第二章 一元二次方程单元能力测试题(含解析)

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第二章 一元二次方程单元能力测试题(含解析)

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第二章 综合能力测试卷
(时间120分钟 满分120分)
一.选择题(每小题3分,共36分)
1.(2020?顺城区一模)下列方程是一元二次方程的是(  )
A.(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣1 B.x2﹣2x=2x2﹣1
C.ax2+bx+c=0 D.x+=2
2.(2020?武汉模拟)方程4x2=81﹣9x化成一般形式后,二次项的系数为4,它的一次项是(  )
A.9 B.﹣9x C.9x D.﹣9
3.(2020?颍州区一模)若m是一元二次方程x2﹣4x﹣1=0的根,则代数式4m﹣m2的值为(  )
A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣22
4.(2019秋?乐至县期末)已知x=1是一元二次方程mx2﹣2=0的一个解,则m的值是(  )
A. B.2 C. D.1或2
5.(2019?金华)用配方法解方程x2﹣6x﹣8=0时,配方结果正确的是(  )
A.(x﹣3)2=17 B.(x﹣3)2=14 C.(x﹣6)2=44 D.(x﹣3)2=1
6.(2019?海宁市二模)设x1为一元二次方程x2﹣2x=较小的根,则(  )
A.0<x1<1 B.﹣1<x1<0 C.﹣2<x1<﹣1 D.﹣5<x1<﹣4
7.(2019?红桥区二模)方程x2+3x﹣18=0的两个根为(  )
A.x1=﹣6,x2=3 B.x1=﹣3,x2=6 C.x1=﹣2,x2=9 D.x1=﹣9,x2=2
8.(2019?营口)若关于x的方程kx2﹣x﹣=0有实数根,则实数k的取值范围是(  )
A.k=0 B.k≥﹣且k≠0 C.k≥﹣ D.k>﹣
9.(2019秋?恩平市期末)一同学将方程x2﹣4x﹣3=0化成了(x+m)2=n的形式,则m、n的值应为(  )
A.m=﹣2,n=7 B.m=2.n=7 C.m=﹣2,n=1 D.m=2.n=﹣7
10.(2019?哈尔滨)某商品经过连续两次降价,售价由原来的每件25元降到每件16元,则平均每次降价的百分率为(  )
A.20% B.40% C.18% D.36%
11.(2018?海曙区模拟)近年来某市不断加大对城市绿化的经济收入,使全市绿地面积不断增加,从2015年底到2017年底的城市绿化面积变化如图所示,则这两年绿地面积的年平均增长率是(  )
A.10% B.15% C.20% D.25%
12.(2019?遵义)一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个根为x1,x2,则x12+3x2+x1x2﹣2的值是(  )
A.10 B.9 C.8 D.7
二.填空题(每小题3分,共18分)
13.(2020?顺城区一模)已知m是方程x2﹣x﹣3=0的一个根,则m2﹣m+9的值等于   .
14.(2019?禹州市一模)关于x的一元二次方程(x+1)(x﹣2)=1的两根为   .
15.(2020?望花区二模)如果关于x的一元二次方程ax2+x+1=0没有实数根,则a的取值范围是   .
16.(2019?新都区模拟)已知x1、x2是方程x2﹣=0的两根,若实数a满足a﹣x1+x1x2﹣x2=2017,则a=   .
17.(2018?武昌区模拟)ABCD为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到达B为止,点Q以2cm/s的速度向D移动,P、Q两点从出发开始到   秒时,点P和点Q的距离是10cm.
18.(2019?宿迁模拟)设α,β是方程x2﹣x﹣2019=0的两个实数根,则α2+β的值为   .
三.解答题(共66分)
19.(8分)(2019秋?丹阳市期末)用适当的方法解一元二次方程:
(1)x2+4x﹣12=0
(2)2x2﹣4x+1=0
20.(8分)(2020?颍州区一模)关于x的一元二次方程x2﹣(2m+1)x+m=0.
(1)证明该方程有实数根;
(2)当m=4时,该方程的两个根是等腰三角形ABC的两边长,求该三角形的面积.
21.(10分)(2020?涪城区模拟)已知关于x的方程3x2﹣mx+2=0
(1)若方程有两相等实数根,求m的取值;
(2)若方程其中一根为,求其另一根及m的值.
22.(10分)(2020?新都区模拟)某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销,经过调查,得到如下数据:
销售单价x(元∕件)

30
40
50
60

每天销售量y(件)

500
400
300
200

(1)研究发现,每天销售量y与单价x满足一次函数关系,求出y与x的关系式;
(2)当地物价部门规定,该工艺品销售单价最高不能超过45元/件,那么销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元?
23.(10分)(2019?随州)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1+x2=3,求k的值及方程的根.
24.(10分)(2019?贵港)为了满足师生的阅读需求,某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.
(1)求这两年藏书的年均增长率;
(2)经统计知:中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%,在这两年新增加的图书中,中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率,那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几?
25.(10分)(2019?广州)随着粤港澳大湾区建设的加速推进,广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业,据统计,目前广东5G基站的数量约1.5万座,计划到2020年底,全省5G基站数是目前的4倍,到2022年底,全省5G基站数量将达到17.34万座.
(1)计划到2020年底,全省5G基站的数量是多少万座?
(2)按照计划,求2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率.

第二章 综合能力测试卷
参考答案与试题解析
一.选择题
1.(2020?顺城区一模)下列方程是一元二次方程的是(  )
A.(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣1 B.x2﹣2x=2x2﹣1
C.ax2+bx+c=0 D.x+=2
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可.
【解答】解:A、方程整理得:x2﹣4x+3=x2﹣1,即4x﹣4=0,不符合题意;
B、方程整理得:x2+2x﹣1=0,符合题意;
C、当a=0时,方程为bx+c=0,不符合题意;
D、方程不是整式方程,不符合题意,
故选:B.
2.(2020?武汉模拟)方程4x2=81﹣9x化成一般形式后,二次项的系数为4,它的一次项是(  )
A.9 B.﹣9x C.9x D.﹣9
【分析】方程整理为一般形式,找出一次项系数即可.
【解答】解:方程整理得:4x2+9x﹣81=0,
则一次项是9x,
故选:C.
3.(2020?颍州区一模)若m是一元二次方程x2﹣4x﹣1=0的根,则代数式4m﹣m2的值为(  )
A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣22
【分析】将x=m代入原式可得:m2﹣4m=1,从而可求出答案.
【解答】解:将x=m代入原式可得:m2﹣4m=1,
∴原式=4m﹣m2
=﹣1,
故选:B.
4.(2019秋?乐至县期末)已知x=1是一元二次方程mx2﹣2=0的一个解,则m的值是(  )
A. B.2 C. D.1或2
【分析】将x=1代入方程即可求出答案.
【解答】解:将x=1代入方程可知:m﹣2=0,
∴m=2,
故选:B.
5.(2019?金华)用配方法解方程x2﹣6x﹣8=0时,配方结果正确的是(  )
A.(x﹣3)2=17 B.(x﹣3)2=14 C.(x﹣6)2=44 D.(x﹣3)2=1
【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果.
【解答】解:用配方法解方程x2﹣6x﹣8=0时,配方结果为(x﹣3)2=17,
故选:A.
6.(2019?海宁市二模)设x1为一元二次方程x2﹣2x=较小的根,则(  )
A.0<x1<1 B.﹣1<x1<0 C.﹣2<x1<﹣1 D.﹣5<x1<﹣4
【分析】求出方程的解,求出方程的最小值,即可求出答案.
【解答】解:x2﹣2x=,
8x2﹣16x﹣5=0,
x==,
∵x1为一元二次方程x2﹣2x=较小的根,
∴x1==1﹣,
∵5<<6,
∴﹣1<x1<0.
故选:B.
7.(2019?红桥区二模)方程x2+3x﹣18=0的两个根为(  )
A.x1=﹣6,x2=3 B.x1=﹣3,x2=6 C.x1=﹣2,x2=9 D.x1=﹣9,x2=2
【分析】方程利用因式分解法求出解即可.
【解答】解:方程分解得:(x﹣3)(x+6)=0,
可得x﹣3=0或x+6=0,
解得:x1=﹣6,x2=3,
故选:A.
8.(2019?营口)若关于x的方程kx2﹣x﹣=0有实数根,则实数k的取值范围是(  )
A.k=0 B.k≥﹣且k≠0 C.k≥﹣ D.k>﹣
【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案.
【解答】解:当k≠0时,△=1+4k×=1+3k≥0,
∴k≥,
∴k≥且k≠0,
当k=0时,
此时方程为﹣x=0,满足题意,
故选:C.
9.(2019秋?恩平市期末)一同学将方程x2﹣4x﹣3=0化成了(x+m)2=n的形式,则m、n的值应为(  )
A.m=﹣2,n=7 B.m=2.n=7 C.m=﹣2,n=1 D.m=2.n=﹣7
【分析】先把(x+m)2=n展开,化为一元二次方程的一般形式,再分别使其与方程x2﹣4x﹣3=0的一次项系数、二次项系数及常数项分别相等即可.
【解答】解:∵(x+m)2=n可化为:x2+2mx+m2﹣n=0,
∴,解得:.
故选:A.
10.(2019?哈尔滨)某商品经过连续两次降价,售价由原来的每件25元降到每件16元,则平均每次降价的百分率为(  )
A.20% B.40% C.18% D.36%
【分析】设降价得百分率为x,根据降低率的公式a(1﹣x)2=b建立方程,求解即可.
【解答】解:设降价的百分率为x
根据题意可列方程为25(1﹣x)2=16
解方程得,(舍)
∴每次降价得百分率为20%
故选:A.
11.(2018?海曙区模拟)近年来某市不断加大对城市绿化的经济收入,使全市绿地面积不断增加,从2015年底到2017年底的城市绿化面积变化如图所示,则这两年绿地面积的年平均增长率是(  )
A.10% B.15% C.20% D.25%
【分析】设这两年绿地面积的年平均增长率是x,根据2015年底、2017年底的城市绿化面积,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
【解答】解:设这两年绿地面积的年平均增长率是x,
根据题意得:300(1+x)2=363,
解得:x1=0.1=10%,x2=﹣2.1(不合题意,舍去).
答:这两年绿地面积的年平均增长率是10%.
故选:A.
12.(2019?遵义)一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个根为x1,x2,则x12+3x2+x1x2﹣2的值是(  )
A.10 B.9 C.8 D.7
【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到x12=3x1﹣1,则x12+3x2+x1x2﹣2=3(x1+x2)+x1x2﹣3,接着利用根与系数的关系得到x1+x2=3,x1x2=1,然后利用整体代入的方法计算.
【解答】解:∵x1为一元二次方程x2﹣3x+1=0的根,
∴x12﹣3x1+1=0,
∴x12=3x1﹣1,
∴x12+3x2+x1x2﹣2=3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2=3(x1+x2)+x1x2﹣3,
根据题意得x1+x2=3,x1x2=1,
∴x12+3x2+x1x2﹣2=3×3+1﹣3=7.
故选:D.
二.填空题
13.(2020?顺城区一模)已知m是方程x2﹣x﹣3=0的一个根,则m2﹣m+9的值等于 12 .
【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m2﹣m=3,然后利用整体代入的方法计算m2﹣m+9的值.
【解答】解:把x=m代入方程x2﹣x﹣3=0得m2﹣m﹣3=0,
所以m2﹣m=3,
所以m2﹣m+9=3+9=12.
故答案为:12.
14.(2019?禹州市一模)关于x的一元二次方程(x+1)(x﹣2)=1的两根为 x1=,x2= .
【分析】整理成一般式后利用公式法求解可得.
【解答】解:原方程整理可得:x2﹣x﹣3=0,
∵a=1,b=﹣1,c=﹣3,△=1+12=13,
∴x=
∴x1=,x2=,
故答案为:x1=,x2=.
15.(2020?望花区二模)如果关于x的一元二次方程ax2+x+1=0没有实数根,则a的取值范围是 a> .
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且△=12﹣4a<0,然后求出两不等式的公共部分即可.
【解答】解:根据题意得a≠0且△=12﹣4a<0,
解得a>.
故答案为:a>.
16.(2019?新都区模拟)已知x1、x2是方程x2﹣=0的两根,若实数a满足a﹣x1+x1x2﹣x2=2017,则a= 2019 .
【分析】先利用根与系数的关系得到x1+x2=,x1x2=,再利用整体代入的方法得a﹣+=2017,然后解关于a的方程即可.
【解答】解:根据题意得x1+x2=,x1x2=,
∵a﹣x1+x1x2﹣x2=2017,
∴a﹣(x1+x2)+x1x2=2017
∴a﹣+=2017,
∴a=2019.
故答案为:2019.
17.(2018?武昌区模拟)ABCD为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到达B为止,点Q以2cm/s的速度向D移动,P、Q两点从出发开始到  秒时,点P和点Q的距离是10cm.
【分析】设P、Q两点运动的时间为t秒,作PH⊥CD于H,利用勾股定理构建方程解决问题即可.
【解答】解:设P、Q两点运动的时间为t秒,作PH⊥CD于H,
则PB=(16﹣3t)cm,QH=|16﹣5t|cm,PH=6cm,
由PH2+HQ2=PQ2,得62+(16﹣5t)2=102,解得t=
故答案为:
18.(2019?宿迁模拟)设α,β是方程x2﹣x﹣2019=0的两个实数根,则α2+β的值为 2020 .
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案.
【解答】解:由题意可知:α+β=1,
且α2=α+2019,
∴α2+β=α+β+2019
=1+2019
=2020,
故答案为:2020.
三.解答题
19.(2019秋?丹阳市期末)用适当的方法解一元二次方程:
(1)x2+4x﹣12=0
(2)2x2﹣4x+1=0
【分析】(1)利用因式分解法求解可得;
(2)利用公式法求解可得.
【解答】解:(1)∵x2+4x﹣12=0,
∴(x+6)(x﹣2)=0,
则x+6=0或x﹣2=0,
解得x=﹣6或x=2;
(2)∵a=2,b=﹣4,c=1,
∴△=(﹣4)2﹣4×2×1=8>0,
则x==2±.
20.(2020?颍州区一模)关于x的一元二次方程x2﹣(2m+1)x+m=0.
(1)证明该方程有实数根;
(2)当m=4时,该方程的两个根是等腰三角形ABC的两边长,求该三角形的面积.
【分析】(1)先根据题意求出△的值,再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案;
(2)根据=4时,该方程的两个根是等腰三角形ABC的两边长,求得方程的两根,进一步确定该等腰三角形的腰为7,底边为2,根据勾股定理得到底边上的高,再根据三角形面积公式即可求解.
【解答】解:(1)证明:∵=4m2+4m+1﹣3m2﹣2m=m2+2m+1=(m+1)2≥0,
∴该方程有实数根.
(2)当m=4时,该方程化简,得:x2﹣9x+14=0,
解得:x1=2,x2=7.
∵2+2<7,7+7>2,
∴该等腰三角形的腰为7,底边为2.
∴底边上的高线为:.
∴该三角形的面积为:.
21.(2020?涪城区模拟)已知关于x的方程3x2﹣mx+2=0
(1)若方程有两相等实数根,求m的取值;
(2)若方程其中一根为,求其另一根及m的值.
【分析】(1)由方程有两相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的方程,解之即可得出实数m的取值;
(2)设方程的另一根为x2,由根与系数的关系即可得出关于m、x2的二元一次方程组,解之即可得出结论.
【解答】解:(1)依题意得:△=b2﹣4ac=(﹣m)2﹣4×3×2=m2﹣24=0,
解得:m=±2.
故m的取值为±2.
(2)设方程的另一根为x2,
由根与系数的关系得:,
解得:.
故另一根为1,m的值为5.
22.(2020?新都区模拟)某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销,经过调查,得到如下数据:
销售单价x(元∕件)

30
40
50
60

每天销售量y(件)

500
400
300
200

(1)研究发现,每天销售量y与单价x满足一次函数关系,求出y与x的关系式;
(2)当地物价部门规定,该工艺品销售单价最高不能超过45元/件,那么销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元?
【分析】(1)利用待定系数法求解可得;
(2)根据“总利润=单件利润×销售量”可得关于x的一元二次方程,解之即可得.
【解答】解:(1)设y=kx+b,
根据题意可得,
解得:,
则y=﹣10x+800;
(2)根据题意,得:(x﹣20)(﹣10x+800)=8000,
整理,得:x2﹣100x+2400=0,
解得:x1=40,x2=60,
∵销售单价最高不能超过45元/件,
∴x=40,
答:销售单价定为40元/件时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元.
23.(2019?随州)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1+x2=3,求k的值及方程的根.
【分析】(1)由于关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根,可知△>0,据此进行计算即可;
(2)利用根与系数的关系得出x1+x2=2k+1,进而得出关于k的方程求出即可.
【解答】解:(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根,
∴△>0,
∴(2k+1)2﹣4(k2+1)>0,
整理得,4k﹣3>0,
解得:k>,
故实数k的取值范围为k>;
(2)∵方程的两个根分别为x1,x2,
∴x1+x2=2k+1=3,
解得:k=1,
∴原方程为x2﹣3x+2=0,
∴x1=1,x2=2.
24.(2019?贵港)为了满足师生的阅读需求,某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.
(1)求这两年藏书的年均增长率;
(2)经统计知:中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%,在这两年新增加的图书中,中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率,那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几?
【分析】(1)根据题意可以列出相应的一元二次方程,从而可以得到这两年藏书的年均增长率;
(2)根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著,从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几.
【解答】解:(1)设这两年藏书的年均增长率是x,
5(1+x)2=7.2,
解得,x1=0.2,x2=﹣2.2(舍去),
答:这两年藏书的年均增长率是20%;
(2)在这两年新增加的图书中,中外古典名著有(7.2﹣5)×20%=0.44(万册),
到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是:×100%=10%,
答:到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%.
25.(2019?广州)随着粤港澳大湾区建设的加速推进,广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业,据统计,目前广东5G基站的数量约1.5万座,计划到2020年底,全省5G基站数是目前的4倍,到2022年底,全省5G基站数量将达到17.34万座.
(1)计划到2020年底,全省5G基站的数量是多少万座?
(2)按照计划,求2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率.
【分析】(1)2020年全省5G基站的数量=目前广东5G基站的数量×4,即可求出结论;
(2)设2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率为x,根据2020年底及2022年底全省5G基站数量,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
【解答】解:(1)1.5×4=6(万座).
答:计划到2020年底,全省5G基站的数量是6万座.
(2)设2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率为x,
依题意,得:6(1+x)2=17.34,
解得:x1=0.7=70%,x2=﹣2.7(舍去).
答:2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率为70%.

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