逐差法的原理与应用

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逐差法的原理与应用

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逐差法的原理与应用
【论文摘要】
逐差法作为物理实验中常用的一种数据处理方法,在高中大部分资料里并没有被深入阐释,从而导致
学生理解和应用困难;本文从逐差法的适用条件、操作过程和应用实例、误差分析等多个角度对逐差法进
行了深入细致的分析,有望突破这一难点。
【关键词】
逐差法 等差数列 纸带法 悬挂法 伏安法 实验误差
高中物理中,在用纸带法测量加速度时,很多资料介绍了逐差法,但是从考试和练习情况来看,学生
对逐差法掌握得并不好,究其原因,实际上是大部分学生对逐差法的操作过程不理解不熟悉所致;而很多
资料中,出现了在测量弹簧劲度系数、测量定值电阻、测量磁感应强度等问题中逐差法的应用的题目,更
是对学生提出了深入理解、灵活迁移的要求。因此,从根本上把逐差法的适用条件、操作过程、减小误差
等诸方面搞清楚,是完全必要的。我们通过对比研究已知的逐差法适用题型,并对逐差法进行理论分析,
从而得到了本篇文章研究的结果,现发出来与大家分享,同时欢迎大家的批评指正。
一、逐差法的适用条件——等差数列求公差
从理论上讲,一个物理量(因变量)随另一个物理量(自变量)成线性规律变化时,如果自变量的变
化采用等差递增方式,则理论上讲,因变量也应该是等差递增的,也就是说因变量数列应该是一个等差数
列;但由于实验测量时误差的不可避免,实际测量得到的因变量的数列并不是严格的等差数列,在有的情
况下,为了得到理论上需要的公差,就需要采用一种计算操作,实现多次测量求平均值的目标,从而求得
误差较小的公差值。这时,我们往往采用所谓的“逐差法”。
二、逐差法求公差的操作过程
设一个物理量 b随另一个物理量 a理论上讲成线性规律变化,实验时让 a等差递增,从而得到一个 b
的数列? ?ib ,理论上讲,该数列是公差确定的等差数列,即
dbbbbbbbb ????????? ...45342312
则理论上讲,就应该有 dnmbb nm )( ??? ,比如 dbb 314 ?? 、 dbb 325 ?? 、 dbb 336 ?? 。但实际
上,实验测量不可避免的存在误差,因此实验计算的结果是
114 3dbb ?? 225 3dbb ?? 336 3dbb ??
我们就可以通过将这几个 id 取平均值,从而计算出实验测得的该数列的公差
)(
3
1
321 dddd ???
最后可以得到
33
)()()
333
(
3
1 123456362514
?
?????
?
?
?
?
?
?
?
bbbbbbbbbbbbd
上述求公差的计算方法,就叫做逐差法。
如果数据不是偶数个,则通常采用去掉中间一个值或者最小的值的方式,将数据变成偶数个,然后进
行如上计算操作,进而得出实验公差值,比如实验测量数据有七个数据( 7654321 bbbbbbb 、、、、、、 ),
如果去掉 4b ,则有 115 4dbb ?? 、 226 4dbb ?? 、 337 4dbb ?? ,得
43
)()()
444
(
3
1 123567372615
?
?????
?
?
?
?
?
?
?
bbbbbbbbbbbbd
如果去掉 1b ,则有 125 3dbb ?? 、 236 3dbb ?? 、 347 3dbb ?? ,得
33
)()()
333
(
3
1 234567473625
?
?????
?
?
?
?
?
?
?
bbbbbbbbbbbbd
三、高中物理中逐差法的应用示例
1、纸带法测物体的加速度
【例 1】(2015·全国卷Ⅱ,22)某同学用图(a)所示的实验装置测量物块与斜面之间的动摩擦因数。
已知打点计时器所用电源的频率为 50 Hz,物块下滑过程中所得到的纸带的一部分如图(b)所示,图中标
出了五个连续点之间的距离。
(1)物块下滑时的加速度 a= m/s2,打 C点时物块的速度 v= m/s
[解析]物块沿斜面下滑是匀加速直线运动,理论上讲有 2aTxxxxxxx ABBCBCCDCDDE ???????? ,
因此满足逐差法适用条件,则按逐差法操作程序,有
2
122 Taxxx BCDE ???? ,
2
222 Taxxx ABCD ????
两式联立,得 2
21
22
)()(
2 T
xxxxaaa ABBCCDDE
?
???
?
?
? ,代入 T=0.02 s,解得加速度 a=3.25 m/s2。
打 C点时物块的速度 vC=xBD
2T
=1.79 m/s。
2、悬挂法测弹簧的劲度系数
【例 2】某同学用悬挂法测弹簧的劲度系数。
(1)将弹簧竖直悬挂在铁架台上,将刻度尺竖直固定在弹簧一侧。
(2)弹簧自然悬挂,待弹簧静止时,长度记为 L0;弹簧下端挂上砝码盘时,长度
记为 Lx;在砝码盘中每次增加 10 g 砝码,弹簧长度依次记为 L1至 L6。数据如下表:
代表符号 L0 Lx L1 L2 L3 L4 L5 L6
数值(cm) 25.35 27.35 29.35 31.30 33.40 35.35 37.40 39.30
(3)弹簧的劲度系数为 N/m。(结果保留两位有效数字,重力加速度取 9.8 m/s2)
[解析]只挂砝码盘时,由平衡条件,有 000 ?? gmkx ,即 0)( 00 ??? gmLLk x ;再加砝码个数为 n
时,由平衡条件,有 0)( 0 ??? gmnmgkx ,即 0)()( 00 ???? gmnmgLLk n ,联立得 k
nmgLL xn ?? ,
由此可知,Ln随 n应该是均匀增加,是一个等差数列,满足逐差法适用条件,则按逐差法操作程序,有
136 3 xLL ??? , 225 3 xLL ??? , 314 3 xLL ???
则每增加一个砝码,弹簧长度的平均增加量为
cm2
33
)()(
3
123456321 ?
?
?????
?
?????
??
LLLLLLxxxx
则弹簧的劲度系数为 N/m9.4?
?
?
?
?
?
x
mg
x
Fk 。
3、伏安法测定值电阻
【例 3】 (2016·浙江理综,22)某同学用伏安法测量导体的电阻,现有量程为 3 V、内阻约为 3 kΩ的
电压表和量程为 0.6 A、内阻约为 0.1 Ω的电流表。采用分压电路接线,图 7是实
物的部分连线图,待测电阻为图 8中的 R1,其阻值约为 5 Ω。
(1)测 R1阻值的最优连接方式为导线①连接______(填 a或 b)、导线②连接
________(填 c或 d)。
(2)正确接线测得实验数据如表,用作图法求得 R1的阻值为________Ω。
U/V 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00 2.40
I/A 0.09 0.19 0.27 0.35 0.44 0.53
[解析](1)a d;
(2)原题要求用作图法求 R1的阻值,本题还可以用逐差法求解,从考场操作角度来讲,逐差法其实还
简单一些。
由欧姆定律
1R
UI ? 可知,当电阻 R1两端电压 U按等差数列均匀变化时,通过 R1的电流 I也应是按等
差数列均匀变化的,则按逐差法操作程序,有 136 3 III ??? , 225 3 III ??? , 114 3 III ???
则 R1两端电压 U每增加 0.4V,通过 R1的电流 I的平均增加量为
A08555.0
33
)()(
3
123456321 ?
?
?????
?
?????
??
IIIIIIIIII
则 R1的阻值为 ??
?
?
? 68.41 I
UR 。
4、伏安法测电源内阻
【例 4】(2014·福建理综,19(2))某研究性学习小组利用伏安法测定某一电池组
的电动势和内阻,实验原理如图甲所示,其中,虚线框内为用灵敏电流计 G改装
的电流表 A,V为标准电压表,E为待测电池组,S为开关,R为滑动变阻器,R0
是标称值为 4.0Ω的定值电阻。
③某次试验的数据如下表所示:该小组借鉴“研究匀变速直线运动”试验中计算
加速度的方法(逐差法),计算出电池组的内阻 r= Ω(保留两位小数);为减小偶
然误差,逐差法在数据处理方面体现出的主要优点是 。
测量次数 1 2 3 4 5 6 7 8
电压表 V读数 U/V 5.26 5.16 5.04 4.94 4.83 4.71 4.59 4.46
改装表 A读数 I/mA 20 40 60 80 100 120 140 160
[解析](3)将电源 E和 R0打包作为等效电源( rE ??, ),则有 EE ?? , 0Rrr ??? ,由 rIEU ??? 可
知,当通过等效电源的电流 I按等差数列均匀增加时,等效电源两端的路端电压 U也应该时按等差数列均
匀减小,则由逐差法的操作程序,有
115 4 UUU ??? , 226 4 UUU ??? , 337 4 UUU ??? , 448 4 UUU ???
则通过等效电源的电流 I每增加 20mA时,等效电源两端的路端电压 U也的变化量平均值为
V113.0
44
)()(
4
123456784321 ??
?
???????
?
???????
??
UUUUUUUUUUUUU
则等效电源内阻为 ??
?
?
??? 66.5
I
Ur ,则 ?? 66.1r 。
用逐差法的优点可以减小实验误差。
四、逐差法在减小实验误差中的作用
下面以纸带法测量加速度为例,说明逐差法对减小实验误差的
意义。
如右图所示,为了减小测量误差,测量 AB、BC、CD...各段长
度时,并不是逐段分别测量,而是将刻度尺零刻度线对齐 A点后,
一次性将 AB、AC、AD...读完,也就是图中的 d1、d2、d3...
从逐差法的最终计算式
33
2
33
)(
33
)()()
333
(
3
1 36336123456362514
?
?
?
?
??
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
??
dddddxxxxxxxxxxxxx
可以看出,逐差法利用的实际是前后两大段纸带的长度,设每个 di测量的平均误差为 d? ,则按误差
理论,逐差法得到的 x? 的误差为
39
3 dd ?
?
?

如果采用逐段相减的方法,即
121 xxx ??? , 232 xxx ??? , 343 xxx ??? , 454 xxx ??? , 565 xxx ???
x1 x2 x3 x4 x5 x6
则最终的计算式为
55
)(
5
)(
5
1 15615616
54321
ddddddxxxxxxxx ???????????????????
按误差理论,这种算法得到的 x? 的误差为
5
3 d?
,显然,后一种算法引起的误差要大一些。
所以,逐差法可以起到减小实验误差的作用。
在这里要顺便说一下的是,很多资料在谈及逐差法的优点时,说逐差法能够利用每一组数据,也就是
如下理解:
逐差法
33
)()()
333
(
3
1 123456362514
?
?????
?
?
?
?
?
?
??
xxxxxxxxxxxxx
逐段法
5
)(
5
1 16
54321
xxxxxxxx ?????????????
以为逐差法用到了更多的数据,数据越多,偏大偏小的概率越接近相等,从而相加可以更好的消除误
差。这其实是一种错误的理解,其错在两点:其一,不知道实际测量应该是从起点一次性将各点数据读出,
其二,若真是逐段分别测量,按上述算法,恰恰是逐差法误差更大——逐差法误差为 dd ???
3
2
9
6
,逐段
法误差为 dd ???
3
2
5
2
,2014年福建高考题第 23题第(3)问,当年给的参考答案就犯了这样的错误。

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