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第十六章
动量守恒定律
16.
1
实验：探究碰撞中的不变量
一、实验探究目的和实验思路
1.实验基本思路
(1)一维碰撞
碰撞的种类很多,两个物体碰撞前沿同一直线运动,碰撞后仍沿这条直线运动,这种碰撞叫做一维碰撞.在一维碰撞的情况下,与物体运动有关的物理量只有物体的质量和速度,因此实验要测量物体的质量和速度。
二、实验探究案例
案例1:利用气垫导轨探究一维碰撞中的不变量
如图:
(1)质量的测量:用天平测量质量
(2)速度的测量:利用公式
x
为滑块上挡光片的宽度,
t
为数字计时器显示的挡光片经过光电门的时间。
(3)利用在滑块上增加重物的方法改变碰撞物体的质量。
(4)实验方法
①用细线将弹簧压缩,放置于两个滑块之间,并使它们静止,然后烧断细线,弹簧弹开后落下,两个滑块随即向相反方向运动。
②在两滑块相碰的端面上装上弹性碰撞架,可以得到能量损失很小的碰撞。
③在两个滑块的碰撞端分别装上撞针和橡皮泥,碰撞时撞针插入橡皮泥中,把两个滑块连成一体运动,这样可以得到能量损失很大的碰撞。注意：为了研究水平方向的一维碰撞,气垫导轨必须调水平。
(5)数据的记录与处理
碰撞前
碰撞后
质量m/kg
速度/(m/s)
/(kg·m/s)
+
+
/(kg·m/s)
2+2
2+
/(m/s/
kg)
+
+
其他可能的猜想
案例2:利用等长悬线悬挂的摆球探究一维碰撞
如图：
(1)质量的测量:用天平测量
(2)速度的测量:可以测量小球被拉起的角度,从而算出碰撞前小球的速度,测量碰撞后小球摆起的角度,算出碰撞后小球的速度。
把两个质量相等的小球都用长度为L的线悬挂起来，测量小球A被拉起的角度,根据机械能守恒定律,可知小球A落下时的速度;测量被撞小球B摆起的角度,则小球B被撞后的速度;同理可以求出碰后小球A的速度。
注意：准确测量两球碰撞前后的摆角大小是实验关键。
(3)实现不同碰撞情境的措施:
用贴胶布的方法增大两球碰撞时的能量损失。
注意：
两小球静止时应在同一水平线上,且刚刚接触,摆线竖直将小球拉起后,两摆线应在同一竖直平面内,以保证碰撞是一维的.两球最好用双线摆。
案例3:利用小车在光滑的木板上碰撞探究一维碰撞
(1)质量的测量:
用天平测量
(2)速度的测量:
,式中△x为纸带上两计数点间的距离,可用刻度尺测量,△t为小车经过△x所用的时间,可由打点间隔算出。
(3)措施:
在两小车的碰撞端分别装上撞针和橡皮泥,碰撞时撞针插入橡皮泥中,把两个小车连接成一体。
三、利用平抛运动探究碰撞中的不变量
1.实验原理:让一个质量为m1(质量较大)的小球从斜槽上滚下来,跟放在斜槽末端的另一质量为m2(质量较小)的小球(两球半径相同)发生碰撞(正碰).小球的质量可以用天平称出。两球碰撞前后的速度可以利用平抛运动的知识求出。设小球下落时间为t,质量为m1的入射小球碰撞前的速度为,碰撞后,入射小球的速度是,被碰小球的速度是.在图中,线段OJ的长度是被碰小球飞出的水平距离;OE的长度是碰撞后入射小球飞出的水平距离;OF的长度则是不发生碰撞时入射小球飞出的水平距离.
OF=,=,=,=,由此可知小球飞出的水平距离可以代替小球飞出时的速度.
平抛测速：测出小球落点的水平距离可根据平抛运动的规律计算出小球的水平初速度。
2.实验步骤
(1)用天平测出两小球的质量,并选定质量大的小球为入射小球.
(2)按照图安装装置,调整固定斜槽,使斜槽底端水平.
(3)白纸在下,复写纸在上,在适当位置铺放好.记下重垂线所指的位置O.
(4)不放被碰小球,让入射小球从斜槽上某固定高度处自由滚下，重复10次.用圆规画尽量小的圆把所有的小球落点圈在里面,圆心P就是小球落点的平均位置。
(5)把被碰小球放在斜槽末端,让入射小球从斜槽同一高度自由滚下,使它们发生碰撞,重复实验10次。用步骤(4)的方法,标出碰后入射小球落点的平均位置M和被碰小球落点的平均位置N。如图：
(6)测量OJ、OE、OF的长度.将测量数据填入表中。
3.注意事项：
(1)入射小球的质量m1大于被碰小球的质量m2(m1>m2)
(2)入射小球的半径等于被碰小球的半径；
(3)入射小球每次必须从斜槽上同一高度处由静止滚下；(4)斜槽末端的切线必须水平；
(5)两球碰撞时,入射球与被碰球的球心连线与入射球的初速度方向一致；
(6)地面必须水平,白纸铺好后,实验过程中不能移动,否则会造成很大的误差。
第十六章
动量守恒定律
16.2
动量和动量定理
一、动量及动量变化
1.动量
(1)定义:物体质量与其速度的乘积叫动量,即
p=m
(2)单位:国际单位制单位是“千克·米/秒”,符号是“kg·m·s-1”
跟速度的方向相同。
(3)动量的三个性质
2.动量与动能的比较
深度理解：由于动量是矢量，动能是标量，所以物体的动量发生了变化,其动能不一定发生变化；物体的动能发生了变化,其动量一定发生变化。
3.动量是矢量,只要m的大小、的大小和
的方向三者中任何一个发生了变化,动量p就发生变化。
(1)动量的变化量公式
△p=
p2-p1=m2-m,
△p
也称为动量的增量。
(2)动量的变化量
△p
也是矢量,其方向与速度的改变量
△
的方向相同。
(3)在同一直线上的动量变化量的计算先选取正方向：
方向与正方向相同的动量为正值,方向与正方向相反的动量为负值。然后代入公式
△p=
p2-p1
计算。
(4)不在同一直线上的动量变化量的计算,若初、末状态不在一条直线上,可按平行四边形定则求得
△p
的大小和方向,此时以△p
、
p1
为邻边,
p2
为平行四边形的对角线.不在同一直线上的动量变化的运算，遵循平行四边形定则或三角形法则
二、冲量
1.冲量
(1)定义:力和力作用时间的乘积,叫做该力的冲量,冲量
I
用表示,表达式为
I
=F().
(2)单位:在国际单位制中,冲量的单位是“牛·秒”,符号为“N
·
S
”
.
2.冲量的特点
3.说明：计算冲量时,一定要明确是计算分力的冲量还是合力的冲量。如果是计算分力的冲量还必须明确是哪个分力的冲量;作用力和反作用力的冲量大小一定相等,因此求一个力的冲量也可以转化为求这个力的反作用力的冲量。在F-t图像中图线与坐标轴所围图形的面积表示力的冲量.
3.冲量与功的比较
深度理解：(1)某个力在一段时间内,做的功可以为零,但冲量一定不为零。
(2)一对作用力和反作用力的冲量大小一定相等,正、负号一定相反;但它们所做的功大小不一定相等,正、负号也不一定相反。
三、动量定理
1.动量定理的推导
如图所示,一质量为m的物体、初速度为,在恒定合力F作用下,经过一段时间t’-t,速度变为
.
则：初动量
p1=m
末动量
p2=m
动量的变化量
△p=
p2
-
p1
=
m
-
m
物体的加速度
a=
，结合牛顿第二定律
F=ma
由以上关系得
F=m
·
=
=
即
F(t’-t)=
p2
-
p1.
在这个表达式中,等号左边表示合力的冲量,等号右边是物体动量的变化量.
2.动量定理内容：物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量。
若合外力为恒力:
则
I
=
F(t’-t)=
p2
-
p1
=
△p
=
m
-
m
3.动量定理的理解
（1）动量定理表达式是一个矢量式,在一维直线情况下应用动量定理时需要规定正方向.
（2）动量定理公式中F
是研究对象所受所有外力的合力,它既可以是恒力,也可以是变力.
（3）动量定理的研究对象是单个物体或可视为单个物体的系统.
4.动量定理表示合冲量与动量的变化量△p(而非动量)间的因果关系,冲量是动量变化的原因,动量发生改变是物体所受外力对时间积累(即有冲量)的结果.两者大小相等、方向相同,物体动量的变化只能发生在物体所受外力的合冲量方向上.
5.动量定理的适用范围
(1)动量定理不仅适用于低速运动的宏观物体,也适用于微观物体和高速运动物体.
(2)动量定理不但适用于恒力也适用于变力.对于变力，动量定理中的F应理解为平均值；
(3)动量定理不仅适用于直线运动，也适用于曲线运动。
6.动量定理与动能定理的比较
特别提醒：动量定理和动能定理都是求解力学问题的重要定理.应用时要特别注意选定研究对象和过程,注重受力和运动情况分析,灵活运用规律求解.特别注意运用动量定理解题需考虑速度的方向,运用动能定理解题则不需考虑速度的方向。
7.应用动量定理解题的一般步骤：
(1)选定研究对象,明确运动过程；
(2)进行受力分析和运动的初、末状态分析；
(3)选定正方向,根据动量定理列方程求解；
(4)对结果做必要的说明。
8.应用动能定理解题的一般步骤：
(1)明确研究对象及所研究的物理过程。
(2)对研究对象受力分析（注意哪些力做功或不做功）。
(3)写出该过程合力做的功或分别写出各个力做的功。
(4)确定始、末态的动能，根据动能定理列出方程。
(5)求解方程、分析结果。
8.动量定理与牛顿第二定律的比较
1.联系
由牛顿第二定律和运动学公式可得到下面关系:
F
=
m
a
=
m
·
=
=
由上面关系式可知:物体所受合外力等于其动量对时间的变化率,这又称为牛顿第二定律的另一种表达形式。
其实当物体所受外力增大时,由牛顿第二定律知,其加速度增大,即速度的变化率增大。由于物体质量不变,速度的变化率增大,亦即动量的变化率增大。
2.区别：牛顿第二定律反映了力与加速度之间的瞬时对应关系;而动量定理则反映了力作用一段时间的过程中,合外力的冲量与物体的动量变化量间的关系。
3.选用：在解决物理问题时,两者的选用应根据物理过程的特点和已知量、未知量来确定。
(1)在合外力为恒力的情况下,可用牛顿第二定律F=ma和运动学公式+at,也可用动量定理F(t'-t)=m
'-m
.
但动量定理较牛顿第二定律有其独特的优点,因为公式F(t‘-t)=m
’-m
中只涉及两个状态量m
‘和m
及一个过程量F
,至于这两个状态间是怎样的过程,轨迹是怎样的,加速度怎样,位移怎样等全不必考虑,所以解题时应优先选用动量定理。
(2)对于多过程问题,动量定理可用于全过程，而牛顿第二定律只能分过程使用.
第十六章
动量守恒定律
16.
3
动量守恒定律
一、系统、内力和外力
一般情况下,物体间的相互作用较为复杂,如果我们将相互作用的两个物体作为一个整体来研究,就必须明确系统、内力和外力等概念。
(1)系统:
相互作用的两个(或多个)物体所组成的整体通常称为系统。
(2)内力:
系统中各物体之间的相互作用力叫做内力。
(3)外力:
系统以外的其他物体对系统的作用力叫外力。
二、动量守恒定律
1.利用牛顿运动定律推导动量守恒定律
如图所示,在水平桌面上沿同一直线向相同方向分别以速度、
(>
)运动的质量为m1、m2的小球A、B发生碰撞,碰撞后的速度分别为、
。
设碰撞时两球受到的作用力恒定,分别为F1、F2,力的作用时间很短,用△t
表示.
由牛顿第二定律知
F=m1a1,F2=m2a2
根据加速度的定义有
由牛顿第三定律知
F1
=
-
F2
由以上几式得
m1
1
+
m2
2
=
m1
+
m2
.
式中m1
1表示碰撞前A球的动量,
m2
2表示碰撞前B球的动量,而m1
为碰撞后A球的动量,
m2
为碰撞后B球的动量.
结论:两球碰撞前的动量之和等于碰撞后的动量之和,即碰撞过程中系统的总动量守恒.
2.动量守恒定律的内容
如果一个系统不受外力,或者所受外力的矢量和为0,这个系统的总动量保持不变,这就是动量守恒定律.
3.动量守恒定律的数学表达式
(1)
即系统相互作用前的总动量
p
和相互作用后的总动量
p’
大小相等、方向相同。系统总动量的求法遵循矢量运算法则。
(2)
△p
-
=0
即系统总动量的增量为零
(3)
△p1=
-
△p2
即将相互作用的系统内的物体分为两部分,其中一部分动量的增加量等于另一部分动量的减少量.
(4)当相互作用前后系统内各物体的动量都在同一直线上时,动量守恒定律可表示为代数式。
4.动量守恒定律成立的条件
(1)理想条件:系统不受外力作用时,系统动量守恒。
(2)理想条件:系统所受外力之和为零时,系统动量守恒。
(3)近似条件:系统所受合外力虽然不为零,但系统的内力远大于外力时,如碰撞、爆炸等现象中,系统的动量可看成近似守恒。
(4)单方向的动量守恒条件:系统受到的外力总的来看不符合以上三条中的任意一条,则系统的总动量不守恒,但是,若系统在某一方向上符合以上三条中的某一条,则系统在该方向上动量守恒。
5.从“五性”理解动量守恒定律
(1)系统性
(2)矢量性
(3)相对性
(4)同时性
(5)普适性
二、动量守恒定律解题步骤
应用动量守恒定律的解题步骤:
2.动量守恒的判断要求
明确系统动量守恒的条件是系统不受外力作用或所受外力之和为零,若系统所受的外力远小于内力,且作用时间很短,即外力的冲量可以忽略,则可以认为系统的总动量守恒.如果相互作用的物体所受外力之和不为零,外力也不远小于内力,系统总动量就不守恒,也不能近似认为守恒;但是,如果在某一方向上合外力为零,或者某一方向上的外力远小于内力,那么在这一方向上系统的动量守恒或近似守恒.另外,还需注意区别动量守恒与机械能守恒,不能混为一谈.
3.明确动量守恒是某一过程都守恒,还是在某个瞬时对应的状态守恒,实际上动量是状态量,对于冲击、爆炸这类问题都有相互作用时间短,且F内≥F外的特点,因而满足动量守恒条件,但之后动量可能就不守恒了.
4.动量守恒定律与牛顿运动定律的比较
5.动量守恒定律与机械能守恒定律的比较
第十六章
动量守恒定律
16.
4
碰撞
一、碰撞
1.碰撞的含义
碰撞是一种物理现象,是指相对运动的物体相遇时产生相互作用,在极短的时间内它们的运动状态发生显著变化的过程。
2.碰撞的特点
(1)碰撞相互作用时间很短,相互作用很大,满足F内≥F外,故碰撞过程动量守恒。
(2)碰撞过程速度可在短暂时间内发生改变,但物体没有位移,即位移为0。
(3)碰撞后系统总动能不会增加。
特别提醒：
爆炸也可以按碰撞现象来处理。
3.分析碰撞问题的“三个原则”
(1)碰撞过程中,碰撞双方构成的系统,总动量应该守恒；
(2)碰撞结束时,碰撞双方构成的系统,总动能不会增加；
(3)碰撞必须符合实际情况。
a.若碰前两物体同向运动，则有v后>v前，否则无法实现碰撞。碰后在前的物体速度一定增大，若碰后两物体仍同向运动，则应有v前′≥
v后′
，否则碰撞没结束。b.若碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零。
二、弹性碰撞和非弹性碰撞
1.弹性碰撞
(1)定义：如果碰撞过程中机械能守恒,这样的碰撞叫做弹性碰撞。
(2)规律：如图所示,设质量分别为m1、m2的两小球,在同一条光滑水平轨道上运动,速度分别为、
,
发生弹性碰撞后两球速度分别为
、
,由动量守恒定律和机械能守恒定律有：
(3)弹性碰撞的常见模型：“一动碰一静”
2.非弹性碰撞
(1)定义:如果碰撞过程中机械能不守恒,这样的碰撞叫做非弹性碰撞。
(2)特点：
①碰撞过程中发生形变后不能完全恢复原状。
②碰撞后,有一定的动能损失。③碰撞前后动量守恒.
(3)公式
动能的减少量
△Ek=
（
+
）-（
2）
3.完全非弹性碰撞
(1)定义:碰撞后两物体合二为一,具有共同的速度,这种碰撞动能损失最大。
注意：完全非弹性碰撞是非弹性碰撞的一种特殊情况。
(2)特点：
①碰撞过程中仅有压缩阶段而没有恢复阶段。
②碰后两物体并不分离,有共同速度。
③由碰撞前后系统的动量守恒可求出两物体共同速度。
④碰撞过程中系统动能损失最大。
(3)公式
动能损失
△Ek=
（
+
）-
2
3.碰撞的分类
三、对心碰撞、非对心碰撞和散射
1.对心碰撞和非对心碰撞
两球碰撞时,碰撞之前球的运动速度与两球心的连线在同一条直线上,碰撞之后两球的速度仍会沿着这条直线,这种碰撞称为正碰,也叫对心碰撞.如图所示：
①发生正碰的两个物体,碰撞前后的速度都沿同一条直线,它们的动量也都沿这条直线,在这个方向上动量守恒。
②在高中阶段一般只研究正碰的情况。
(2)非对心碰撞
一个运动的球与一个静止的球碰撞,如果碰撞之前球的运动速度与两球心的连线不在同一条直线上,碰撞之后两球的速度都会偏离原来两球心的连线.这种碰撞称为非对心碰撞,也叫斜碰.如图所示：
发生非对心碰撞的两个小球,可以将小球速度沿球心连线和垂直球心连线两个方向分解,在这两个方向上应用动量守恒定律列式求解。
2.微观粒子之间的碰撞——散射
在粒子物理和核物理中,常常使一束粒子射入物体,粒子与物体中的粒子碰撞。这些微观粒子相互接近时并不发生直接接触,且发生对心碰撞的概率很小,所以多数粒子在碰撞后飞向四面八方,因而称散射。
第十六章
动量守恒定律
16.
5
反冲运动
火箭
一、反冲运动
1.反冲运动的定义
根据动量守恒定律可知,原来静止的系统在内力的作用下分裂为两个部分,当其中一部分向某个方向运动时,另一部分向相反方向运动，这就叫做反冲运动。
2.反冲运动的原理
反冲运动是系统内力作用的结果。在发生反冲运动的过程中,如果系统所受到的外力远远小于内力,那么反冲运动遵循动量守恒定律。
3.表达式
若发生反冲运动前系统是静止的,则根据动量守恒定律有
：M
此式表明做反冲运动的两部分,它们的动量大小相等,方向相反,而它们的速率则与质量成反比。
4.反冲运动的特点
(1)物体的不同部分在内力作用下向相反方向运动。
(2)在反冲运动中,相互作用力一般较大,通常可以用动量守恒定律来处理。
(3)在反冲运动中,由于有其他形式的能转化为机械能,所以系统的总动能增加。
5.反冲运动的应用与防止
(1)利用有益的反冲运动：反击式水轮机是使水从转轮的叶片中流出,使转轮由于反冲而旋转,从而带动发电机发电;喷气式飞机和火箭都是靠喷出气流的反冲作用而获得巨大的速度。
(2)避免有害的反冲运动：射击时,子弹向前飞去,枪身向后发生反冲,这就会影响射击准确性等。
二、反冲现象的应用—火箭
定义：现代火箭是指一种靠喷射高温高压燃气获得反作用力向前推进的飞行器,是反冲运动的典型应用之一。
三、“人船模型”问题
1.“人船模型”问题的特征
两个原来静止的物体发生相互作用时,若所受外力的矢量和为零,则动量守恒.在相互作用的过程中,任一时刻两物体的速度大小之比等于质量的反比。这样的问题归为“人船模型”问题。
2.处理“人船模型”问题的关键
(1)利用动量守恒,确定两物体的速度关系,再确定两物体通过的位移的关系。由于动量守恒,所以任一时刻人和船组成的系统的总动量为零,动量守恒式可写成的形式(、
为两物体的瞬时速率),表明任意时刻的瞬时速率都与物体的质量成反比,所以全过程的平均速率也与质量成反比,进而可得两物体的位移大小与各物体的质量成反比即
。
(2)解题时要画出各物体的位移关系草图,找出各长度间的关系。
特别提醒：
①“人船模型”是运用动量守恒求涉及相对运动物体位移的问题,所以在运用时需特别注意其适用条件,即系统的动量守恒且最初处于静止状态。
②“人船模型”问题中两物体的运动特点是“人”走“船”行、“人”停“船”停、“人”快“船”快、“人”慢“船”慢。
③解题时应注意区分“人”和“船”的相对位移与对地位移。
3.规律总结
(1)“人船模型”中的动力学规律:由于组成系统的两物体受到大小相同、方向相反的一对力,故两物体速度或位移大小与质量成反比,方向相反.这类问题的特点是两物体同时运动,同时停止。
(2)“人船模型”中的动量与能量规律:由于系统不受外力作用,故而遵从动量守恒定律,又由于相互作用力做功,故系统或每个物体动能均发生变化,力对“人”做的功量度“人”动能的变化;力对“船”做的功量度“船”动能的变化；(3)在系统满足动量守恒的方向上
,
人、船的位移与质量成反比。
2
/
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