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【专题讲义】人教版五年级数学上册
第9讲 实际问题与方程（二）专题精讲（学生版）
知识要点梳理
知识点 方程的应用 列方程解决实际问题
教学目标 让学生提高分析问题、解决问题的能力. 知道列方程解应用题的关键是找应用题中相等的数量关系.
教学重点 列方程解应用题的方法步骤. 找应用题中相等的数量关系.
教学难点 根据题意分析数量间的相等关系.
考点/易错点 1：
解一元一次方程的基本步骤
1、去括号；
2、移项；
3、未知数系数化为 1，即求解。
考点/易错点 2：
等式的基本性质
1、等式的两边同时加上或减去同一个数，结果还是等式.
2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，结果还是等式
考点/易错点 3：
解一元一次方程的基本步骤
1、去括号；
2、移项；
3、未知数系数化为 1，即求解。
考点/易错点 4：
列方程解应用题
列方程解应用题的概念
是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知数的值．这个含有未知数的等式就是方程．列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算．解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程．
列方程解应用题的主要步骤
1. 审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量；
2、设这个量为 ，用含 的代数式来表示题目中的其他量；
3、找到题目中的等量关系，建立方程；
4、运用加减法、乘除法的互逆关系解方程； 5、通过求到的关键量求得题目答案
【例题 1】某班有男生 30 人，比女生的 2 倍少 10 人，这个班有女生多少人？
【例题 2】 小明和哥哥的年龄和是 23 岁，哥哥比小明大 5 岁，问小明和哥哥各多少岁？
【例题 3】 学生采集标本，采集昆虫标本的有 25 人，采集植物标本的有 19 人，两种标本
都采集的有 8 人，全班学生共有 40 人，没有采集标本的有多少人？
【例题 4】有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的 2 倍时，丙是 22 岁，当乙的年龄是丙的 2 倍，甲是 31 岁，当甲是 60 岁时，丙是多少岁？
【例题 5】某校有学生 465 人，其中女生的 2 倍比男生的 3 倍少 20 人，那么男生比女生少多少人？
【基础】
1、地球绕太阳一周大约要 365 天，比水星绕太阳一周所用的时间的 4 倍还要多 13 天，水星绕太阳一周大约要用多少天？
2、公共汽车上原来有 52 人，在青少年宫站有 5 人上车，又有工人下车，现在车上有乘客多少人
3、一长方形的周长是 240 米，长是宽的 1.4 倍，求长方形的面积.
4、一种学生用的足球，育才小学购买了 12 只，新华小学购买 8 只，育才小学比新华小学多花了 144 元钱。每只足球多少元钱
【巩固】
1.30 枚硬币，由 2 分和 5 分组成，共值 9 角 9 分，两种硬币各多少枚？
2、有大、中、小三筐苹果，小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装 16 千克，大筐装的是小筐的 4 倍，大、中、小筐共有苹果多少千克？
3、甲有书的本数是乙有书的本数的 3 倍，甲、乙两人平均每人有 82 本书，求甲、乙两人各有书多少本
4、有甲、乙两缸金鱼，甲缸的金鱼条数是乙缸的一半，如从乙缸里取出 9 条金鱼放人甲缸， 这样两缸鱼的条数相等，求甲缸原有金鱼多少条
5、汽车从甲地到乙地，去时每小时行 60 千米，比计划时间早到 1 小时；返回时，每小时行40 千米，比计划时间迟到 1 小时．求甲乙两地的距离．
6、体育西路小学的同学去种向日葵，五年级种的棵数比四年级种的 3 倍少 10 棵，五年级比四年级多种 62 棵，两个年级各种多少棵
【拔高】
1、有两个书架，第一个书架书的本数是第二个的 1.5 倍。如果从第一个书架取出 50 本放入第二个中，则两个书架的数就一样多。原来两个书架各有几本书？
2、甲乙两数的和是 32，甲数的 3 倍与乙数的 5 倍的和是 122，求甲、乙二数各是多少？
3、三角形 ABC 中，角 A 是角 B 的 2 倍，角 A 与角 B 的和比角 C 小 18°。求三个角的度数。这是一个什么三角形？
课程小结
列方程解应用题的一般步骤：
根据题意设题中某一个未知数为 x；（有时候还需要用含有 x 的式子表示其它的未知数）
找出题中的等量关系，并根据等量关系列出方程
解方程
检验并写出答案
在这个过程中，认真分析数量关系，找出题中的等量关系是解题的关键
课后作业
【基础】
1、北京故宫占地面积大约 72 公顷，比天安门广场的 2 倍少 8 公顷。天安门广场大约占地多少公顷？
2、花园小区有一块三角形的花圃，底是 25 米，面积是 275 平方米，求花圃的高。
3、甲乙两人年龄的和为 29 岁，已知甲比乙小 3 岁，甲、乙两人各多少岁？
4、两辆汽车从一个地方相背而行.甲车每小时行 31 千米,乙车每小时行 44 千米.经过多少分钟后两车相距 300 千米
【巩固】
1、扎龙自然保护区里有天鹅和丹顶鹤共 1360 只。天鹅的只数是丹顶鹤的 4 倍。天鹅比丹顶鹤多多少只？
2、甲、乙两个工程队同时从两端合修一条长 77 千米的路，修 10 天后，还剩下 15 千米。已知乙队平均每天修 2.2 千米，甲队平均每天修多少千米？列式是（ ）
A 、 10×（2.2+x）+15=77 B 、 2.2×10+10x=77 C 、 77+15-10x=2.2×10
3、鸡兔同笼,有 8 个头,20 条腿,鸡兔各有多少只
4、小强从家到学校，如果每分钟走 40 分钟，上课就要迟到 2 分钟；如果每分钟走 50 米，就可以比上课时间提前 4 分钟到校。小强从家到学校的路程是多少米？
5、父子的年龄和是 64 岁，儿子年龄的 3 倍比父亲多 8 岁，求父子俩年龄各有多少岁？
6、王叔叔买 120 元 1kg 的红茶和 160 元 1kg 的绿茶,共 14kg,共用去 2080 元.他两种茶叶各买了多少千克
【拔高】
1、甲乙两站相距 660 千米，两列火车同时从两站相对开出，经过 4 小时两列火车相遇，甲车每小时行 90 千米，乙车每小时行多少千米？
2、有一个旅游团去划船，导游算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐 6 人；如果减少一条船，正好每条船坐 9 人。问：这个旅游团共有多少人？
3、一辆时速是 50 千米的汽车，需要多少时间才能追上 2 小时前开出的一辆时速为 40 千米汽车？
【资料介绍】该资料结合实际问题与方程（二）的知识点、考点与考题精编而成，学生版+教师版双具备，适用性强，既方便学生高效复习，也便于老师备课，为授课之首选。
模块一
知识讲解
模块二
知识讲解
模块三
例题精析
模块四
课堂运用
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【专题讲义】人教版五年级数学上册
第9讲 实际问题与方程（二）专题精讲（解析版）
知识要点梳理
知识点 方程的应用 列方程解决实际问题
教学目标 让学生提高分析问题、解决问题的能力. 知道列方程解应用题的关键是找应用题中相等的数量关系.
教学重点 列方程解应用题的方法步骤. 找应用题中相等的数量关系.
教学难点 根据题意分析数量间的相等关系.
考点/易错点 1：
解一元一次方程的基本步骤
1、去括号；
2、移项；
3、未知数系数化为 1，即求解。
考点/易错点 2：
等式的基本性质
1、等式的两边同时加上或减去同一个数，结果还是等式.
2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，结果还是等式
考点/易错点 3：
解一元一次方程的基本步骤
1、去括号；
2、移项；
3、未知数系数化为 1，即求解。
考点/易错点 4：
列方程解应用题
列方程解应用题的概念
是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知数的值．这个含有未知数的等式就是方程．列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算．解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程．
列方程解应用题的主要步骤
1. 审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量；
2、设这个量为 ，用含 的代数式来表示题目中的其他量；
3、找到题目中的等量关系，建立方程；
4、运用加减法、乘除法的互逆关系解方程； 5、通过求到的关键量求得题目答案
【例题 1】某班有男生 30 人，比女生的 2 倍少 10 人，这个班有女生多少人？
【解析】这道题求女生人数，所以我们设女生有 x 人。从题中可以知道女生的 2 倍减去 10 人，正好等于男生人数。
也就是：女生人数×2－10＝男生人数
解：设女生有 x 人。
2x-10=30
2x=40
x=20
答：女生有 20 人。
【例题 2】 小明和哥哥的年龄和是 23 岁，哥哥比小明大 5 岁，问小明和哥哥各多少岁？
【解析】在这道题中，小明和哥哥的年龄都是未知数。我们可以设小明有 岁，则哥哥有(x+5)岁。小明和哥哥的年龄和是 23 岁，等量关系式就是：小明年龄＋哥哥年龄＝
23 岁。
解：设小明有 x 岁，哥哥有(x+5)岁
(x+5)+x=23
2x+5=23
2x=18
x=9
x+5=9+5=14 岁
答：小明有 9 岁，哥哥有 14 岁。
【例题 3】 学生采集标本，采集昆虫标本的有 25 人，采集植物标本的有 19 人，两种标本
都采集的有 8 人，全班学生共有 40 人，没有采集标本的有多少人？
【解析】解：设没有采集标本的有 x 人。
25＋19－8＋x=40
36＋x=40
x=4
答：没有采集标本的有 4 人。
【例题 4】有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的 2 倍时，丙是 22 岁，当乙的年龄是丙的 2 倍，甲是 31 岁，当甲是 60 岁时，丙是多少岁？
【解析】设丙 22 岁时，乙的年龄是x 岁，当时甲的年龄就是 2x 岁。那么甲是 31岁时，乙是(31-x)岁，丙是 22+(31-2x) -53-2x 岁。利用方程解决年龄问题，设定乙的年龄之后，我们可以把各个时期的甲乙丙的年龄都用含有 x 的式子表达出来，继而很方便地建立等量关系。
解：设丙 22 岁时，乙的年龄是 x 岁，当时甲的年龄就是 2x 岁。
22＋(31－2x)＝53－2x
31－x＝2(53－2x)
x＝ 25
所以乙是 25 岁，甲 50 岁，丙 22 岁，甲 60 岁时，丙 32 岁。
【例题 5】某校有学生 465 人，其中女生的 2 倍比男生的 3 倍少 20 人，那么男生比女生少多少人？
【解析】这题用逆向思维很难解决，用方程比较容易，可以先设女生的人数为 x 人， 再依次把其他相关的量表示出来，建立等量关系。
解：设女生为 x 人，那么男生为（465-x）人，
根据题意得： 2x=3(465-x)-20
2x=1395-3x-60
5x=1335
x=267
465－267＝198(人)
267-198＝69（人）
答：男生比女生少 69 人。
【基础】
1、地球绕太阳一周大约要 365 天，比水星绕太阳一周所用的时间的 4 倍还要多 13 天，水星绕太阳一周大约要用多少天？
【解析】水星绕太阳的时间的 4 倍加上 3 与地球绕太阳的时间相同。
解：设水星绕太阳一周大约要 x 天
4x+13=365
x=88
答：水星绕太阳一周大约要用 88 天。
2、公共汽车上原来有 52 人，在青少年宫站有 5 人上车，又有工人下车，现在车上有乘客多少人
【解析】原有 52 人，上车加，下车减，所以车上现在有(52+5－x)人，化简后得(57－x)人。
解：52+5－x＝57－x
答：现在车上有乘客(57－x)人。
3、一长方形的周长是 240 米，长是宽的 1.4 倍，求长方形的面积.
【解析】等量关系：（长+宽）×2=240
解:设宽 x 米,则1.4x米.
2(x+1.4X)=240
x=50×1.4=70
50×70=3500
答：长方形的面积是 3500 平方米.
4、一种学生用的足球，育才小学购买了 12 只，新华小学购买 8 只，育才小学比新华小学多花了 144 元钱。每只足球多少元钱
【解析】等量关系：育才小学比新华小学多花了 144 元钱
解:设每只足球x 元
12x-8x=144
解得 x=36
答：每只足球 36 元钱.
【巩固】
1.30 枚硬币，由 2 分和 5 分组成，共值 9 角 9 分，两种硬币各多少枚？
【解析】9 角 9 分=99 分
解：设 2 分硬币有 x 枚，5 分硬币有（30－x）枚。
2x＋5×（30－x）=99
2x＋150－5x=99
3x=51
x=17
30－x=30－17=13
答：2 分硬币有 17 枚，5 分硬币有 13 枚。
2、有大、中、小三筐苹果，小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装 16 千克，大筐装的是小筐的 4 倍，大、中、小筐共有苹果多少千克？
【解析】解：设小筐装苹果 x 千克。
4x=2x＋16
2x=16
x=8
8×2=16（千克）
8×4=32（千克）
答：小筐装苹果 8 千克，中筐装苹果 16 千克，大筐装苹果 32 千克。
3、甲有书的本数是乙有书的本数的 3 倍，甲、乙两人平均每人有 82 本书，求甲、乙两人各有书多少本
【解析】解：设乙有书 x 本，则甲有书 3x 本
x+3x=82×2
4x=168
x=47
3x=141(本)
答：甲、乙两人各有书 141 本，47 本。
4、有甲、乙两缸金鱼，甲缸的金鱼条数是乙缸的一半，如从乙缸里取出 9 条金鱼放人甲缸， 这样两缸鱼的条数相等，求甲缸原有金鱼多少条
【解析】解：设乙缸有 x 条，则甲缸有 0.5x 条
x-9=0.5x+9
0.5x=18
x=36
0.5x=18(条)
答：甲缸原有金鱼 18 条.
5、汽车从甲地到乙地，去时每小时行 60 千米，比计划时间早到 1 小时；返回时，每小时行40 千米，比计划时间迟到 1 小时．求甲乙两地的距离．
【解析】解：设计划时间为 x 小时
60×（x-1）=40×（x+1）
x=5
答：计划时间为 5 小时。
6、体育西路小学的同学去种向日葵，五年级种的棵数比四年级种的 3 倍少 10 棵，五年级比四年级多种 62 棵，两个年级各种多少棵
【解析】解：设四年级种树 X 棵，则五年级种（3x-10）棵
（3x-10）-x=62
x=36
3x-10=98(棵)
答：两个年级各种98棵
【拔高】
1、有两个书架，第一个书架书的本数是第二个的 1.5 倍。如果从第一个书架取出 50 本放入第二个中，则两个书架的数就一样多。原来两个书架各有几本书？
【解析】解：设第二个书架有 x 本书，那么第一个书架有 1.5x 本书。第一个书架书的本数-第二个书架书的本数=相差的本数
1.5x-x= 50×2
0.5x= 100
0.5x÷0.5= 100÷0.5
x= 200
第一个书架：1.5x=1.5×200=300(本)
2、甲乙两数的和是 32，甲数的 3 倍与乙数的 5 倍的和是 122，求甲、乙二数各是多少？
【解析】解：设甲数为 x，乙数为（32-x）。
3x＋（32-x）×5=122
3x＋160－5x=122
2x=38
x=19
32－x=32－19=13
答：甲数是 19，乙数是 13。
3、三角形 ABC 中，角 A 是角 B 的 2 倍，角 A 与角 B 的和比角 C 小 18°。求三个角的度数。这是一个什么三角形？
【解析】解:设B角x度,则A角2x 度,C 角(x+2x+18)
x+2x+(x+2x+18)=180
解得 x=27
则 ∠B=27°；∠A=54°；∠C=99°
答：这是一个锐角三角形
课程小结
列方程解应用题的一般步骤：
根据题意设题中某一个未知数为 x；（有时候还需要用含有 x 的式子表示其它的未知数）
找出题中的等量关系，并根据等量关系列出方程
解方程
检验并写出答案
在这个过程中，认真分析数量关系，找出题中的等量关系是解题的关键
课后作业
【基础】
1、北京故宫占地面积大约 72 公顷，比天安门广场的 2 倍少 8 公顷。天安门广场大约占地多少公顷？
【解析】解：设天安门广场大约占地 x 公顷。
2x－8＝72
2x＝80
x＝40
答 ：天安门广场大约占地40公顷
2、花园小区有一块三角形的花圃，底是 25 米，面积是 275 平方米，求花圃的高。
【解析】解：设花圃的高是 x 米.
25x÷2＝275
25x＝550
x＝22
答：花圃的高是 22 米。
3、甲乙两人年龄的和为 29 岁，已知甲比乙小 3 岁，甲、乙两人各多少岁？
【解析】等量关系为：甲乙两人年龄的和为 29 岁
解：设甲岁 x,则乙(x+3)岁
x+(x+3)=29
解得 x=13
答：甲 13 岁，乙 16 岁
4、两辆汽车从一个地方相背而行.甲车每小时行 31 千米,乙车每小时行 44 千米.经过多少分钟后两车相距 300 千米
【解析】根据等量关系：甲车行驶路程+乙车行驶路程=总路程列出方程即可解:设两车 x 时后相遇.
31x+44x=300
x=4；
4 小时=240 分钟
答:经过 240 分钟后两车相距 300 千米
【巩固】
1、扎龙自然保护区里有天鹅和丹顶鹤共 1360 只。天鹅的只数是丹顶鹤的 4 倍。天鹅比丹顶鹤多多少只？
【解析】等量关系式：丹顶鹤的只数＋天鹅的只数＝总只数解：设丹顶鹤有 x 只，天鹅有 4x 只。
x＋4x＝1360
5x＝1360
x＝272
答：天鹅比丹顶鹤多 816 只
2、甲、乙两个工程队同时从两端合修一条长 77 千米的路，修 10 天后，还剩下 15 千米。已知乙队平均每天修 2.2 千米，甲队平均每天修多少千米？列式是（ ）
A 、 10×（2.2+x）+15=77 B 、 2.2×10+10x=77 C 、 77+15-10x=2.2×10
【解析】A
解：设甲队平均每天修 x 千米。甲队每天修 x 千米，乙队每天修 2.2 千米，甲队和乙队每天修(2.2+x)千米，10 天一共修 10×(2.2+x)千米，因为 77 千米的路修了 10 天，还剩 15 千米，所以 10×(2.2+x)+15=77
3、鸡兔同笼,有 8 个头,20 条腿,鸡兔各有多少只
【解析】解：设鸡 x,兔 8-x
2+x4（8-x）=20
2x+32-4x=20
2x=12
x=6
答：鸡 6 只,兔 2 只
4、小强从家到学校，如果每分钟走 40 分钟，上课就要迟到 2 分钟；如果每分钟走 50 米，就可以比上课时间提前 4 分钟到校。小强从家到学校的路程是多少米？
【解析】解：设从家到学校的标准时间为 x 分钟。根据两种方式的路程相等，可列方程得：
40×（x+2）=50×（x-4）
40x+80=50x-200
280=10x
x=28
从家到学校路程：40×（28+2）=1200（米）
答：小强从家到学校的路程是 1200 米。
5、父子的年龄和是 64 岁，儿子年龄的 3 倍比父亲多 8 岁，求父子俩年龄各有多少岁？
【解析】设儿子今年 x 岁，则爸爸今年有(3x-8)岁。根据父亲年龄+儿子年龄=64 岁，列
方程得
3x-8+x=64
4x=72
x=18
父 亲 年 龄 ：64-18=46 岁
答：父亲今年 46 岁，儿子今年 18 岁。
6、王叔叔买 120 元 1kg 的红茶和 160 元 1kg 的绿茶,共 14kg,共用去 2080 元.他两种茶叶各买了多少千克
【解析】解：设红茶 x,绿茶 14-x
120x+160（14-x）=2080
120x+2240-160x=2080
40x=160
x=4
答：红茶 4kg,绿茶 10kg
【拔高】
1、甲乙两站相距 660 千米，两列火车同时从两站相对开出，经过 4 小时两列火车相遇，甲车每小时行 90 千米，乙车每小时行多少千米？
【解析】试题分析：设乙车每小时行 x 千米，根据：（甲车速度=乙车速度）×4=甲乙两站的距离，列方程即可解答。
解：（90+x）×4=660
x =75
答：乙车每小时行 75 千米。
2、有一个旅游团去划船，导游算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐 6 人；如果减少一条船，正好每条船坐 9 人。问：这个旅游团共有多少人？
【解析】 设原有船 x 条，如果增加一条船，那么船有（x＋1）条，总人数可以表示为
6（x＋1）人；如果减少一条船，那么船有（x－1）条，总人数可以表示为 9（x－1）人。两次的总人数是相等的。
解：设原有船x 条。6（x＋1）＝9（x－1）
6x＋6＝9x－9
3x＝15
x＝5
答 ：这个旅游团共有36人 。
3、一辆时速是 50 千米的汽车，需要多少时间才能追上 2 小时前开出的一辆时速为 40 千米汽车？
【解析】根据等量关系：快车行驶的路程-慢车行驶的路程=慢车先走的路程列方程即可解：设需要 x 小时才能追上。
（50-40）x=40×2
x=8
答：需要 8 小时才能追上.
【资料介绍】该资料结合实际问题与方程（二）的知识点、考点与考题精编而成，学生版+教师版双具备，适用性强，既方便学生高效复习，也便于老师备课，为授课之首选。
模块一
知识讲解
模块二
知识讲解
模块三
例题精析
模块四
课堂运用
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