹣5）＝（57+12﹣）（cm2）．

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