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单元测试(五)
范围:四边形　限时:45分钟　满分:100分
一、选择题(每题4分,共28分)
1.已知正多边形的一个外角为36°,则该正多边形的边数为
(　　)
A.12
B.10
C.8
D.6
2.下列命题中,错误的是
(　　)
A.有一个角是直角的菱形是正方形
B.三个角都相等的四边形是矩形
C.矩形的对角线互相平分且相等
D.菱形的对角线互相垂直平分
3.如图D5-1所示,把一矩形纸片沿MN折叠后,点D,C分别落在D',C'的位置,若∠AMD'=36°,则∠NFD'=(　　)
图D5-1
A.144°
B.126°
C.108°
D.72°
4.如图D5-2,E是正方形ABCD对角线AC上一点,EF⊥AB,EG⊥BC,F,G是垂足,若正方形ABCD的周长为a,则EF+EG等于
(　　)
图D5-2
A.a
B.a
C.a
D.2a
5.如图D5-3,在正方形ABCD中,AB=4.若以CD边为底边向其形外作等腰直角三角形DCE,连结BE,则BE的长为
(　　)
图D5-3
A.4
B.2
C.2
D.2
6.如图D5-4,四边形ABCD的对角线相交于点O,且点O是BD的中点,若AB=AD=5,BD=8,∠ABD=∠CDB,则四边形ABCD的面积为
(　　)
图D5-4
A.40
B.24
C.20
D.15
7.如图D5-5,正方形ABCD的边长为2,点E是BC的中点,AE与BD交于点P,F是CD上一点,连结AF分别交BD,DE于点M,N,且AF⊥DE,连结PN,则以下结论中:①S△ABM=4S△FDM;②PN=;③tan∠EAF=;④△PMN∽△DPE.正确的是
(　　)
图D5-5
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
二、填空题(每题4分,共20分)
8.若一个多边形的内角和与外角之和是900°,则该多边形的边数是　　　　.?
9.如图D5-6,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是　　　　.?
图D5-6
10.如图D5-7,AC=8,分别以A,C为圆心,以长度5为半径作弧,两条弧分别相交于点B和D.依次连结A,B,C,D,连结BD交AC于点O.
(1)四边形ABCD为　　　　　　;?
(2)BD的长为　　　　　　.?
图D5-7
11.在数学拓展课上,小明发现:若一条直线经过平行四边形对角线的交点,则这条直线平分该平行四边形的面积.如图D5-8是由5个边长为1的小正方形拼成的图形.P是其中4个小正方形的公共顶点,小强在小明的启发下,将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀,把它剪成了面积相等的两部分,则剪痕的长度是　　　　.?
图D5-8
12.如图D5-9,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转,对应得到菱形AEFG,点E在AC上,EF与CD交于点P,则DP的长是　　　　.?
图D5-9
三、解答题(共52分)
13.(12分)如图D5-10,在6×6的网格中,每个小正方形的边长为1,点A在格点(小正方形的顶点)上.试在各网格中画出顶点在格点上,面积为6,且符合相应条件的图形.
图D5-10
14.(12分)如图D5-11,已知在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,连结DF,EF,BF.
(1)求证:四边形BEFD是平行四边形;
(2)若∠AFB=90°,AB=6,求四边形BEFD的周长.
图D5-11
15.(14分)如图D5-12,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,M,N在对角线AC上,且AM=CN,E,F分别是AD,BC的中点.
(1)求证:△ABM≌△CDN;
(2)点G是对角线AC上的点,∠EGF=90°,求AG的长.
图D5-12
16.(14分)【问题解决】
一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图D5-13①,点P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3,你能求出∠APB的度数吗?
小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:
思路一:将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△P'BA,连结PP',求出∠APB的度数;
思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP'B,连结PP',求出∠APB的度数.
请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.
【类比探究】
如图②,若点P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC=,求∠APB的度数.
图D5-13
【参考答案】
1.B　2.B
3.B　[解析]
由题意可求得∠DMD'=144°,∠NMD'=∠NMD=∠MNF=72°,而∠D'=90°,所以∠NFD'=126°.故选B.
4.A　[解析]
由正方形性质可知∠CAB=45°,
∴EF=AF,EG=FB,∴EF+EG=AB=a.
5.C　[解析]如图,连结BD.
因为四边形ABCD为正方形,
所以∠BDC=45°,AD=AB=4,∠A=90°.
所以BD==4.
因为△DCE是等腰直角三角形,
所以∠CDE=45°,
所以∠BDE=∠BDC+∠CDE=90°,DE=EC=CD=2,
故BE==2.
6.B　[解析]∵∠ABD=∠CDB,∴AB∥CD,
∵O是BD的中点,∴BO=DO.
又∠AOB=∠COD,∴△AOB≌△COD.
∴AB=CD,又AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD.
在Rt△ABO中,BO=BD=4,AO===3.
∵AC=2AO=6,
∴四边形ABCD的面积为AC×BD=×6×8=24.
故选B.
7.A　[解析]本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形、相似三角形和解直角三角形.
∵正方形ABCD的边长为2,点E是BC的中点,
∴AB=BC=CD=AD=2,BE=EC=1.
∵AF⊥DE,∴∠DAF+∠ADN=90°.
∵∠ADN+∠NDF=90°,∴∠DAF=∠NDF.
∵AD=DC,∠ADF=∠C=90°,
∴△ADF≌△DCE,
∴DF=EC=1,
∴AB∶DF=2∶1.
∵AB∥CD,∴△ABM∽△FDM.
∴=2,
∴S△ABM=4S△FDM.结论①正确;
tan∠DAF===.
设DN=x,则AN=2x,x2+(2x)2=22,
解得x=,∴DN=,AN=.
∵DE==,
∴EN=-=.
∴tan∠EAF===.
结论③正确;
过点P作PQ⊥ED,垂足为Q.
∵BE∥AD,
∴==.
∵PQ⊥DE,AF⊥DE,
∴PQ∥AF,
∴===.
∴PQ=AN=×=,NQ=EN=×=,
∴PN===,结论②正确;
由计算可知PN≠DN,∴∠NPD≠∠NDP,
∴△PMN与△DPE不可能相似,故结论④错误.
所以正确的结论是①②③,因此本题选A.
8.5
9.(-5,4)　[解析]由A(3,0),B(-2,0),得AO=3,AB=5.
在菱形ABCD中,CD=AD=AB=5.
在Rt△AOD中,由勾股定理得,OD==4,
所以C(-5,4).
10.(1)菱形　(2)6　[解析](1)由作法得,AB=BC=CD=DA=5,
∴四边形ABCD是菱形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,AC=8,
∴OA=AC=4,BD=2BO.
∵AB=5,
∴在Rt△AOB中,BO==3,
∴BD=6.
11.　[解析]如图,取左下角的小正方形的中心O,作直线OP,得线段AB,则沿折痕AB裁剪,即可将该图形面积两等分.过点A作AC⊥BD于点C,则∠ACB=90°.由中心对称的性质可知,BD=EF=AG,从而BC=1.又AC=3,故在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB==.
12.-1　[解析]连结BD交AC于点O,如图所示:
∵四边形ABCD是菱形,
∴CD=AB=2,∠BCD=∠BAD=60°,∠ACD=∠BAC=∠BAD=30°,OA=OC,AC⊥BD,
∴OB=AB=1,∴OA=OB=,∴AC=2.
由旋转的性质得:AE=AB=2,∠EAG=∠BAD=60°,
∴CE=AC-AE=2-2.
∵四边形AEFG是菱形,∴EF∥AG,
∴∠CEP=∠EAG=60°,
∴∠CEP+∠ACD=90°,∴∠CPE=90°,
∴PE=CE=-1,PC=PE=3-,
∴DP=CD-PC=2-(3-)=-1.
13.解:如图所示.(答案不唯一)
14.解:(1)证明:∵D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,
∴EF∥AB,DF∥BC.
∴四边形BEFD是平行四边形.
(2)∵∠AFB=90°,AB=6,D是AB的中点,
∴DF=DB=AB=3.
∴平行四边形BEFD是菱形.
∴BE=EF=DF=BD=3.
∴四边形BEFD的周长为4DF=12.
15.解:(1)证明:在矩形ABCD中,AB∥CD,
所以∠BAM=∠DCN.
又因为AB=CD,AM=CN,
所以△ABM≌△CDN(SAS).
(2)以EF为直径作圆,交AC于点G1,G2,连结EG1,FG1,EG2,FG2,则∠EG1F=∠EG2F=90°.
因为EF=AB=3,所以G1H=G2H=EF=.
在Rt△ABC中,AC==5,
所以AH=AC=,
所以AG1=-=1,AG2=1+3=4.
故AG的长为1或4.
16.[解析][问题解决]将△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△P'BA,连结PP',得到等腰直角三角形BP'P,从而得到PP'=2,∠BPP'=45°,又AP'=CP=3,AP=1,∴AP2+P'P2=1+8=9=P'A2,∴根据勾股定理的逆定理得∠APP'=90°,从而求出∠APB=45°+90°=135°.
[类比探究]将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△P'BA,连结PP',方法和上述类似,求出∠APB=45°.
解:【问题解决】如图①,将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△P'BA,连结PP'.
①
∵P'B=PB=2,∠P'BP=90°,
∴PP'=2,∠BPP'=45°.
又AP'=CP=3,AP=1,
∴AP2+P'P2=1+8=9=P'A2,
∴∠APP'=90°,∴∠APB=45°+90°=135°.
【类比探究】如图②,将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△P'BA,连结PP'.
②
∵P'B=PB=1,
∠P'BP=90°,
∴PP'=,∠BPP'=45°.
又AP'=CP=,AP=3,
∴AP2+P'P2=9+2=11=P'A2.
∴∠APP'=90°.
∴∠APB=90°-45°=45°.

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