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北师大七下平行线的判定培优专题（解答题）
1．如图，已知∠l=∠2，∠BAC=20°，∠ACF=80°.
(1)求∠2的度数；
(2)求证：FC∥AD．



2．如图，在△ABC中，CD是高，点E、F、G分别在BC、AB、AC上且EF⊥AB，∠1＝∠2，试判断DG与BC的位置关系，并说明理由．




3．如图，某工程队从点出发，沿北偏西方向铺设管道，由于某些原因，段不适宜铺设，需改变方向，由点沿北偏东的方向继续铺设段，到达点又改变方向，从点继续铺设段，应为多少度，可使所铺管道？试说明理由.此时与有怎样的位置关系？


4．如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，求证:BE∥DF.　　



5．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BC∥EF．完成推理填空：
证明：因为∠1＝∠2(已知)，
所以AC∥　 　，(　 　)
所以∠　 　＝∠5 (　 　)，
又因为∠3＝∠4(已知)，
所以∠5＝∠　 　(等量代换)，
所以BC∥EF (　 　)．

6．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E=∠3．请问：AD平分∠BAC吗？若平分，请说明理由．


7．如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：

①BD∥CE
②DF∥AC．
8．如图，已知四边形ABCD，AB∥CD，点E是BC延长线上一点，连接AC、AE，AE交CD于点F，∠1=∠2，∠3=∠4．
证明：
（1）∠BAE=∠DAC；
（2）∠3=∠BAE；
（3）AD∥BE．


9．如图所示，EF⊥BD，垂足为E，∠1＝50°，∠2＝40°，试判断AB与CD是否平行，并说明理由．



10．将一副三角板按如图方式摆放，两个直角顶点重合，∠A=60°，∠E=∠B=45°．

（1）求证：∠ACE=∠BCD；
（2）猜想∠ACB与∠ECD数量关系并说明理由；
（3）按住三角板ACD不动，绕点C旋转三角板ECB，探究当∠ACB等于多少度时，AD∥CB．请在备用图中画出示意图并简要说明理由．



11．如图，若∠ADE=∠ABC，BE⊥AC于E，MN⊥AC于N，试判断∠1与∠2的关系，并说明理由


12．已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°.求证：AB∥CD.


13．如图，把一张长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝20°，那么∠BAF应为多少度时，才能使AB′∥BD?



14．如图，已知，试问：AB∥CD吗？为什么？

解：∵（ ）
（ ）
∴ （ ）
∵ （ ）
∴
∴ AB∥CD（ ）
15．如图，已知∠ABC=180°-∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．
(1)求证：AD∥BC；
(2)若∠ADB=36°，求∠EFC的度数．



16．如图，AB∥CD，∠B＝70°，∠BCE＝20°，∠CEF＝130°，请判断AB与EF的位置关系，并说明理由．



17．已知：如图，在中，于点，是上一点且．
求证：．



18．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．
（1）如图，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射，若被反射出的光线与光线平行，且，则_________，________．
（2）在（1）中，若，则_______；若，则________；
（3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜、的夹角________时，可以使任何射到平面镜上的光线，经过平面镜、的两次反射后，入射光线与反射光线平行．请说明理由．



19．如图，∠EAC＝90°，∠1＋∠2＝90°，∠1＝∠3，∠2＝∠4.
(1)如图①，求证：DE∥BC；
(2)若将图①改变为图②，其他条件不变，(1)中的结论是否仍成立？请说明理由．
如图，∠EAC＝90°，∠1＋∠2＝90°，∠1＝∠3，∠2＝∠4.
(1)如图①，求证：DE∥BC；
(2)若将图①改变为图②，其他条件不变，(1)中的结论是否仍成立？请说明理由．





20．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起（如图①），其中，，.

（1）猜想与的数量关系，并说明理由；
（2）若，求的度数；
（3）若按住三角板不动，绕顶点转动三角，试探究等于多少度时，并简要说明理由.
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参考答案
1．（1）解：∵∠1=∠2，∠BAC=20°
∴∠1=∠2=（180°－∠BAC）=（180°－20°）=80°；
（2）证明：由（1）得∠2=80° 又∠ACF=80°
∴∠2=∠ACF
∴FC∥AD（内错角相等，两直线平行）．
2解：．
理由如下：是高，，
，
，
，
，
，
．??

3．解：∵分别过，两点的指北方向是平行的，
∴（两直线平行，同位角相等）
∴，
当时，
可得．（同旁内角互补，两直线平行）
∴，
∴．（垂直定义）
4．证明：∵ AB⊥BC ，
∴∠3+∠4=90°.
∵∠2=∠3，∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠4 .
∴ BE∥DF.
5.证明：因为∠1=∠2（已知），
所以AC∥DF（同位角相等，两直线平行）
所以∠3=∠5，（两直线平行，内错角相等）
又因为∠3=∠4（已知）
所以∠5=∠4（等量代换）
所以BC∥EF（内错角相等，两直线平行）

6．证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）
∴∠ADC=∠EGC=90°，（垂直的定义）
∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）
∴∠2=∠3，（两直线平行，内错角相等）
∠E=∠1，（两直线平行，同位角相等）
又∵∠E=∠3（已知）
∴∠1=∠2（等量代换）
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）．
7．证明：∵∠1=∠DMF，∠1=∠2，
∴∠2=∠DMF，
∴BD∥CE，
∴∠C=∠DBA，
∵∠C=∠D，
∴∠D=∠DBA，
∴AC∥DF．
8．证明：（1）∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE，
即∠BAE=∠DAC；
（2）∵AB∥CD，
∴∠4=∠BAE，
∵∠3=∠4，
∴∠3=∠BAE；
（3）∵∠3=∠BAE，∠BAE=∠DAC，
∴∠3=∠DAC，
∴AD∥BE．
9．解：AB与CD平行．
理由：∵EF⊥BD，
∴∠FED＝90°，
∴∠D＝90°－∠1＝40°，
∴∠2＝∠D，
∴AB∥CD.
10．解：（1）∵∠ACD=∠ECB=90°，
∴∠ACD﹣∠ECD=∠ECB﹣∠ECD，
即∠ACE=∠BCD．
（2）猜想：∠ACB+∠ECD=180°．理由如下：
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB
∴∠ACB+∠ECD
=∠ACD+∠DCB+∠ECD
又∵∠DCB+∠ECD=∠ECB，
∴∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠ECB=90°+90°=180°.
（3）当∠ACB=120°或60°时，AD∥CB．理由如下：
①如图1，根据“同旁内角互补，两直线平行”：
当∠A+∠ACB=180°时，AD∥BC，
此时，∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣60°=120°．
②如图2，根据“内错角相等，两直线平行”：
当∠ACB=∠A=60°时，AD∥BC．
综上所述，当∠ACB=120°或60°时，AD∥BC.

11．解：与相等.理由如下：
，
，
，
于E，于N，
，
，
．
12．解：∵GH⊥CD，
∴∠CHG＝90°.
又∵∠2＝30°，
∴∠3＝60°.
∴∠4＝60°.
又∵∠1＝60°，
∴∠1＝∠4.
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行).
13．解：∠BAF应为55度
理由是：∵∠ADB = 20°，四边形ABCD是长方形
∴∠ABD =70°.
∵要 使AB′∥BD，需使∠BAB′= 110°
由折叠可知∠BAF = ∠B′AF
∴∠BAF应为55度
14．解：∵∠1＋∠3＋∠E＝180°（三角形的内角和等于180°）
∠E＝90°（已知）
∴∠1＋∠3＝90°（等式的性质）
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知）
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
15．(1)证明：∵∠ABC=180°-∠A，
∴∠ABC+∠A=180°，
∴AD∥BC；
(2)∵AD∥BC，∠ADB=36°，
∴∠DBC=∠ADB=36°，
∵BD⊥CD，EF⊥CD，
∴BD∥EF，
∴∠DBC=∠EFC=36°
16．解：AB∥EF，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BCD，∵∠B=70°，
∴∠BCD=70°，∵∠BCE=20°，
∴∠ECD=50°，
∵CEF=130°，
∴∠E+∠DCE=180°，
∴EF∥CD，
∴AB∥EF．
17．证明：∵（已知），
∴（垂直定义）．
∵（已知），
∴（同角的余角相等）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
18．解：

(1)
∵入射角与反射角相等，即∠1=∠4，∠5=∠6，
根据邻补角的定义可得
根据m∥n,所以
所以
根据三角形内角和为所以
(2)
由(1)可得∠3的度数都是
(3)
理由：因为∠3=
所以∠4+∠5=
又由题意知∠1=∠4，∠5=∠6，
由同旁内角互补,两直线平行,可知：m∥n.
19．解：(1)∵∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠1＋∠3＋∠2＋∠4＝2(∠1＋∠2)，
∵∠1＋∠2＝90°，∴∠1＋∠3＋∠2＋∠4＝180°；
∵∠D＋∠B＋∠1＋∠3＋∠2＋∠4＝360°，∴∠D＋∠B＝180°，
∴DE∥BC．
(2)成立．
如图2，连接EC；
∵∠1＝∠3，∠2＝∠4，且∠1＋∠2＝90°，∴∠3＋∠4＝∠1＋∠2＝90°；
∵∠EAC＝90°，∴∠AEC＋∠ACE＝180°－90°＝90°，
∴∠AEC＋∠ACE＋∠3＋∠4＝180°，
∴DE∥BC，
即(1)中的结论仍成立．

20．解：（1），理由如下：
，
；
（2）如图①，设，则，
由（1）可得，
，
，
；
（3）分两种情况：
①如图1所示，当时，，
又，
；

②如图2所示，当时，，
又，
.

综上所述，等于或时，.

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