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人教版九年级下学期28.2 解直角三角形及其应用同步练习卷
一．选择题（共12小题）
1．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（　　）

A．75m B．50m C．30m D．12m
2．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（　　）

A．3sinα米 B．3cosα米 C．米 D．米
3．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（　　）（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）

A．225m B．275m C．300m D．315m
4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（　　）

A． B． C． D．
5．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（　　）

A．11米 B．（36﹣15）米 C．15米 D．（36﹣10）米
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（　　）

A．10 B．8 C．4 D．2
7．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（　　）

A． B． C． D．
8．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（　　）

A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米
9．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（　　）

A．30nmile B．60nmile
C．120nmile D．（30+30）nmile
10．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（　　）

A．米 B．米 C．米 D．米
11．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，则sinB的值为（　　）

A． B． C． D．
12．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（　　）
（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）

A．65.8米 B．71.8米 C．73.8米 D．119.8米
二．填空题（共7小题）
13．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为　 　米．（结果保留根号）

14．如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB＝80米，则河两岸之间的距离约为　 　米．（≈1.73，结果精确到0.1米）

15．某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车　 　（填“超速”或“没有超速”）（参考数据：≈1.732）

16．如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为　 　m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．

17．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为　 　m．
（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）

18．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是　 　米（结果保留根号）．

19．如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为　 　米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）

三．解答题（共3小题）
20．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）

21．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）
（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）

22．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）




参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（　　）

A．75m B．50m C．30m D．12m
【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，
∴tan∠BAC＝，
解得，AC＝75，
故选：A．
2．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（　　）

A．3sinα米 B．3cosα米 C．米 D．米
【解答】解：由题意可得：sinα＝＝，
故BC＝3sinα（m）．
故选：A．
3．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（　　）（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）

A．225m B．275m C．300m D．315m
【解答】解：如图，作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．

在Rt△ECB中，tan53°＝，即＝，
在Rt△AEC中，tan37°＝，即＝，
解得x＝180，y＝135，
∴AC＝＝＝300（m），
故选：C．
4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝90°，∠BAC+∠EAD＝90°，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADB+∠EAD＝90°，
∴∠BAC＝∠ADB，
∴△ABC∽△DAB，
∴＝，
∵BC＝AD，
∴AD＝2BC，
∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2，
∴AB＝BC，
在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝＝；
故选：C．
5．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（　　）

A．11米 B．（36﹣15）米 C．15米 D．（36﹣10）米
【解答】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，
在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，
∴BE＝30×tan30°＝10（米），
∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）．
∴甲楼高为（36﹣10）米．
故选：D．

6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（　　）

A．10 B．8 C．4 D．2
【解答】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，
设CD＝5x，BD＝7x，
∴BC＝2x，
∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，
∴AD＝BD＝7x，
∴AC＝12x，
∵AC＝12，
∴x＝1，
∴BC＝2；
故选：D．
7．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝5．
∴sin∠BAC＝＝．
故选：D．

8．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（　　）

A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米
【解答】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，
设DF＝x，
∵tan65°＝，
∴OF＝xtan65°，
∴BF＝3+x，
∵tan35°＝，
∴OF＝（3+x）tan35°，
∴2.1x＝0.7（3+x），
∴x＝1.5，
∴OF＝1.5×2.1＝3.15，
∴OE＝3.15+1.5＝4.65，
故选：C．

9．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（　　）

A．30nmile B．60nmile
C．120nmile D．（30+30）nmile
【解答】解：过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．
在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，
∴CD＝AC?cos∠ACD＝60×＝30．
在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD＝30，
∴AB＝AD+BD＝30+30．
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．
故选：D．

10．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（　　）

A．米 B．米 C．米 D．米
【解答】解：作AD⊥BC于点D，
则BD＝0.3＝，
∵cosα＝，
∴cosα＝，
解得，AB＝米，
故选：B．

11．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，则sinB的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．
在Rt△ACD中，CD＝CA?cosC＝1，
∴AD＝＝；
在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝，
∴AB＝＝2，
∴sinB＝＝．
故选：D．

12．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（　　）
（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）

A．65.8米 B．71.8米 C．73.8米 D．119.8米
【解答】解：过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，
∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝52米，
∴设DG＝x，则CG＝2.4x．
在Rt△CDG中，
∵DG2+CG2＝DC2，即x2+（2.4x）2＝522，解得x＝20，
∴DG＝20米，CG＝48米，
∴EG＝20+0.8＝20.8米，BG＝52+48＝100米．
∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，
∴四边形EGBM是矩形，
∴EM＝BG＝100米，BM＝EG＝20.8米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝27°，
∴AM＝EM?tan27°≈100×0.51＝51米，
∴AB＝AM+BM＝51+20.8＝71.8米．
故选：B．

二．填空题（共7小题）
13．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为　4﹣4　米．（结果保留根号）

【解答】解：在Rt△CMB中，∵∠CMB＝90°，MB＝AM+AB＝12米，∠MBC＝30°，
∴CM＝MB?tan30°＝12×＝4，
在Rt△ADM中，∵∠AMD＝90°，∠MAD＝45°，
∴∠MAD＝∠MDA＝45°，
∴MD＝AM＝4米，
∴CD＝CM﹣DM＝（4﹣4）米，
故答案为：4﹣4．

14．如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB＝80米，则河两岸之间的距离约为　54.6　米．（≈1.73，结果精确到0.1米）

【解答】解：过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥PA于点D，
∵∠PBC＝75°，∠PAB＝30°，
∴∠DPB＝45°，
∵AB＝80，
∴BD＝40，AD＝40，
∴PD＝DB＝40，
∴AP＝AD+PD＝40+40，
∵a∥b，
∴∠EPA＝∠PAB＝30°，
∴AE＝AP＝20+20≈54.6，
故答案为：54.6

15．某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车　没有超速　（填“超速”或“没有超速”）（参考数据：≈1.732）

【解答】解：作AD⊥直线l于D，
在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，
∴BD＝AD＝100，
在Rt△ADB中，tan∠ACD＝，
则CD＝＝100≈173.2，
∴BC＝173.2﹣100＝73.2（米），
小汽车的速度为：0.0732÷＝52.704（千米/小时），
∵52.704千米/小时＜速60千米/小时，
∴小汽车没有超速，
故答案为：没有超速．

16．如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为　3　m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．

【解答】解：在Rt△BCD中，tan∠BDC＝，
则BC＝CD?tan∠BDC＝10，
在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，
则AC＝CD?tan∠ADC≈10×1.33＝13.3，
∴AB＝AC﹣BC＝3.3≈3（m），
故答案为：3．
17．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为　262　m．
（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）

【解答】解：作AE⊥BC于E，
则四边形ADCE为矩形，
∴EC＝AD＝62，
在Rt△AEC中，tan∠EAC＝，
则AE＝≈＝200，
在Rt△AEB中，∠BAE＝45°，
∴BE＝AE＝200，
∴BC＝200+62＝262（m），
则该建筑的高度BC为262m，
故答案为：262．

18．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是　（15+15）　米（结果保留根号）．

【解答】解：过点B作BE⊥AB于点E，

在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．
故教学楼AC的高度是AC＝15米．
答：教学楼AC的高度是（15）米．
19．如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为　566　米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）

【解答】解：如图，设线段AB交y轴于C，
在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则AC＝OC．
∵OA＝400米，
∴OC＝OA?cos45°＝400×＝200（米）．
∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200米，
∴OB＝＝＝400≈566（米）
故答案是：566．

三．解答题（共3小题）
20．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）

【解答】解：作DC⊥EP交EP的延长线于C，作DF⊥ME于F，作PH⊥DF于H，
则DC＝PH＝FE，DH＝CP，HF＝PE，
设DC＝3x，
∵tanθ＝，
∴CP＝4x，
由勾股定理得，PD2＝DC2+CP2，即252＝（3x）2+（4x）2，
解得，x＝5，
则DC＝3x＝15，CP＝4x＝20，
∴DH＝CP＝20，PH＝FE＝DC＝15，
设MF＝ym，
则ME＝（y+15）m，
在Rt△MDF中，tan∠MDF＝，
则DF＝＝y，
在Rt△MPE中，tan∠MPE＝，
则PE＝＝（y+15），
∵DH＝DF﹣HF，
∴y﹣（y+15）＝20，
解得，y＝7.5+10，
∴ME＝MF+FE＝7.5+10+15≈39.8，
答：古塔的高度ME约为39.8m．

21．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）
（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）

【解答】解：能，
理由如下：延长EF交CH于N，
则∠CNF＝90°，
∵∠CFN＝45°，
∴CN＝NF，
设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+3）m，
∴EN＝5+（x+3）＝x+8，
在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，
则DN＝EN?tan∠DEN，
∴x≈0.6（x+8），
解得，x＝12，
则DH＝DN+NH＝12+1.2＝13.2（m），
答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．

22．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）

【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，
∵CD＝2，tan∠CMD＝，
∴MD＝6，
设BM＝x，
∴BD＝x+6，
∵∠AMB＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∴AB＝x，
已知四边形CDBE是矩形，
∴BE＝CD＝2，CE＝BD＝x+6，
∴AE＝x﹣2，
在Rt△ACE中，
∵tan30°＝，
∴＝，
解得：x＝3+，
∴AB＝x＝3+3≈8.2m

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