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2020年春季人教版八年级下册第17章《勾股定理》测试卷
满分100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．下列各组数据中，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．5，6，9
2．已知点A的坐标为（2，﹣1），则点A到原点的距离为（　　）
A．3 B． C． D．1
3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝4，则AC的长是（　　）
A．3 B．4 C．3或 D．
4．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　　）
A．AC＝1，BC＝，AB＝2 B．AC：BC：AB＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
5．如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　）

A．2.8 B．2 C．2﹣1 D．2+1
6．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（　　）

A．8m B．10m C．16m D．18m
7．在△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高，DC＝2，则BD等于（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
8．如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应是（　　）

A．13m B．17m C．18m D．25m
9．意大利著名画家达?芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是（　　）

A．S1＝a2+b2+2ab B．S1＝a2+b2+ab
C．S2＝c2 D．S2＝c2+ab
10．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．设直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，且a：b＝4：3，则大正方形面积与小正方形面积之比为（　　）

A．25：9 B．25：1 C．4：3 D．16：9
二．填空题（共6小题，满分18分）
11．在平面直角坐标系中，点P（﹣4，3）到原点O的距离是　 　．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝　 　．
13．如图，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地面8米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动　 　米．

14．如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为　 　．

15．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为　 　．

16．如图所示，一根长为7cm的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为3cm，高为4cm，则吸管露出在杯外面的最短长度为　 　cm．

三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（1）如图1，在如下6×6的正方形网格中（每个小正方形边长均为1），画出一个面积为17的正方形；
（2）在如，2所示的数轴上找到表示的点A（保留画图痕迹）．

18．如图，已知一块四边形的草地ABCD，其中∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，CD＝7m，DA＝24m，求这块草地的面积．



19．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝10，BD＝8，∠ACD＝45°．
（1）求线段AD的长；
（2）求△ABC的周长．


20．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝60°，AD＝4，CD＝10，求BD的长．


21．清明时节，某校八年级近300名师生前往山东曲阜、台儿庄两地，参加为期三天的研学旅行活动．途中在某服务区短暂停歇后，1号大巴车以80km/h的速度离开服务区向西北方向行驶，3号大巴车在同时同地以60km/h的速度向东北方向行驶，问：它们离开服务区0.5h后相距多远？



22．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明a2+b2＝c2；
（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求（a+b）2的值．


23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．



参考答案
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：A、32+42＝52，是勾股数；
B、72+242＝252，是勾股数；
C、82+152＝172，是勾股数；
D、52+62≠92，不是勾股数．
故选：D．
2．【解答】解：点A的坐标为（2，﹣1）到原点O的距离：OA＝＝．
故选：C．
3．【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴AC＝＝．
故选：D．
4．【解答】解：A、∵12+（）2＝4，22＝4，
∴12+（）2＝22，
∴AC＝1，BC＝，AB＝2满足△ABC是直角三角形；
B、∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴AC：BC：AB＝3：4：5满足△ABC是直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝×180°＝90°，
∴∠A：∠B：∠C＝1：2：3满足△ABC是直角三角形；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝×180°＝75°，
∴∠A：∠B：∠C＝3：4：5，△ABC不是直角三角形．
故选：D．
5．【解答】解：由题意可得，
AB＝2，BC＝2，AB⊥BC，
∴AC＝2，
∴AD＝2，
∴点D表示数为：2﹣1，
故选：C．
6．【解答】解：由题意得BC＝8m，AC＝6m，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝10米．
所以大树的高度是10+6＝16米．
故选：C．

7．【解答】解：∵AB＝AC＝10，CD＝2，
∴AD＝10﹣2＝8，
∵BD是AC边上的高，
∴∠BDA＝90°，
由勾股定理得：BD＝＝＝6，
故选：C．
8．【解答】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度＝＝12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5＝17米．
故选：B．
9．【解答】解：观察图象可知：S1＝S2＝a2+b2+ab＝c2+ab，
故选：B．
10．【解答】解：∵a：b＝4：3，
∴大正方形面积与小正方形面积之比为（a2+b2）：（a﹣b）2＝b2：b2＝25：1．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．【解答】解：点P（﹣4，3）到原点的距离为＝5．
故答案为：5．
12．【解答】解：设BC＝3x，AC＝4x，又其斜边AB＝15，
∴9x2+16x2＝152，
解得：x＝3或﹣3（舍去），∴BC＝3x＝9．
故答案为：9．
13．【解答】解：由题意可知梯子的长是不变的，
由云梯长10米，梯子顶端离地面6米，
可由勾股定理求得梯子的底部距墙8米．
当梯子顶端离地面8米时，
梯子的底部距墙为6米，
则梯子的底部在水平面方向要向左滑动8﹣6＝2（米）．
14．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，
根据勾股定理得：AB＝＝10，
则S阴影＝S半圆AC+S半圆BC+S△ABC﹣S半圆AB＝π+π+×6×8﹣π＝24．
故答案为：24
15．【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F＝BF，
设D′F＝x，则AF＝8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，
解之得：x＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，
∴S△AFC＝?AF?BC＝10．
故答案为：10．
16．【解答】解：设在杯里部分长为xcm，
则有：x2＝32+42，
解得：x＝5，
所以露在外面最短的长度为7cm﹣5cm＝2cm，
故吸管露出杯口外的最短长度是2cm，
故答案为：2．
三．解答题（共7小题）
17．【解答】解：（1）如图1，正方形ABCD为所作；
（2）如图2，点A为所作．

18．【解答】解：如图，连接AC，如图所示．
∵∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，
∴AC＝＝＝25m．
∵AC＝25m，CD＝7m，AD＝24m，
∴AD2+DC2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90°，
∴S△ABC＝×AB×BC＝×20×15＝150m2，S△ACD＝×CD×AD＝×7×24＝84m2，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝234m2．

19．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°．
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝10，BD＝8，
∴AD＝＝6．
（2）∵AD⊥BC，∠ACD＝45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
又∵AD＝6，
∴CD＝6，AC＝6，
∴C△ABC＝AB+BD+CD+AC＝24+6．
20．【解答】解：延长AD、BC，两条延长线相交于点E，
∵在Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，
∴∠E＝90°﹣60°＝30°．
∴AB＝BE，
∴在Rt△DCE中，∠E＝30°，CD＝10，
∴DE＝2CD＝20，
∴AE＝AD+DE＝20+4＝24．
∴在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
解得：AB＝8，
∴在Rt△ABD中，BD＝＝4．

21．【解答】解：根据题意得：80×0.5＝40（km），60×0.5＝30（km），
根据勾股定理得：＝50（km），
则0.5h后两辆大巴车相距50km．
22．【解答】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2，
∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2．；
（2）由图可知，（b﹣a）2＝2，4×ab＝10﹣2＝8，
∴2ab＝8，
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝2+2×8＝18．
23．【解答】解：（1）设存在点P，使得PA＝PB，
此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，
在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，
即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，
解得：t＝，
∴当t＝时，PA＝PB；
（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，
此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，
在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，
即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，
解得：t＝，
当t＝6时，点P与A重合，也符合条件，
∴当或6时，P在△ABC的角平分线上；

（3）在Rt△ABC中，∵AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4cm，
根据题意得：AP＝2t，
当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，
∴PC＝BC，即4﹣2t＝3，
∴t＝，
当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，
①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，
如图2，过P作PE⊥BC于E，
∴BE＝BC＝，
∴PB＝AB，即2t﹣3﹣4＝，解得：t＝，
②PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，
解得：t＝5，

③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，
∴BF＝BP，
∵∠ACB＝90°，
由射影定理得；BC2＝BF?AB，
即32＝×5，
解得：t＝，
∴当时，△BCP为等腰三角形．

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